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河北省武邑中学2017届高三下学期第三次质检(理数)-特立独行的喵咪(1)

河北省武邑中学 2017 届高三下学期第三次质检 数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若复数 z 的实部为 1,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. ? 3 C. ? 3i D. 3i 【答案】B 【分值】5 【解析】由题意设 z ? 1 ? bi, z ? 2 ,可得 1 ? b 2 ? 2, 解得 b ? ? 3 ,故选 B. 【解题思路】设出复数,然后利用复数的模求解即可. 【考查方向】本题考查了复数的概念,每年全国一卷二卷必出题. 【易错点】容易漏解. 2.设函数 f ( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 15 ,集合 A ? {x | y ? f ? x ?}, B ? {y | y ? f ? x ?} ,则右图中

中阴影部分表示的集合为 A. ?0,3? B. (0,3) C. (?5, 0] ? [3, 4) D. [?5, 0) ? (3, 4] 【答案】D 【分值】5 【解析】由 ? x ? 2 x ? 15 ? 0 得
2

1

A ? {x ? 5 ? x ? 3}, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 15 ? ? ?x ? 1? ? 16 ? [0,4] ,故 B ? [0,4], 从而
2

A ? B ? [?5,4], A ? B ? [0,3] ,阴影部分表示在 A ? B 内且不在 A ? B 内的元素构成的集
合,故答案 D. 【解题思路】分别求出函数 f ( x) 的定义域和值域,求出集合 A 和 B 后,分析韦恩图表示的 含义,即可得到结果. 【考查方向】本题考查了集合的运算以及定义域和值域的求法,高考必有一题. 【易错点】函数值域忽略大于等于 0. 3.命题“函数 y ? f ? x ? ,(x ? M ) 是偶函数”的否定是 A. ?x ? M , f ? ? x ? ? f ? x ? B. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ? C. ?x ? M , f ? ? x ? ? f ? x ? D. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ? 【答案】A 【分值】5 【解析】如果函数 y ? f ( x) ( x ? M )是偶函数,则 ?x ? M , f (? x) ? f ( x) ,所以命 题的否定是 ?x ? M , f (? x) ? f ( x) ,故答案 A 【解题思路】根据偶函数的定义得出结论. 【考查方向】本题考查了偶函数的概念,高考时和其它函数的性质结合出题. 【易错点】命题的否定和否命题容易混淆. 4.已知

?

2 2 A. 3
B.

? ? ? ? ,3sin 2? ? 2 cos ? ,则 cos(? ? ? ) ?

6 4 2 2 3

C.

2

D.

2 2

【答案】C 【分值】5 【解析】?

?
2

? ? ? ? ,3 sin 2? ? 2 cos ? ,? 6 sin ? cos ? ? 2 cos ? , 解得

1 2 2 2 2 sin ? ? ,? cos? ? ? , 故 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos? ? , 故答案 C. 3 3 3
【解题思路】 由条件利用二倍角公式求得正弦, 再利用同角三角函数基本关系式求出余弦, 再利用诱导公式求出答案. 【考查方向】 本题考查了同角三角函数基本关系式和诱导公式, 高考常与三角形结合出题. 【易错点】三角函数符号容易出错.

?x ? y ? 4 ? 0 ? x? y 5.实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 的最小值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
A.16 B.4 C.1 D.

1 2

【答案】D 【分值】5 【解析】设 z=x-y,即 y=x-z,
作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知当直线 y=x-z 过点 A(0,1)时,直线 y=x-z 的截距最大, 此时 z 最小,此时 z=0-1=-1,故 2
x? y

的最小值为

1 ,答案 D. 2

【解题思路】作出不等式组对应的平面区域,设 z=x-y,利用 z 的几何意义即可得到结论. 【考查方向】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 【易错点】作出不等式所表示的平面区域.

6 C. 30cm
3

D. 40cm

3

3

【答案】B 【分值】5 【解析】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥,如图,棱柱 的高为 5;底面为直角三角形且两直角边长分别为 3,4,? 几何体的体 积V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 - ? ? 3 ? 4 ? 5 ? 20 (cm 3 ) ,故答案 B. 2 3 2

【解题思路】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥,画出其直观图,计算三棱柱 与三棱锥的体积,再求差可得答案. 【考查方向】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解题的关键是判断几何体的形状及数 据对应的几何量.是高考必考知识点. 【易错点】判断几何体的形状及数据对应的几何量. 7.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则 ?an ? 的前 8 项和为 A.127 B.255 C.511 D.1023 【答案】B 【分值】5 【解析】 ∵等比数列{an}的公比 q=2, 且 2a4, a6, 48 成等差数列, ∴2a1 ?2 5 =2 a1 ?2 3 +48, 解得 a1=1,
∴{an}的前 8 项和 S8 =

1 - 28 ? 255 , 故 答 案 B. 1- 2

【 解 题 思 路 】 由已知条件推导出 2a1 ?2 5 =2 a1 ?2 3 +48,从而求出 a1=1,由此能求出{an}的前 8 项
和. 【考查方向】本题考查等比数列的前项和的求法,解题时要注意等比数列的通项公式和等差数列的性 质的合理运用.

【易错点】公式的应用.
8.已知函数 f ? x ? 的定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,满足 2 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? xf ? x ? ,则 在区间 ??1,1? 内 A.没有零点 B.恰有一个零点 C.至少一个零点

4

D.至多一个零点 【答案】B 【分值】5 【解析】当 x ? 0 时,两边同乘以 x 得 2xf ( x) ? x 2 f ' ( x) ? x 2 f ( x), 即

[ x 2 f ( x)]'? x 2 f ( x) ? 0 ,则

?x

2

f ( x) '? x 2 f ( x) x 2 f ( x) ? 0 g ( x ) ? ,令 ,则 g ( x) 是增函数, ex ex

?

x 2 f ( x) x ? 0 当 时, x >0,? f ( x) ? 0 , ∵ f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , 因为 f (0) ? 0 e
所以 f ( x) 在 ?- 1,1? 只有一个零点.故答案 B. 【解题思路】 当 x ? 0 时, 两边同乘以 x 得 2xf ( x) ? x 2 f ' ( x) ? x 2 f ( x), 构造 g ( x) ? 判断 f ( x) 的符号,因为 f ?x ? 是奇函数,可以判断 f ?x ? 零点个数. 【考查方向】本题考查了函数的奇偶性与单调性之间的关系,是一道函数综合题. 【易错点】构造函数 g ( x) ?

x 2 f ( x) ex

x 2 f ( x) . ex F (n, 2) (n ? N ? ) ,若对任 F (2, n)

x 9.定义: F ? x, y ? ? y ( x ? 0, y ? 0) ,已知数列 ?an ? 满足: an ?

意正整数,都有 an ? ak (k ? N ? ) 成立,则 ak 的值为 A.

1 2

B.2

8 9 9 D. 8
C. 【答案】C 【分值】5 【解析】 an ?

a F (n,2) 2n 2n 2 ,∵2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当 n≥3 时, ? 2 (n ? N ),? n?1 ? 2 F (2, n) n an (n ? 1)

(n-1)2-2>0,∴当 n≥3 时 an+1>an;当 n<3 时,(n-1)2-2<0,所以当 n<3 时 an+1<an.

5

∴当 n=3 时 an 取到最小值为 f(3)=

8 ,故答案 C. 9

【解题思路】根据题意可求得数列{an}的通项公式,进而求得

an ?1 2 2 根据 2n -(n+1) =(n-1) an

2

-2,进而可知当当 n≥3 时,(n-1) -2>0,推断出当 n≥3 时数列单调增,n<3 时,数列

2

单调减,进而可知 n=3 时 an 取到最小值求得数列的最小值,进而可知 ak 的值. 【考查方向】 本题主要考查了数列和不等式的综合运用. 考查了学生综合运用所学知识解决 问题的能力. 【易错点】判断数列的单调性. 10.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 3 ,以顶点 A 为球心, 2 为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧 长之和等于

5? 6 2? B. 3
A. C. ? D.

7? 6

【答案】A 【分值】5 【解析】如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的三个面
上,即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上;另一类在不过顶点 A 的三个面上,即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上. 在面 AA1B1B 上, 交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上, 因为 AE=2, AA1= 则∠A1AE=

3

? ? , 同理 ?BAF ? 6 6

,所以 ?EAF

?

?
6

,故弧 EF 的长为:2×

?
6

?

?
3

,而这样的弧共有

三条.在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的 圆心为 B, 半径为 1, ∠FBG= 故选:A. 【解题思路】球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的三个面上, 即面 AA1B1B、 面 ABCD 和面 AA1D1D 上; 另一类在不过顶点 A 的三个面上, 即面 BB1C1C、 面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和. 【考查方向】本题考查空间几何的性质和综合应用,是高考必考题,考查了学生的空间想象能力. 【易错点】等价转化方面容易出错.

? ? ? ? ? 5? ? ,所以弧 FG 的长为: 1× ? ,于是所得的曲线长为: ? 2 2 2 3 2 6

,

11.当 x ? (0,1) 时, 某函 f ? x ? 数满足: ① f ? ? x? ? 0 ; ② f ? x? ? x ; ③对任意 x1 , x2 ? (0,1)
6

有 f(

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 )? ,则 f ? x ? 可以是下列函数中的 2 2

A. f ? x ? ? x3 B. f ? x ? ? x
1 2

C. f ? x ? ? sin x D. f ? x ? ? tan x 【答案】D 【分值】5 【解析】排除法,符合 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 的函数图形是凹图像,对于 A 不满足 2 2

②;B 不满足③,C 不满足②,故答案 D. 【解题思路】本题结合不等式的解法和函数的图象和性质进行排除. 【考查方向】本题考查了函数性质的综合应用,高考常以选择题压轴题出现. 【易错点】 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 和正切函数线的应用. 2 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(5, 0) , 对于某个正实数 k , 存在函数 f ? x ? ? ax2 (a ? 0) ,

??? ? ???? ??? ? O A O Q 使 得 OP ? ? ? ( ??? , (为 常 数 ) , 这 里 点 P, Q 的 坐 标 分 别 为 ? ? ???? ) ? OA OQ
P(1, f (1)), Q(k , f (k )) ,则 k 的取值范围是
A. (2, ??) B. (3, ??) C. [4, ??) D. [8, ??) 【答案】A 【分值】5 【解析】由题设知,点 P(1,a),Q(k,ak2),A(5,0),

7

? ? ? ? ? OA OQ 1 ak 2 , ) ? OP ? (1, a), OA ? (5,0), OQ ? (k , ak ),? ? ? (1,0), ? ? ( 2 2 OA OQ 1? a k 1 ? a 2k 2 ? ? ? OA OQ 1 ak? ? OP ? ? ( ? ? ? ) ( ? 为常数),?1 ? ?( ,两式相除得 1? ), a ? OA OQ 1 ? a 2k 2 1 ? a 2k 2
k ? 1 ? 1 ? a 2 k 2 , k ? 2 ? a 2 k ? 0,? k ?
A.

2 2 , 且 0 ? 1 ? a 2 ? 1,? k ? ? 2 .故答案选 2 1? a 1? a2

? ? ? ? OA 2 【解题思路】由题设知 OP ? (1, a ), OA ? (5,0), OQ ? ( k , ak ),? ? ? (1,0), OA ? ? ? ? OQ 1 ak OA OQ , ) ,由? OP ? ? ( ? ? ? ) 知 ? ?( OQ OA OQ 1 ? a 2k 2 1 ? a 2k 2

1 ? ?( 1?

1 1 ? a 2k 2

), a ?

ak? 1 ? a2k 2

,a

?

ak? 1 ? a 2k 2

,由此求出 a 的取值范围.

【考查方向】本题考查平面向量的综合运算,考查了化归转化思想. 【易错点】运算方面容易出错.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ex ? ae? x 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? ? x ? 是奇函数,则 a ? 【答案】-1 【分值】5 【解析】求导数可得 f′(x)= e ? ae
x

?

?x

?' =(e )′-a(e )′=e + ae
x -x x

?x

,∵f′(x)是奇函数,

∴f′(0)=1+a=0,解得 a=-1,故答案-1. 【解题思路】求导数,由 f′(x)是奇函数可得 f′(0)=0,解方程可得 a 值. 【考查方向】本题考查导数的运算,涉及函数的奇偶性.是一道综合题. 【易错点】忽略

f (0) ? 0, 常规运算容易出错.

14.点 P 是函数 y ? 2sin( wx ? ? ) 的图象的最高点,M、N 与点 P 相邻的该图象与 x 轴的两 个交点,且 N (3, 0) ,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为 【答案】

???? ? ??? ?

? 4

【分值】5
8

【解析】由题意可得△ PMN 为等腰直角三角形,斜边上的高等于 2,故斜边长等于 4,
再根据 N(3,0),可得 M(-1,0),∴P(1,2), 可得

?
4

? (-1 ) ? ? ? 0, ?? ?

?
4

,故答案

? . 4

1 2? ? ? ? 4, 解得 ? ? ,再由五点法作图 2 ? 4

【解题思路】 由题意可得△ PMN 为等腰直角三角形, 求得 M (-1, 0) , P(1, 2) , 由周期求的 ω= 再由五点法作图求得 φ 的值. 【考查方向】本题主要考查由函数

? 4

y ? A sin(?x ? ? )

的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由

五点法作图求出 φ 的值,是高考必考知识. 【易错点】△ PMN 为等腰直角三角形的判断,以及 ? 的求法.

15.设锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,若 A ? 2 B ,则 【答案】

?

2,3

?

a 的取值范围是 b

【分值】5 【解析】锐角△ ABC 中,由于 A=2B,∴0° <2B<90° ,2B+B> 90 ? ,∴30° <B<45° ,

?

2 3 ? cos B ? . 由正弦定理可得 2 2

a sin A 2 sin B cos B ? ? ? 2 cos B ,? 2 ? 2 cos B ? 3 ,故答案 2,3 b sin B sin B 【解题思路】由条件求得 30° <B<45° ,可得 cos B 的范围.再由正弦定理可得 a sin A 2 sin B cos B a ? ? ? 2 cos B ,从而求得 的取值范围. b sin B sin B b
【考查方向】本题主要考查正弦定理的应用,求得 30° <B<45° ,是解题的关键. 【易错点】忽略 B 的取值范围.

?

?.

16.三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在体积为 积为 16? ,则该三棱锥的高的最大值为 【答案】8 【分值】5

500? 的球的表面上,底面 ABC 所在的小圆的面 3

【解析】如图,设球的半径为 R,由球的体积公式得:

4 3 500 ?R ? ? ,? R ? 5. 又设小圆半径为 r,则 ?r 2 =16π , 3 3
∴r=4.显然,当三棱锥的高过球心 O 时,取得最大值; 由 OO1 ? 52 ? 42 ? 3 ,所以高 PO 1 ? PO ? OO 1 ? 5 ? 3 ? 8 .故 答案 8. 【解题思路】由球的体积为

500? ,可以得球的半径;由小圆面积 3
9

为 16π ,可以得小圆的半径;由图知三棱锥高的最大值应过球心,故可以作出解答. 【考查方向】本题考查了由球的体积求半径,由圆的面积求半径,以及勾股定理的应用 【易错点】高经过球心的判断. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】10 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 17.求 A 的大小. 【答案】

2b ? c cos C ? . a cos A

? 3
2b ? c cos C 2 sin B ? sin C cos C ? ? ,由正弦定理得: , a cos A sin A cos A 1 ? ,A? 2 3

【分值】4 【解析】△ABC 中,?

即 2 sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A , 故 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B,? cos A ?

【解题思路】先利用正弦定理将边换成角,去分母,再利用两角和的正弦公式化简得到

cos A ,再在 ?ABC 中,考虑角 A 的范围求角.
【考查方向】 本题主要考查解三角形中正弦定理的应用, 以及利用两角和与差的正弦公式进 行三角变换,考查基本运算能力. 【易错点】 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B 的转换. 18.当 a ? 3 时,求 b ? c 的取值范围.
2 2

【答案】 ?3,6? 【分值】6 【解析】由正弦定理得

a b c ? ? ? 2 ,?b ? 2 sin B, c ? 2 sin C sin A sin B sin C
=

?b2 ? c 2 ? 4 sin 2 B ? 4 sin 2 C ? 2(1 ? cos2B ? 1 ? cos2C)
2[2 ? cos2B ? cos2(120? ? B)]

1 3 ? 2[2 ? cos2 B ? cos(240? ? 2B)] ? 2(2 ? cos2 B ? sin B) 2 2

10

? 4 ? 2 sin(2b ? 30?),? 0? ? B ? 120?,? ?30? ? 2B ? 30? ? 210?
?? 1 ? sin( 2 B ? 30?) ? 1,? 3 ? b 2 ? c 2 ? 6 2

,

【解题思路】利用正弦定理将边用角来表示,利用降幂公式化简,再将 C 用 B 角表示,用两 角差的正弦公式化简,最后化简成 y ? A sin(?x ? ? ) ? m ,利用角 B 的取值范围求函数的值 域. 【考查方向】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用,以及利用两角和与差的正弦公式、 倍角公式等公式进行三角变换,考查基本运算能力,考查分析问题解决问题的能力.是高考 的必考题型. 【易错点】(1)角 B 的范围容易忽略.(2)转化 y ? A sin(?x ? ? ) ? m 运算容易出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? 2an ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 . 19.求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; 【答案】 an ? 2n , bn ? 2n ?1 【分值】4 【解析】∵Sn=2an-2,∴n=1 时,a1=2a1-2,解得 a1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)
=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴an= 2 .
n

∵数列

?bn ? 满 足

b1=1 , 且

bn?1 ? bn ? 2

,∴

?bn ? 是 首 项 为

1,公差为 2 的等差数列,

?bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 .
【解题思路】由已知条件推导出{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 an= 2 .
n

?bn ?是首项为

1,公差为 2 的等差数列,所以 bn =2n-1. 【考查方向】本题考查数列的通项公式的求法. 【易错点】当 n=1 时不验证.

1 ? (?1)n 1 ? (?1) n an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 2n 项的和 T2 n 20.设 cn ? 2 2

11

【答案】

22 n?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3

【分值】8

? 2n , n为奇数 【解析】 cn ? ? ,?T2n ? 2 ? 23 ? ?? 22n ?1 ? [3 ? 7 ? ?? (4n ?1)] ?? (2n ? 1),n为偶数
2(1 ? 4n ) 3 ? 4n ? 1 2 2 n ?1 ? 2 ? n? ? 2n 2 ? n . = 1? 4 2 3
【解题思路】 cn ? ? 和 T2 n . 【考查方向】本题考查了数列求和,考查了学生的转化能力. 【易错点】(1)数列的项数;(2)运算过程出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 的等差数列. 21.求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) 【答案】 an ? (2n ?1)d 2 【分值】6 【解析】 由题意知:d ? 0, Sn ?

?

2n , n为奇数 ,由此利用分组求和法能求出数列 ?cn ?的前 2 n 项 ?? (2n ? 1),n为偶数

? S ? 是公差为 d
n

S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ,2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3

? 3(S2 ? S1 ) ? S3 ,3[ a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0,? a1 ? d ,?a1 ? d 2 , Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd, Sn ? n 2 d 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n d ? (n ?1) d ? (2n ?1)d , 适合 n ? 1 的情形,
2 2 2 2 2

故 an ? (2n ?1)d .
2

12

【解题思路】 根据等差数列的通项公式, 结合已知, 列出关于 a1 , d 的方程, 求出 a1 ,d 进而推出 Sn
再利用 an 与 Sn 的关系求出 an . 【考查方向】本小题主要考查等差数列的通项. 【易错点】(1) n

? 1 没验证;(2)运算过程出错.

22.设 c 为实数,对满足 m ? n ? k 且 m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 Sm ? Sn ? cSk 都 成立,求 c 的最大值. 【答案】

9 2

【分值】6 【解析】S m ? S n ? cSk ? m d ? n d ? ck d ? m ? n ? c ? k ,? c ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

m2 ? n2 恒成立. k2

又 m ? n ? 3k 且 m ? n,2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?
2 2 2 2

9 m2 ? n2 9 ? , 故 c ? ,即 c 的最大 2 2 k 2

值为

9 . 2

【解题思路】利用(21)的结论,对 Sm+Sn>c Sk 进行化简,转化为基本不等式问题求解;或求出
c 的最大值的范围,利用夹逼法求出 c 的值. 【考查方向】本题考查了数列求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力. 【易错点】 m ? n

? 3k 的应用.

综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是直角三角形,?ACB ? 90 , 侧棱与底面所成角为 ? ,
0

点 B1 在底面上射影 D 落在 BC 上. 23.求证: AC ? 平面 BB1C1C ; 【答案】见解析 【分值】4 【解析】证明:∵点 B1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴B1D⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,
∴B1D⊥AC,又∵∠ACB=90° ,∴BC⊥AC,B1D∩BC=D,∴AC⊥平面 BB1C1C. 【解题思路】要证:AC⊥平面 BB1C1C,只需证明 B1D⊥AC,BC⊥AC 即可. 【考查方向】本题考查直线与平面垂直的判定,考查了学生空间想象能力. 【易错点】射影的利用.

13

24.若点 D 恰为 BC 的中点,且 AB1

? BC1 ,求 ? 的大小;

【答案】 45 ? 【分值】4
【解析】∵B1D⊥面 ABC,∴B1D⊥AC,又∵AC⊥BC,∴AC⊥面 BB1C1C.∵AB1⊥BC1, ∴由三垂线定理可知,B1C⊥BC1,即平行四边形 BB1C1C 为菱形,又∵B1D⊥BC,且 D 为 BC 的中 点,∴B1C=B1B,即△ BB1C 为正三角形,∴∠B1BC=60° ,∵B1D⊥面 ABC,且点 D 落在 BC 上, ∴∠B1BC 即为侧棱与底面所成的角,∴ ?

? 60° .

【解题思路】由题意可得:B1D⊥AC,再结合题意得到:AC⊥面 BB1C1C,得到平行四边形 BB1C1C
为菱形,再根据解三角形的有关知识可得:∠B1BC=60° ,进而结合线面角的定义得到答案.

【考查方向】本题考查了线面角的求法. 【易错点】证明△ BB1C 为正三角形. 25.若 cos ? ? 【答案】 45 ? 【分值】4 【解析】以 C 点为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(a,0,0), B(0, a,0), C1 (0,?

1 ,且当 AC ? BC ? AA 1 ? a 时,求二面角 C ? AB ? C1 的大小. 3

a 2 2 , a), 平面 ABC 的法向量 3 3 ? ? ? n2 ? AB ? 0 ? 得 n1 (0,0,1) ,设平面 ABC 1 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ), 由 ? ? ?n2 ? BC1 ? 0

2 2 2 ? ? ? ? ? n2 ? ( , ,1), cos n1 , n2 ? , n1 , n2 ? 45? ,? 二面角 C ? AB ?C1 大小是锐二面 2 2 2
角,? 二面角 C ? AB ? C1 的大小是 45 ? . 【解题思路】 求出平面 ABC 和平面 ABC 然后求出这两个法向量所成的角, 1 的法向量 n1 , n2 , 进而求出 C ? AB ? C1 的大小. 【考查方向】本题考查了二面角的求法以及学生的空间想象能力和运算能力. 【易错点】(1)空间直角坐标系的建立;(2)法向量的运算. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12 如图所示,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲

? ?

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线段 OSM,该曲线段为函数 y ? Asin wx( A ? 0, w ? 0), x ??0, 4? 的图象,且图象的最高点 为 S (3, 2 3) ;赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证赛道运动员的安全,限定. 26.求 A, w 的值和 M , P 两点间的距离; 【答案】 A ? 2 3,? ? 【分值】5 【解析】因为图像的最高点为 S( 所以 A ? 2 3 , 由图知 y ? A sin ?x 的周期为 3,2 3),

?
6

, MP ? 5

T ? 12, 所以 ? ?

?
6

, 所以 y ? 2 3 sin

?
6

x, 3), P(8, 0), MP ? 所以 M (4,

?8 - 4?2 ? 32

?5

【解题思路】由图得到 A 及周期,利用三角函数的周期公式求出 ? ,将 M 的横坐标代入求 出 M 的纵坐标,利用两点距离公式求出 MP . 【考查方向】本题考查了三角函数的图像和性质,由性质求函数解析式,考查两点间的距离 公式. 【易错点】运算出错. 27.应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 【答案】当角 ? ? 30? 【分值】7

(0?, 60?) ,由正弦定理得 【解析】在△MNP 中, ?MNP ? 120 ?, 故? ?

5 NP MN 10 3 10 3 ? ? ,? NP ? sin ? , MN ? sin(60? ? ? ) sin 120? sin ? sin(60? ? ? ) 3 3
设使折线段赛道 MNP 为 L,则

L?

10 3 10 3 10 3 10 3 sin(60? ? ? ) ? sin ? ? [sin(60? ? ? ) ? sin ? ] = sin(? ? 60?) 3 3 3 3 10 3 . 3

所以当角 ? ? 30? 时 L 的最大值是

【解题思路】利用三角形的正弦定理求出 NP,MN,求出折线 MNP 的长,化简三角函数,利 用三角函数的有界性求出最大值. 【考查方向】本题考查了三角形的正弦定理,考查了三角函数的有界性,是全国卷常考题的 类型.
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【易错点】 L ? 【学科】数学

10 3 10 3 10 3 sin(60? ? ? ) ? sin ? ? [sin(60? ? ? ) ? sin ? ] 的化简. 3 3 3

【题型】综合题 【分值】12 已知函数 f ? x ? ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s, f ( s)), B(t , f (t )) . 28.若 a ? 0, b ? 2 ,求函数 f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 【答案】 x ? y ? 0 【分值】3 【解析】由题意知 f ( x) ? x3 ? 2x 2 , 所以 f ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x,? k ? ?1, 又 f (1) ? ?1 ,

? 所求的切线方程为 x ? y ? 0
【解题思路】根据导数的几何意义求出的切线的斜率,根据点斜式求出切线方程. 【考查方向】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了直线方程的求法. 【易错点】运算出错 29.当 0 ? b ? a 时,若不等式 f ? x ? ? x3 ln x ? x2 ? 0 对任意的正实数恒成立,求 b 的取值 范围; 【答案】 b ? 【分值】4
2 3 2 【解析】当 a ? 0 时, x ( x ? b) ? x ln x ? x ? 0 ,即 b ? x ? x ln x ? 1 ,

e2 ?1 e2

令 g ( x) ? x ? x ln x ? 1 ,则 g ' ( x) ? ln x ? 2, 由 g ' ( x) ? 0, 得 x ? e

?2

由上表知 g ( x) 的最小值 g (e ) ?

?2

e2 ? 1 e2 ?1 b ? ,所以 . e2 e2

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【解题思路】由 x 2 ( x ? b) ? x3 ln x ? x 2 ? 0 分离常数得 b ? x ? x ln x ? 1 , 转化为 g ( x) ? x ? x ln x ? 1 的最值. 【考查方向】本题考查了不等式恒成立以及利用导数求最值,高考常以压轴题出现 【易错点】(1)转化问题;(2)中间运算容易出错. 30.若 0 ? b ? a , 函数 f ? x ? 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值, 且直线 OA 与直线 OB 垂直 (O 是 坐标原点),求 a ? b 的最小值. 【答案】 2 3 【分值】5 【解析】假设 OA ? OB ,即 OA ? OB ? st ? f (s) f (t ) ? 0 , 故 ?s ? a??s ? b??t ? a??t ? b? ? ?1, st ? (s ? t )a ? a 2 st ? (s ? t )b ? b2 ? ?1 又由 s , t 为 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2(a ? b) x ? ab ? 0 的两根可得,

?

?

?

?

?

??

?

2 ab (a ? b), st ? (0 ? b ? a) ,从而 ?a ? b?2 ab ? 9 , 3 3 2 ?a ? b ? ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 ,即 a ? b ? 2 3 ab s?t ?

? 2 3? 6 ?a ? b ? 2 3 a? ? ? ? 2 当且仅当 ? 时取等号,所以 a ? b 的最小值为 2 3 . 9 时,即 ? 4 ab ? 2 3 ? 6 ? ? ab b? ? ? 2 ?
【解题思路】根据垂直时向量之间的关系列出 a,b 关系式,把 s ,t 用 a,b 表示,根据不等式求 出 a+b 的最小值. 【考查方向】本题考查了用基本不等式求最值,考查了转化的思想. 【易错点】(1)转化;(2)中间运算.

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