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高一数学函数解析式求法


做一遍、听一遍、想一遍、整理一遍、总结一遍

求函数的解析式
一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式,例 一次函数: y ? kx ? b (k ? 0) 反比例函数: y ? ;二次函数: y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

k (k ? 0) ;正比例函数: y ? kx (k ? 0) x 2、分段式:函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用 n 个式子来表示函数,这种 形式的函数叫做分段函数。

例 为

? 2 ? x , x ? ?? ?,1? 1 1 、 设 函 数 f ( x) ? ? , 则 满 足 f ( x) ? 的 4 ?log81 x , x ? ?1,???


x

的 值

3、复合式:若 y 是 u 的函数,u 又是 x 的函数,即 y ? f (u), u ? g ( x), x ? (a, b) ,那么 y 关 于 x 的函数 y ? f ?g ( x)?, x ? ?a, b? 叫做 f 和 g 的复合函数。 例 2、已知 f ( x) ? 2x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 3 ,则 f ?g ( x)? ? , g ? f ( x)? ? 。

二、解析式的求法—根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、 赋值(式)法、方程法等。 1 待定系数法——若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再 利用已知条件求出系数。 例 3、已知二次函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2), 且图象在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴 截得的线段长为 2 2 ,求函数 y ? f ( x) 的解析式。 分析:二次函数的解析式有三种形式: ① 一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ② 顶点式: f ( x) ? a( x - h) 2 ? k 其中a ? 0,点?h, k ?为函数的顶点 ③ 两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 其中a ? 0, x1与 x2是方程f ( x) ? 0的两根
1 1 2、换元法——例 4、已知: f (1 ? ) ? 2 ? 1 ,求 f ( x) 。 x x

注意:使用换元法要注意 t 的范围限制,这是一个极易忽略的地方。

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1 1 3、配凑法——例 5、已知: f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x) 。 x x

注意:1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制; 2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配 凑法求解析式。 4、 赋值 (式) 法: 例 6、 已知函数 f ( x) 对于一切实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 。(1)求 f (0) 的值;(2)求 f ( x) 的解析式。

?1? 5、消元法——例 7、已知: 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x , ( x ? 0) ,求 f ( x) 。 ? x?

6、利用函数的奇、偶性求解析式 奇函数:f(-x)=-f(x) 偶函数:f(-x)=f(x) 例、设 f ( x) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x) ? e ? x 2 ? e x ,求当 x<0 时, f ( x) 的表达式.

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三、练习
1 x (一)换元法 1.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式. 2.若 f ( ) ? ,求 f ( x) . x 1? x 1 1 (二) .配凑法 3.已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 的解析式. 4.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 x x

f ( x) .

(三) .待定系数法 5.设 f ( x) 是一元二次函数, g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,且 g ( x ? 1) ? g ( x) ? 2 x?1 ? x 2 , 求 f ( x) 与 g ( x) .

(四) .消元法 7 .设函数 f ( x) 是定义 ( -∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ) 在上的函数 , 且满足关系式
1 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) 的解析式. x

8. (1)若 f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1 ? x ,求 f ( x) . x

(2)若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x).

( 五 ). 特 殊 值 代 入 法
f (2) f (3) f (4) f (2005 ) ? ? ??? . f (1) f (2) f (3) f (2004 )

9 . 若 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 f (1) ? 2 , 求 值

10.已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x)

(六) .利用给定的特性求解析式. 11.对 x∈R, f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,且当 x∈[-1,0]时, f ( x) ? x 2 ? 2 x 求当 x∈[9,10] 时 f ( x) 的表达式.

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