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专题五立体几何中的向量方法


立体几何中的向量方法 (一) 平行与垂直关系的向量证法 知识点一:求平面的法向量

例 1.已知平面 α

经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

解: ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),

AB =(1,-2,-4),AC=(1,-2,-4),
设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). → 依题意,应有 n· AB = 0, n· AC = 0.
?x-2y-4z=0 ? 即? ?2x-4y-3z=0 ? ?x=2y ? ,解得? ?z=0 ?



.

令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 【反思】用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零 向量)即可. “用向量法”求法向量的解题步骤: (1)设平面的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ; (2) 找出 (或求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 ) ; (3)根据法向量的定义列出方程组 ?

? ?n ? a ? 0 ; ? ?n ? b ? 0

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。 练习:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证: AE 证明: 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 是平面 A1D1F 的法向量.

AE 是平面 A1D1F 的法向量.

设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 1? ? A(1,0,0),E?1,1, ?, 2? ? 1? ? AE =? ?0,1,2?. ? ?

? 1 ? ? 1 ? → D1=(0,0,1),F?0, ,0?,A1(1,0,1). ? D1F =?0, ,-1?,A1D1=(-1,0,0). ? 2 ? ? 2 ?
1? ? 1 → ? ? 1 1 ∵ AE · D1F =?0,1, ?·?0, ,-1?= - =0,同理 AE ·A1D1=0, 2? ? 2 ? ? 2 2 → ∴ AE ? D1 F 且 AE ⊥A1D1. 又 A1D1∩D1F=D1,

∴AE⊥平面 A1D1F,∴ AE 是平面 A1D1F 的法向量. 知识点二:利用向量方法证平行关系 (1)线线平行:设直线 l1 、 l 2 的方向向量分别为 a 、 b ,则 l1 // l2 ? a // b ? a ? ?b (2)线面平行:
--1--

①由线面平行的判定定理,只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可; ②设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 ? ,则 l // ? ? a ? ? ? a ? ? ? 0 ; ③由共面向量定理知,只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. (3)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行,即两个平面的法向量 ? //? ; ②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.

例2

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是 B1 D1 的中点,求证: B1C // 面ODC1 .

证方法一:∵ B1C = A1D , ∴ B1C // A1 D ,又 A1 D ? 面ODC1 , B1C ? 面ODC1 ∴ B1C // 面ODC1 证法二: ∵ B1C = B1C1 + B1B = B1O + OC1 + D1O + OD = OC1 + OD . ∴

B1C , OC1 , OD 共面.
ODC1,∴B1C∥面 ODC1.

又 B1C ?

证法三: 如图建系空间直角坐标系 D ? xyz ,设正方体的棱长为 1,则可得

?1 1 ? B1(1,1,1),C(0,1,0),O? , ,1?,C1(0,1,1), ?2 2 ?

B1C =(-1,0,-1),
1 1 ? OD =? ?-2,-2,-1?, ? ? 1 1 ? OC1 =? ?-2,2,0?. ? ? 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),

? ?n ? OD ? 0, 则? ? ?n ? OC1 ? 0,

1 1 ? ?-2x -2y -z =0 得? 1 1 ? ?-2x +2y =0 ②
0 0 0 0 0



令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又 B1C ·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴ B1C ⊥n,∴B1C∥平面 ODC1.

【反思】

证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面 ODC1 内找一向量与 B1C 共线;二是
--2--

说明 B1C 能利用平面 ODC1 内的两不共线向量线性表示,三是证明 B1C 与平面的法向量垂直.

练习: 如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC
AD ? 3 , EF ? 2 .求证: AE // 平面 DCF .

所在平面互相垂直, BE // CF , ?BCF ? ?CEF ? 90? ,

证明:如图所示,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标 系 C—xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C(0,0,0),A( 3,0,a), B( 3,0,0),E( 3,b,0),F(0,c,0). → AE=(0,b,-a), CB =( 3,0,0),

BE =(0,b,0),
所以 → CB ·AE = 0, CB · BE = 0,从而 CB⊥AE,CB⊥BE.

所以 CB⊥平面 ABE.因为 CB⊥平面 DCF, 所以平面 ABE∥平面 DCF.故 AE∥平面 DCF.

知识点三

利用向量方法证明垂直关系

(1)线线垂直:设直线 l1 、 l 2 的方向向量分别为 a 、 b ,则 l1 ? l2 ? a ? b ? a ? b ? 0 (2)线面垂直: ①设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 ? ,则 l ? ? ? a // ? ? a ? k ? ; ②由线面垂直的判定定理,只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。 (3)面面垂直: ①证明两个平面的法向量垂直,即两个平面的法向量 ? ? ? ? ? ?? ? 0 ; ②由面面垂直的判定定理可知:只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线 的方向向量垂直.

例 3. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E , F 分别是棱 AB, BC 的中点, 试在棱 BB1 上找一点 M
平面 EFB1 .

, 使得 D1 M ⊥

解:建立空间直角坐标系 D—xyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2). 设 M(2,2,m) ,则 → EF =( ? 1,1,0) , B1E=(0, ? 1, ? 2) ,

D1M =(2,2,m ? 2).
--3--

∵ D 1M ⊥平面 EFB1, ∴ D 1M ⊥EF, D 1M ⊥B1E, ∴

D1M ·

EF = 0 且

D1M · B1E = 0,



于是 ?

?-2+2=0, ?-2-2(m-2)=0,

∴m=1, 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.

【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法:(1)用直线与平面垂直的判定定理;(2)证明 该直线所在向量与平面的法向量平行.

练习:
E 是棱 BC 的中点, 1. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 试在棱 CC1 上求一点 P , 使得平面 A1 B1 P ? 平面 C1 DE .
D1

C1

A1

B1
D

P

C
E B

A

2.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1C ? A1 B . 求证: AC1 ? A1 B . 证明 建立空间直角坐标系 C1—xyz,设 AB=a,CC1=b.

? 3 a ? ? 3 1 ? a, ,0?,B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),A? a, a,b?,C1(0,0,0). 2 ? 2 ?2 ?2 ? 3 a ? 3 1 ? ? ? 于是 A1B =? a, a,b? B1C =(0, ? a,b) , AC1 =?- a,- ,-b?. 2 2 2 2 ? ? ? ?
则 A1? a 2 ∵B1C⊥A1B,∴ B1C · A1B = - +b =0, 2 3 2 1 2 a 2 2 而 A1C · A1B = a - a -b = -b =0 4 4 2 ∴ A1C ⊥ A1B 即 AC1⊥A1B. 课堂小结: 1.用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)建立适当的坐标系. (2)设平面的法向量为 n=(x,y,z). (3)求出平面内两个不共线向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (4)根据法向量定义建立方程组?
?a·n=0 ? ? ?b·n=0
2 2

.

(5)解方程组,取其中一解,即得平面的法向量. 2.平行关系的常用证法
--4--

AB =λ CD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直,然后说明直线在平面外,证面
面平行可转化证两面的法向量平行. 3.垂直关系的常用证法 要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直. 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直. 要证面面垂直,可以转化为证明两个平面的法向量垂直.



一、选择题 1. 已知 A(3,5,2) ,B(-1,2,1) ,把 AB 按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是( A.(-4,-3,0) C.(-2,-1,0) 答案 B B.(-4,-3,-1) D.(-2,-2,0) )

AB =(-4,-3,-1).平移后向量的模和方向是不改变的.
2.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与平面 β 的位置关 系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 答案 C 解析 ∵(1,2,0)·(2,-1,0)=0, ∴两法向量垂直,从而两平面也垂直. 3.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向取线段长 AB=34,则 B 点的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 答案 B 解析 ,设 B(x,y,z) ,

AB =(x ? 2,y+1,z ? 7)

=λ (8,9, ? 12) ,λ >0. 故 x ? 2=8λ ,y+1=9λ ,z ? 7= ? 12λ , 2 2 2 2 又(x ? 2 +(y+1 +(z ? 7 = 34 , 2 2 得(17λ ) = 34 ,∵λ >0,∴λ =2. ∴x = 18,y = 17,z = ? 17, 即 B(18,17, ? 17). 4.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 答案 D 解析 ∵l1∥l2,∴a∥b, 2 4 5 则有 = = , 3 x y
--5--

)

15 B.x=3,y= 2 15 D.x=6,y= 2

15 解方程得 x=6,y= . 2 5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C. α D.l 与 α 斜交 答案 B 解析 ∵u=-2a, ∴a∥u,∴l⊥α . 二、填空题 6.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量是________________. 2 2? ?1 2 2? ? 1 答案 ? , , ?或?- ,- ,- ? 3 3? ?3 3 3? ? 3 解析, ,| AB | = 3 . AB =(1,2,2)

模为 1 的方向向量是±

AB , | AB |

7.已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e=(1,1,1)是 α 的法向量,M(x,y,z)是平面 α 内任意一点,则 x, y,z 满足的关系式是________________. 答案 x+y+z=0 解析 OM ·e=(x,y,z) · (1,1,1)= x+y+z = 0. 8.若直线 a 和 b 是两条异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则直线 a 和 b 的公垂 线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________. 答案 (1,4,-5)(答案不唯一) 解析 设直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量为 n=(x,y,z),a 与 b 的方向向量分别为 n1,n2,由题意得
? ?n·n1=0, ? ?n·n2=0, ? ? ?x+y+z=0, 即:? ?2x-3y-2z=0. ?

解之得:y=4x,z=-5x,令 x=1, 则有 n=(1,4,-5). 三、解答题 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz, 则有 D(0,0,0)、A(2,0,0), C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1), F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以

FC1 =(0,2,1) ,
AE =(0,2,1).
--6--

DA =(2,0,0) ,

(1)设 n1=(x1 , y1 , z1)是平面 ADE 的法向量, 则 n1 ⊥ DA 即 ? , n1⊥ AE 得 ,

? DA ? 2 x1, ?n1· AE ? 2 y1 ? z1, ?n1· ?

? x1 ? 0, ? ? z1 ? ?2 y1,

令 z1=2,则 y1=-1, 所以 n1=(0,-1,2). → → 因为 FC1·n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1. 又因为 FC1 平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE. (2)∵
2 2

, C1B1 =(2,0,0)
2 2 )

设 n = (x , y , z

是平面 B1C1F 的一个法向量.

→ 2 2 由 n ⊥ FC1,n ⊥ C1B1 ,得

?n 2· FC1 ? 2 y 2 ? z 2 ? 0, ? 得 ? n 2 · C 1 B 1 ? 2 x 2 ? 0, ? ?
得?

? x 2 ? 0, ? z 2 ? ?2 y 2,

令 z2=2 得 y2=-1,所以 n2=(0,-1,2),因为 n1=n2,所以平面 ADE∥平面 B1C1F. 10.

如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中,AP=BQ=b (0<b<1),截面 PQEF∥A′D,截面 PQGH∥AD′. (1)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (2)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; 1 (3)若 b= ,求 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2 解 以 D 为原点,射线 DA、DC、DD′分别为 x、y、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系 D—xyz, 由已知得 DF=1-b,故 A(1,0,0),A′(1,0,1),D(0,0,0), D′(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1-b,1,0),F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

--7--

(1),证明 在所建立的坐标系中,可得

PQ = (0,1,0),

PF = ( ? b , 0, ? b), AD ' = ( ? 1,0,1),
因为 所以 因为 所以

PH = (b ? 1,0,1 ? b),

AD = ( ? 1,0, ? 1),

AD ' · PQ = 0,

AD ' · PF

= 0,

AD ' 是平面 PQEF 的法向量.

AD ' ·

PQ = 0,

AD ' · PH =0,

AD ' 是平面 PQGH 的法向量.

所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. (2)证明,因为 EF = (0, ? 1,0), 所以

EF ∥ PQ , | EF | = | PQ |,

又 PF ⊥ PQ ,所以四边形 PQEF 为矩形, 同理四边形 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得| PH | = 2 (1-b), | PF | = = 1, 所以截面 PQEF 和截面 PQGH 的面积之和为 2 ,是定值. (3)解 由(1)知 AD ' =(-1,0,1)是平面 PQEF 的法向量. 由 P 为 AA′的中点可知,Q、E、F 分别为 BB′、BC、AD 的中点. 1 → ?1 ? 所以 E( ,1,0,) , D ' E =? ,1,-1?,因此 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于|cos〈AD′, D ' E > 2 ? ? 2 = 2 . 2

2 b, 所以| PH | + | PF | = 2 ,又| PQ |

--8--


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