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高中数学第三章三角恒等变换31和角公式311两角和与差的余弦示范教案新人教B版必修4(数学教案)

3.1.1 两角和与差的余弦 示范教案 整体设计 教学分析 本节是结合第一章,以圆上点的运动作引子,从中提出问题,引入本节的研究课题.在 教学中要结合教科书中提供的问题背景,充分展示公式推导的思维过程.在正式推导之前, 可组织学生谈谈自己对推导公式的想法,讨论、研究和分析可能出现的思路,使学生更好地 经历和参与数学发现活动,体验数学的发展与创造过程.同时,引导学生复习两个向量数量 积的定义及其坐标运算,复习单位向量的三角表示,并尝试自己推导两角和的余弦公式. 在公式推出之后, 还可以引导学生对推导过程进行反思, 欣赏用向量方法推导公式的美 妙,归纳、总结、发现公式的结构特点以便掌握和灵活运用.在公式应用的教学中,要引导 学生充分注意变形中角的变化, 灵活运用“角的代换”的方法, 体会化归思想在三角恒等变 换中的应用. 利用向量知识探索两角差的余弦公式时要注意推导的层次性: ①在回顾求角的余弦有哪 些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导 公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,可以先不去理会其中的细节,抓住主要问 题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思 想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生 了解公式的由来; ②使学生认识公式的结构特征加以记忆; ③使学生掌握公式的推导和证明; ④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题. 三维目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三 角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学 生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在 数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分 析问题、解决问题的能力. 重点难点 教学重点:两角和与差的余弦公式. 教学难点:两角和与差的余弦公式的灵活运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接导入)如果知道了 α ,β 的三角函数,如何计算 α +β ,α -β 的三角 函数呢?下面我们从向量的角度来探究这一问题,接着导入新课. 2 3 ,cos30°= ,由此我们能否 2 2 得到 cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于 cos45°-cos30°呢?教师可让学生 验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是什么关系呢?cos(α -β )等于什 么呢?这时学生急于知道答案,由此展开新课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45°= 1 推进新课 新知探究 教师引导学生回顾两个向量数量积的定义及其坐标运算,复习单位向量的三角表示: → → OP=(cosα ,sinα ),OQ=(cosβ ,sinβ )并进一步讲解. π 我们知道 cos(x- )可以看作是向量(cosx,sinx)与向量(1,1)的夹角的余弦值,那么 4 cos(α -β )能否也看成是两个向量夹角的余弦值呢? 把 cos(α -β )看成两个向量夹角的余弦,考虑用向量的数量积来研究. 如图 1,在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边分别作角 α ,β ,其终边分别与单位圆 交于 P1(cosα ,sinα ),P2(cosβ ,sinβ ),则∠P1OP2=α -β .由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数,所以,我们只需考虑 0≤α -β ≤π 的情况. 图1 → 设向量 a=OP1=(cosα ,sinα ), b=OP2=(cosβ ,sinβ ), 则 a·b=|a||b|cos(α -β )=cos(α -β ). 另一方面,由向量数量积的坐标表示,有 a·b=cosα cosβ +sinα sinβ , 所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ . 这就是两角差的余弦公式. 教师引导学生探究“用-β 代替 β ”的换元方法就可以得到 cos(α +β )=cos[α -(-β )]=cosα cos(-β )+sinα sin(-β ), 即 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ,这就是两角和的余弦公式. 这两个公式分别记为 Cα -β ,Cα +β . 应用示例 思路 1 例 1 求 cos105°及 cos15°的值. 解:cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° 1 2 3 2 2- 6 = · - · = ; 2 2 2 2 4 cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° = = 2 3 2 1 · + · 2 2 2 2 6+ 2 . 4 → 2 变式训练 1.不查表求 sin75°,sin15°的值. 解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° = 2 3 2 1 6+ 2 × + × = . 2 2 2 2 4 2 sin15°= 1-cos 15°= 1- 6+ 2 4 2 = 8-2 6× 2 6- 2 = . 16 4 2.不查表求值:cos110°cos20°+sin110°sin20°. 解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0. 4 π π π 例 2 已知 cosα =- ( <α <π ),求 cos( -α ),cos( +α ). 5 2 6 6 4 π 解:因为 cosα =- ,且 <α <π ,所以 sinα = 5 2 4 1- - 5 2 3 = . 5 π

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