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有理指数幂及运算(1)


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1、整数指数幂的概念

a = a ?424 a ( n ∈ N *) 1 a ? aL 3
n n个 a

王新 敞
奎屯

新疆

a

0

= 1( a ≠ 0 ) a

?n

1 = n ( a ≠ 0, n ∈ N *) a

2、 运 算 性 质 :

a

m m

?a
n n

n

=a
n

m+n

(m , n ∈ Z )

(a

) =a

mn

(m , n ∈ Z )
n

( ab ) = a ? b ( n ∈ Z )

根式: 根式: (1) 定 义 :
x n = a ( n > 1, n ∈ N *) 则 x 叫 做 一 般 地 ,若

a 的 n 次方根 n a 叫 做 根 式 ,n 叫 做 根 指 数 , a 叫 做 被 开方数
王新 敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2)性质: 性质: 为奇数时: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正
x=na 次方根为负数记作 记作: 数, 负数的 n 次方根为负数 记作:

为偶数时, ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两
x = ±n a 个(互为相反数) 记作: 互为相反数) 记作: 。记作 。

负数没有偶次方根, ③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0

(?8) ;② (?10)2 ; ? 计算: 例 1:计算:① ?
3 3

③ (3 ? π )
4
2

4



④ ( a ? b) (a > b) .

2、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义 )正数的正分数指数幂的意义:
a
m n

=

n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N )
a
? m n

?

(2)规定: (2)规定:① 规定

= a

1
m n

a > 0, m, n ∈ N ? ) (

新疆 王新敞
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②0 的正分数指数幂等于 0. 的负分数指数幂无意义. ③0 的负分数指数幂无意义.

有理指数幂的运算性质: (3)有理指数幂的运算性质:
a ?a = a
m n m+n

(m, n ∈ Q)

(a ) = a
m n n

mn

(m, n ∈ Q )
n

(ab) = a ? b ( n ∈ Q )
n

求值: 例 2:求值:
8
2 3

, 100

?

1 2

1 ,( ) 4

? 3

16 ,( ) 81

?

3 4

.

用分数指数幂的形式表示下列各式: 例 3: 用分数指数幂的形式表示下列各式
(1)a ? a
2

( 2 )a ? a
3 3

2

( 3) a a

(式中 a > 0 ) 式中

计算下列各式(式中字母都是正数) 例 4:计算下列各式(式中字母都是正数)

(1)( 2a b )( ?6a b ) ÷ ( ?3a b ); ( 2)( m n ) .
1 4 3 8 8

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(3)(2 x) (?x)
2

?3

、化简: 化简:

(x ? y ) ÷ (x ? y ); m+m m
1 ? 2 ?1

1 2

1 2

1 4

1 4

+2
1 2

+m

:已知 x + x
(1) x + x ,
1 2 1 ? 2

?1

= 3 ,求下列各式的值: 求下列各式的值:

( 2) x + x ;
2

?2

(3) x ? x ;
2

?2

(4) x + x

3 2

3 ? 2


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