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版高中数学第一章解三角形12应用举例二学案新人教A版必修5(数学教案)


1.2 应用举例(二) [学习目标] 1.能运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决测量高度的实际问题.2.能运用 正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题. 知识点一 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示. 知识点二 坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan α = ),如图. h l 题型一 测量高度问题 例 1 如图所示,A,B 是水平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得 山顶 C 的仰角为 45°,∠BAD=120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其 中 D 点是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD. 解 由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°,所以 CD=AD. 因此只需在△ABD 中求出 AD 即可, 在△ABD 中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 2 800× 2 AB AD AB·sin 45° 由 = ,得 AD= = sin 15° sin 45° sin 15° 6- 2 4 =800( 3+1)(m). 1 即山的高度为 800( 3+1)m. 反思与感悟 (1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题 中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.(2)与高度有关的 问题往往涉及直角三角形的求解.在作示意图时要加强立体思维的锻炼,分清直角等几何元 素. 跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的 俯角为 30°,则甲、乙两楼的高分别是________. 答案 2 3 3a, a 3 解析 甲楼的高为 atan 60°= 3a, 乙楼的高为 3a-atan 30°= 3a- 3 2 3 a= a. 3 3 (2)如图,地平面上有一旗杆 OP,为了测得它的高度 h,在地面上选一基 线 AB,AB=20 m,在 A 点处测得 P 点仰角∠OAP=30°,在 B 点处测得 P 点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度 h.(结果保 留两个有效数字) 解 在 Rt△AOP 中,∠OAP=30°,OP=h. ∴OA=OP· 1 = 3h. tan 30° 在 Rt△BOP 中,∠OBP=45°, ∴OB=OP· 1 = h. tan 45° 在△AOB 中,AB=20,∠AOB=60°, 由余弦定理得 AB =OA +OB -2·OA·OB·cos 60°, 1 2 2 2 即 20 =( 3h) +h -2· 3h·h· , 2 400 2 解得 h = ≈176.4,∴h≈13 m. 4- 3 2 2 2 2 题型二 测量角度问题 例 2 如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方 缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/ 时的速度,从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶 才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则 CD=10 3t,BD =10t, 在△ABC 中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A =( 3-1) +2 -2(

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