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2019年-微分方程的基本概念57439-PPT精选文档_图文

第一节 微分方程的基本概念
引例 几何问题

微分方程的基本概念

引例.

一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的

切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .

解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:

dy ? 2x dx y x? 1?2

① ②

2 xd x ?x ? C (C为任意常数) 由 ① 得 y??2

2 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y?x ? 1 .

微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
x ? ? ? y ? 2 y ? 3 y ? e , 例 ?z 2 ? x ? y, ( t? x ) dt ? xdx ? 0 , ?x

? ?xy y ,

分类

常微分方程 (本章内容) 偏微分方程

方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶.

? ?xy y ,

x ? ? ? y ? 2 y ? 3 y ? e ,

3 2 x ? ? ? ? ? ? x y ? x y ? 2 y ? 3 y ? e ,

一般地 , n 阶常微分方程的形式是
( n ) ? F ( x , y , y , ? , y ) ? 0



( n ) ( n ? 1 ) ? y ? f ( x , y , y , ? , y )( n 阶显式微分方程)

微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
dy dx

引例1 通解: 特解:

? 2x

y x? 1?2
y ?x2 ?C y ? x2 ?1

n 阶方程的初始条件(或初值条件): ( n ? 1 ) ( n ? 1 ) ? ? y ( x ) ? y , y ( x ) ? y , ? , y ( x ) ? y 0 0 0 0 0 0

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:

二阶:

? y? ? f ( x, y) 过定点的积分曲线; ?y ? x? x0 ? y0 ? ??f(x ?) y ,y ,y ? ? ? ? y ? y , y ? y 0 0 x ? x x ? x ? 0 0

过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

? C cos k t ? C sin k t ( C ,C 为常数 ) 例1. 验证函数 x 1 2 1 2 d2 x 2 的通解, 并求满足初始条件 是微分方程 ? k x? 0 2 d t dx ? 0 的特解 . x t?0 ? A, dt t ? 0 d 2x 2 2 解: ? C k k t ? ? C k cos k t 2 sin 1 2 d t 2 2 ? ? k ( C cos k t ? C sin k t ) ? ? k x 1 2 这说明 x 是方程的解 . ? C cos k t ? C sin k t 1 2

C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.

利用初始条件易得: C ,C 2 ?0, 故所求特解为 1 ?A

x ? A cos k t

例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (X?x ) Y?y? ? y? y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标

P( x, y)

? X ? x ? y y ? ?? ? x ? y y ? ? x ,即 y y 2 x ? 0

Q

O

xx

练习
1、试说出下列各微分方程的阶数
2 ? ? ( 1 ) x ( y )? 2 y y ? x
2 ? ? ? ( 2 ) x y ? 2 x y ? y ? 0
2 2 ? ? ? ? ? ( 3 ) x y ? 2 y ? x y ? 0

( 4 )( 7 x ? 6 y ) dx ? ( x ? y ) dy ? 0 d ? 2 ( 5 ) ? ??sin ? d ?

2、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
2 ? ( 1 ) x y ? 2 y,y ? 5 x ;



? ? ( 2 )y ? y ? 0 , y ? 3 sin x ? 4 cos x ;是
2 x ? ? ? ( 3 )y ? 2 y ? y ? 0 , y ? x e ;

? ? ? ( 4 )y ? ( ? ) y ? y ? 0 , 是 1 2 1 2

? ?? ?
? x 1 ? x 2

不是

y ? C e ? C e; 1 2

思考题
2x y ? 3 e 函数 是微分方程 y ?? ? 4 y ? 0

的什么解?

思考题解答
2 x ?? ? y 6 e ,
2 x ? ?? y 12 e ,

2 x 2 x ? ?? 12 e ? 4 ? 3 e ? 0 , y 4 y ?

2x ? y?3 e 中不含任意常数,

故为微分方程的特解.

第二节 一阶微分方程
本节讨论形如
P ( x , y ) dx ? Q ( x , y ) dy ? 0

的一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程
g ( y ) dy ? f ( x ) dx 可分离变量的微分方程.
dy 2 2 ? y dy ? 2 x dx , 例 如 ? 2x y dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,
4 5

4 ? 5

g ( y ) dy ? ( x ) dx ? ?f

分离变量法

设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g ( y )和 f ( x ) 的

为微分方程的解. 原函数,G ( y ) ? F ( x ) ? C

dy 解 分离变量 ? 2 xdx , y dy , 两端积分 ? ? ? 2xdx y
2 ln y ? x ? C 1

?y ?ce 为所求通解 .

x2

dy ? 2xy的通解 . 例1 求解微分方程 dx
通解,非全部解 dy 解 可分离变量为 ? 2 xdx , y dy 2 两端积分 ? ? ? 2xdx , 得 ln |y | ? x? C , y 2 2 x ? C C x 即| y|?e , 即y?? ee . 零解) 又 y ? 0 也 是( 解

? y ? Ce 为所求通解。

x2

通解, 全部解

dy 2 例2. 求微分方程 ? 3 x y 的通解. dx dy ? 3x2 dx 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 dy 变形, 因此可能增、 两边积分 ? ? ?3x2 dx y 减解. 或 3 ln y? x? C 得 1


y??e

x3? C 1

??e e
C 1

3 C x 1

令 C?? e
y ? Ce
x3

3 ln y? x ? ln C

( C 为任意常数 )

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

例3. 解初值问题

2 x y d x ? ( x ? 1 ) d y ? 0

y ( 0 )? 1

dy x 解: 分离变量得 ?? dx 2 y 1?x
y? ln 2 ? ln C 两边积分得 ln x? 1

2 y x ? 1?C ( C 为任意常数 )

1

由初始条件得 C = 1, 故所求特解为

y x ? 1? 1

2

练习
求下列微分方程的通解

Cx y ? e ? ( 1 ) x y ? y ln y ? 0 1 1 2 3 2 ? ( 2 ) 3 x ? 5 x ? 5 y ? 0 y? x ? x ?C 2 5 dy x? y ? y x 10? 10 ? C (3) ? 10 dx

(x?4 )y ?Cx ( 4 ) y d x ? ( x ? 4 ) d y ? 0
2
4

dy x?y . 练习: 求方程 ?e 的通解 dx

解法 1 分离变量 积分 即

? y x e d y ? e d x

? y x ? e ? e ? C x y ( e ? C ) e ? 1 ? 0 (C<0 )

解法 2
故有 积分

?? ? u 1 ? y 令 u ? x ? y ,则
u ?? u 1 ? e du ?1?eu ?x?C u u ? ln ( 1 ? e ) ? x ? C

(1?eu)?eu ? 1?eu du

( C 为任意常数 ) ( 1 ? e ) ? y ? C 所求通解: ln

x ? y

二、齐次方程
dy y 形如 ? ? ( ) 的方程叫做齐次方程 . dx x dy du y 则 ?u ? x , y? u x , 解法: 令 u ? , dx dx x du ??(u) 代入原方程得 u? x dx du dx ? 分离变量: ?(u) ?u x du dx ?? 两边积分, 得 ? ? ( u )? u x y 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. x

例1. 解微分方程

y 解: 令 u ? , 则 ? ? y ? u ? x u ,代入原方程得 x ? u ? x u ? u ? tan u cos u dx du ? 分离变量 sin u x cos u d x 此处 C ? 0 d u?? 两边积分 ? sin u x 得 ln sin u ? ln x ? ln C ,即 sin u ? C x y 故原方程的通解为 sin ? C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)

y y ? y ? ?tan . x x

2 2 ( y ? 2 x y ) d x ? x d y ? 0 . 例2. 解微分方程 d y y y2 y ? ?, 令 u ? , ? 2? 解: 方程变形为 d x x x x 2 则有 ?? u ? x u 2 u ? u

du dx 1 1 d x ? ? 分离变量 ? 即 ?? d u ? ? 2 x u ?u u ? 1u x x(u?1) u ? 1 ?C 积分得 ln ? ? ln x? ln C , 即 u u
代回原变量得通解 求解过程中丢失了.

x ( y ? x ) ? C y(C 为任意常数)

说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在

三、一阶线性微分方程
d y ?P (x )y?Q (x ) 一阶线性微分方程标准形式: d x 若 Q(x) ? 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 .

dy dx 2 ? y? x , 例如 ? xsin t ?t2, 线性的; dx dt ?? ?? cos y ? 1 , 非线性的. y y 2 xy ? 3 , y

一阶线性微分方程的解法
d y ?P (x )y?Q (x ) 一阶线性微分方程标准形式: d x
1. 解齐次方程 分离变量

dy ? P(x)y ? 0 dx dy ? ?P(x)dx y

两边积分得
故通解为

ln y ? ? P ( x ) d x ? ln C ?
? P ( x ) d x ? y ? C e

一阶齐次线性微分方程的通解(公式)

d y ?P (x )y?Q (x ) 2. 解非齐次方程 d x ? P ( x ) d x ? 用常数变易法: 作变换 y ( x ) ? u ( x ) e ,则
?P (x)ue ? P ( x ) u e d u P (x )dx ? ?Q (x )e 即 d x ? P ( x ) d x ? 对应齐次方程通解 y ? C e P ( x ) d x ? 两端积分得 u ? Q ( x ) e d x ? C

?e u

? (x)dx ?P

? P ( x ) d x ?

? (x )dx ?P

? Q (x )

?

P ( x ) d x ? ? 故原方程的通解 y ? e Q ( x ) e d x ? C ? ? ? ? ? ? P ( x ) d x P ( x ) d x ? P ( x ) d x ? ? ? ? e Q ( x ) e d x y? C e 即 ?

? P ( x ) d x ? ?

齐次方程通解

非齐次方程特解

5 d y 2 y 2. ? ? ( x ? 1 ) 例1. 解方程 d x x? 1 d y 2d x dy 2y ? ? ? 0, 即 解: 先解 y x ?1 dx x ?1 2 积分得 ln 即 y? y ? 2 ln x ? 1 ? ln C , C ( x? 1 ) 2 y ? u ( x ) ? ( x ? 1 ) ,则 用常数变易法求特解. 令

2 ? ? y ? u ? ( x ? 1 ) ? 2 u ? ( x ? 1 )

代入非齐次方程得

1 ? ?(x? u 1 )2

3 2 u? ( x? 1 ) 2? C 解得 3 3 2 ? ? 2 2 ? ( x ? 1 )? ( x ? 1 ) ? C 故原方程通解为 y ? 3 ? ?

1 sin x ?? y? y 的通解 . 例2 求方程 x x

1 P( x ) ? , x

sin x Q (x) ? , x

1 ? ? ? dx y ? e x ?

? ? ? x ? ? x ln ? sin ? ? ln x x ? e ? ?e dx ? C ? ? ? x ? 1 1 ? x? C . ? ? ??cos ? ? xdx ?C ?sin x x

1 ? dx sin x ?x ? ?e dx ? C

d x ?2 x ? 的通解 . ? ? 3 d y ? 0 例3. 求方程 xy ? ?y y ? ? d x 解: 注意 x, y 同号, 不妨设 x , y ? 0 , 此时 ? 2 dx , x d x x 2 故方程可变形为 2 ? ?? 这是以 x 为因变量 dy y y y 为自变量的一阶 由一阶线性方程通解公式 , 得 线性方程
dy ?2y x?e

??

? y ?? ?
所求通解为

y 1 1 ? ?? d y ? ln C y y
y e
x y

dy ? ? 1 1 P( y) ? ? (? e 2y ) ? d y ? ln C ( C?2 0 ) y

1 Q( y) ? ? C y ln y y

? C( C ? 0 )

内容小结
d y 1. 一阶线性方程 ?P (x )y?Q (x ) d x 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
方法2 用通解公式
? P ( x ) d x ? P ( x ) d x ? ? ? Q ( x ) e d x ? C ?

y ? e

d y n ( n ? 0 ,1 ) ? P ( x ) y ? Q ( x ) y 2. 伯努利方程 d x
1 ? n 化为线性方程求解. 令 u?y ,

3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 dy 1 ? 例如, 解方程 dx x ? y dx 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 ?x ? y dy d y du 法2. 作变换 u ? u ? x , ? ?1 ? x ? y ,则 y dx dx du 1 ?1 ? , 代入原方程得 dx u

d u u ?1 ? dx u

可分离变量方程

思考与练习
提示: 可分离 y ?1 dx dy ? 变量方程 y x dy y y ? ln 齐次方程 dx x x 2 d y 1 x 3 线性方程 ? y ?? ( 3 ) ( y ? x ) d x ? 2 x d y ? 0 dx 2x 2 2 d x 1 y 3 线性方程 ? x ?? ( 4 ) 2 y d x ? ( y ? x ) d y ? 0 dy 2y 2 dy 2 lnx 2 伯努利 ( 5 ) ( y ln x ? 2 ) y d x ? x d y ? y? y 方程 d x x x 判别下列方程类型: d y d y ( 1 ) x ?y?x y d x d x d y ( 2 )x ? y (ln y ? ln x ) d x

备用题
1. 求一连续可导函数 f ( x) 使其满足下列方程:

f( x ) ? sin x ? x ? t ) d t ? f(
0

x

令u ? x ? t

提示: f( x )? sin x ? u ) d u ? f(
0

x

则有

? f ( x ) ? f ( x ) ? cos x 线性方程

f( 0 )? 0

利用公式可求出

1 ? x f ( x ) ?(cos x ? sin x ? e) 2

? 其中 ? y ? f ( x ) , 2. 设有微分方程 y 2 , 0 ? x ? 1 f (x )? 0 , x ? 1 试求此方程满足初始条件 y x ?0 ? 0 的连续解.
解: 1) 先解定解问题

? y ? y ? 2 ,0 ? x ? 1
y x ?0 ? 0

利用通解公式, 得 ?? d x d x ? y ?e ?? ? 2 e d x ? C 1
? x x

? x ? 2 ? C e ? e( 2 e? C ) 1 1

2 利用 y x ?0 ? 0 得 C 1 ??
故有

y ? 2 ? 2 e ( 0 ? x ? 1 )

? x

2) 再解定解问题

? y ? y ? 0 ,x ? 1
? 1 y ? y ( 1 ) ? 2 ? 2 e x ? 1

? x 此齐次线性方程的通解为 y ? C e ( x ? 1 ) 2

利用衔接条件得 C ? 2 (e ? 1 ) 2

因此有
3) 原问题的解为

? x y ? 2 (e ? 1 ) e ( x ? 1 )

? x 2 ( 1 ? e ), 0 ? x ? 1 ? y ? ? ? x ?2 (e ? 1 ) e , x ? 1

? x y ? 2 ? 2 e ( 0 ? x ? 1 )

内容小结
1. 微分方程的概念

微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 ?? 例如, 方程 ( x ? y )y 0 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .

3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程
例4 例5

3) 根据微量分析平衡关系列方程
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.

例6

(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.

思考与练习
求下列方程的通解 :
2 2 ( 1 ) ( x ? x y ) d x ? ( x y ? y ) d y ? 0

? ( 2 ) y ? sin( x ? y ) ? sin( x ? y ) y x d y? d x 提示: (1) 分离变量 2 2 1 ?y 1 ?x ? ? ? 2 cos x sin y (2) 方程变形为 y y ln tan? ? 2 sin x ? C 2


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