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1.1.1平面直角坐标系-伸缩变换


1.1.1《平面直角坐标系》

问题提出

1.平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁,
通过直角坐标系,使平面上的点与坐标,曲线与 方程,函数与图象建立了对应关系.选择适当的直 角坐标系,建立几何对象的方程,再通过方程研 究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研 究几何问题的坐标法.
2.在平面直角坐标系中,我们可以将几何图形 进行平移、伸缩,经过伸缩变换后的曲线方程与 原曲线方程有什么内在联系,是需要我们进一步 明确的问题.

探究(一):坐标法的基本思想

思考1:某信息中心O接到与之等距离,且位于正 东A、正西B、正北C方向三个观测点的报告:正西、 正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点 听到巨响的时间比它们晚4s,在几何上如何确定 发出巨响的点P的位置?
北 P B C 东

O

l

A

思考2:已知各观测点到中心O的距离都是1020m, 若具体确定点P的位置,可借助直角坐标系解决, 怎样建立直角坐标系才有利于运算?

以信息中心O为原点, 直线BA为x轴.
B

y
P O
C

北 东 l A

x

y
P B O C

北 东 A

l

x

思考4:点P的坐标是什么?用哪种方式指出响声 点P的位置更方便? y
北 P C 东 A

B

O

l

x

思考5:一般地,用坐标法解决几何问题的基本思 路是什么? 建立直角坐标系 →求曲线方程
→求相关数据 →回归原几何问题.

练习:教材4-4 P8 1,2
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比 较不同的直角坐标系下解决问题的过程,建立直 角坐标系应注意什么问题? 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系. (1)若图形有对称中心,选对称中心为坐标原点; (2)若图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;

(3)图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.

二.平面直角坐标系中的伸缩变换

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

? ? 1 x ? x ? 坐标对应关系为: 2 ? ? ? y? ? y

1

通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换.

y

y=3sinx y=sinx 2?

O

?

x

? x? ? x ? ? y? ? 3 y

2

通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换.

y
y=3sin2x

O

?

2?
x

? ? 1 ?x ? x 2 ? ? ? y? ? 3 y

3

通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 缩变换.

?x' ? ? x ? :? ? y' ? ? y

( ? ? 0) ( ? ? 0)

4

?

(1)? ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形 的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在同一直角坐标系下进行伸缩变换. 注

例2.在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形

? x? ? 2 x 经过伸缩变换 ? 后的图形. ? y? ? 3 y
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
1 ? x ? x? ? ? 2 得? ? y ? 1 y? ? 3 ?

? x? ? 2 x 解: ?1?由伸缩变换 ? ? ? y ? 3y
代入2x+3y=0 得x?+y?=0

? x? ? ? x 1解:设伸缩变换 ? ?,? ? 0? ? ? y? ? ? y

x? ? y? ? 1
2 2

代入x? +y? =1得 ? x ? ? y ? 1
2 2
2 2 2 2

1 ? ?? ? 3 又4 x2 ? 9 y 2 ? 36 则 ? ? ?? ? 1 ? ? 2

? ? 1 x ? x ? ? 3 得? ? y? ? 1 y ? ? 2

变式2.

? x? ? 3x ? ? y? ? y

? x? ? 3x 2.解:将 ? 代入 ? y? ? y
2 2

x? -9y? =9
2 2

得9x -9y =9 即x -y =1

2

2

3

? ?x′=2x 将曲线 C 经过伸缩变换? 1 后对应图形的方程为 y′= y ? 3 ?

x2-y2=1,则曲线 C 的焦点坐标为________.
1 解析:由条件知点(2x, y)在曲线x2-y2=1上, 3
2 y 1 2 2 2 ∴4x - =1,∵a = ,b =9, 9 4

37 ∴c =a +b = , 4
2 2 2

37 37 ∴c= ,∴焦点坐标为(± ,0). 2 2

1 ? ?x′= x, 2 4.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为? ? ?y′=3y, 则 在 这 一 坐 标 变 换 下 正 弦 曲 线 y = sinx 的 方 程 变 为 ________.
1 x=2x′, ? ? ?x′= x, ? 2 解析:∵? ∴? 1 y= y′. ? ? ?y′=3y, ? 3 代入 y=sinx 得 y′=3sin2x′.
答案:y′=3sin2x′

课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换.


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