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辽宁省抚顺市第二中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

2015 届高三期中测试数学试题(理)
命题单位 抚顺市第二中学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0}, B ? {x | ?4 ? x ? 0} ,则 A ? CR B ? A. R B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2} D. ?

2.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则复数 z ? A. 2 ? 4i B. 2 ? 4i C. 4 ? 2i D. 4 ? 2i 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a4 ? a6 ? 12 ,则 S7 的值 A.21
?

B.24
x dx ? 2
4 ? 1 2

C.28

D.7

4 . ? 2 sin 2
0

A.0

B.

?

C.

?
4

?

1 4

D.

? ?1 2

5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 1 A. f ( x ) ? B. f ( x) ? ? x C. f ( x) ? 2? x ? 2x D. f ( x) ? ? tan x x 6.函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 15 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) 等于 A.
2 15

B.

15 2

C.2

D.15

7.函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4

1 4 8.已知 a , b 均为正数,且 ? ? 2 ,则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范围 a b 9 A. (??, ] B. (0,1] C. (??,9] D. (??,8] 2

9.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 12
A.向右平移

B.向左平移

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 12

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1 ?

A. [0,11]

B. [?5,11]

C. [?1,11]

D. [1,11]

11.已知等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,给出下列四个有关数列 {an } 的命题:

p1 :如果 a1 ? 0 且 q ? 1 ,那么数列 {an } 是递增的等比数列; p2 :如果 a1 ? 0 且 q ? 1 ,那么数列 {an } 是递减的等比数列; p3 :如果 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,那么数列 {an } 是递增的等比数列; p4 :如果 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,那么数列 {an } 是递减的等比数列.
其中为真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 12 . 已 知 函 数 f ( x) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 若 f ?( x ) 满 足
f ?( x) ? f ( x) ?0 , x ?1

f (2 ? x) ? f ( x)e2?2 x ,则下列判断一定正确的是
A. f (1) ? f (0) C. f (2) ? e ? f (0) B. f (3) ? e3 ? f (0)
[来源:学科网 ZXXK]

D. f (4) ? e4 ? f (0)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为

? ,则 | 2a ? b |? _________. 3

5? ? 3 3 14.若 cos(? ? ) ? sin ? ? ,则 sin(? ? ) ? __________. 6 6 5

? x 2 ? x, x ? 0 ? 15.设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是_________. ? ?? x , x ? 0

16.设函数 f ( x) ? ln

1x ? 2 x ?

? (n ? 1) x ? n x a ,其中 a ? R ,对于任意的正整数 n(n ? 2) ,如果不 n

等式 f ( x) ? ( x ? 1) ln n 在区间 [1, ??) 上有解,则实数 a 的取值范围是___________.

三、解答题(解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

? 已知 f ( x) ? 2 cos x ? sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x ? cos x . 3
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; (2)求函数 f ( x) 的最小值及取最小值时的 x 的值. 18.(本小题满分 12 分) △ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a, b, c 依次成等差数列. (1)若向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C) 共线,求 cos A 的值; (2)若 ac ? 8 ,求△ ABC 的面积 S 的最大值. 19.( 本小题满分 12 分)
2 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 ? a6 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?
1 ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和 Sn . bn

20.(本小题满分 12 分) x , f ( x) ? g ( x) ? ax . 已知 g ( x) ? ln x (1)求函数 g ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (1, ??) 上单调 递减,求 a 的最小值 ; (3)若存在 x1, x2 ?[e, e2 ] ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求 a 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? m ? 2ln x(m ? R) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? (1 ? )( x2 ? x1 ) . 2 x1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图,PA, PB 是圆 O 的两条切线, A, B 是切点,C 是劣弧 AB (不包括端点)上一点,直线 PC 交 圆 O 于 另 一 点 D , Q 在 弦 CD 上 , 且 ?DAQ ? ?PBC . 求 证 : (1)
A

BD BC ? ; AD AC

O C D Q P

B

(2)△ ADQ ∽△ DBQ . 23.(本小题满分 10 分)选修 4 —4 :坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 4cos ? 已知在直 角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (? 为参数),直线 l 经过定点 ? y ? 2 ? 4sin ?

? . 3 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程;
P(3,5) ,倾斜角为

(2)设直线 l 与曲线 C 相交 于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4 —5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ?1| ? | x ? 2 | . (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集;
[来源:学科网]

(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围.

2015 届高三期中测试数学试题(理)参考答案 一.选择题 1. C 12.B 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 7. B 8. A 9. C 10. C 11. C

二.填空题 13. 2 3 三.解答题
17. f ( x) ? 2cos x ? (sin x ?

14.

3 5

15. (??, 2]

16. ( , ??)

1 2

1 3 ? cos x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x ? cos x 2 2

? 2sin x ? cos x ? 3(cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x ? 3 cos 2x
? 2sin(2 x ? ) 3 2? ?? (1)最小正周期 T ? 2 ?

?

4分 6分

?

2

? 2k? ? 2 x?

?

3

?

?

? 2? k 2

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ? (2)当 sin(2 x ? 此时 2 x ?

?
3

5? ? , k? ? ](k ? Z ) 12 12

8分 10 分 12 分

) ? ?1 时,函数 f ( x) 的最小值为 ?2 ,

?
3

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

5? (k ? Z ) 12

18.因为依次成等差数列,所以 因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C) 共线,所以 2sin B ? 3sin C ,

由正弦定理得 2b ? 3c ,于是

a ? 2c , b ?

3 c 2 .

3分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 a 2 ? c 2 ? b2 4 1 cos A ? ? ?? 2 2ac 3c 4. 因此由余弦定得
(2)由(1)知 2b ? a ? c ,于是由余弦定理得

6分

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 4ac 1 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2 .(当且仅当 a ? c 时取等号).

? 3 B ? (0, ], 0 ? sin B ? 3 2 , 因为角 B 是三角形的内角,所以
1 1 3 S ? ac sin B ? ? 8 ? ?2 3 2 2 2 因此 ,即 S 的最大值为 2 3 .
19.(1)设等比数列的公比为 q ,
2 2 由 a3 ? 9a2 ? a6 ? 9a4 ,等比数列的各项为正数,所以 a3 ? 3a4 , q ?

9分

12 分

1 . 3

3分

又 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ? (2) bn ? log 3 所以

1 . 3

故 an ? a1 ? q

1 1 ? log3 ( ) 2 ? 3 3

1 ? log 3 ( ) n ? ?(1 ? 2 ? 3

1 ? ( )n 3 n(n ? 1) ? n) ? ? 2
n ?1

5分 8分

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 ? ? ? 1 2 2 3 ? 1 1 2n ? )?? n n ?1 n ?1

10 分

所以 Sn ? ?2( ? 20.(1) g ?( x) ?

12 分

ln x ? 1 (ln x)2
2分 4分

当时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 的增区间为 (e, ??)

当 g ?( x) ? 0 时,因为 x ? 0, x ? 1,所以 g ( x) 的减区间为 (0,1), (1, e) (2) f ?( x) ?

ln x ? 1 ?a (ln x) 2 ln x ? 1 (ln x ) 2
6分

因为在 f ( x ) 上 (1, ??) 单调递减,所以 f ?( x) ? 0 恒成立.则 a ?

设 h( x ) ?

1 1 1 ln x ? 1 ? )2 ? , , h( x ) ? ?( 2 ln x 2 4 (ln x)
1 1 ,所以 a ? . 4 4
[来源:学科网]

由于 ln x ? 0 ,所以 h( x) 的最大值为 (3)由题意,只须 f ( x) ? f ?( x)max ? a

8分

1 1 ? a ,所以只须 f ( x ) ? 4 4 x 1 1 1 ? ax ? ,所以 a ? ? 即 ln x 4 ln x 4 x
由(2)可知, f ?( x ) max ? 设 F ( x) ?

9分 10 分

1 1 1 1 (ln x)2 ? 4 x ? , F ?( x) ? ? ? ? ln x 4 x x(ln x)2 4 x 2 4 x 2 (ln x)2
[来源:Zxxk.Com]

由于 x ?[e, e ] , (ln x) ?[1, 4], 4 x ?[4e, 4e ] , 所以 F ?( x) ? 0 ,
2 2 2

F ( x) 在 [e, e2 ] 上单调递减,所以 F ( x) 的最小值为 F (e 2 ) ?
所以 a ?

1 1 ? 2 2 4e

1 1 ? 2 4e 2

12 分

21.解: (1) f ?( x) ?

mx ? 2 ,x ?0. x

若 m ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上递减;

若 m ? 0 ,当 x ? (0,

2 2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ) 上单调递减; m m 2 2 当 x ? ( , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( , ?? ) 上单调递增. m m

4分

(2)由(1)知,若 m ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上递减, 又 f (1) ? 0 ,故 f ( x) ? 0 不恒成立.

2 ,1) 时, f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意. m 2 若 0 ? m ? 2 ,当 x ? (1, ) 时, f ( x ) 单调递减, f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意. m
若 m ? 2 ,当 x ? ( 若 m ? 2 , f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增.

f ( x) ? f (1) ? 0 符合题意.
故 m ? 2 ,且 ln x ? x ? 1 (当且仅当 x ? 1 时取“ ? ”). 当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2[( x2 ? x1 ) ? ln 8分

x2 ] x1

因为 ln

x2 x2 x 1 ? ? 1 ,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2[( x2 ? x1 ) ? ( 2 ? 1)] ? 2( x2 ? x1 )(1 ? ) . x1 x1 x1 x1
12 分

因此

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? (1 ? )( x2 ? x1 ) . 2 x1

BD PD AD PD ? ? PB .同理 AC PA . 22.证明解:(1)因为△ PBC ∽△ PDB ,所以 BC BD AD BD BC ? ? AC ,即 AD AC . 又因 为 PA ? PB ,所以 BC

5分

(2)连接 AB ,因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ ,

BC DQ BD DQ ? ? ADQ AC AQ AD AQ . ABC 所以△ ∽△ ,即 ,故
又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ ,所以 ADQ △∽△ BDQ . 10 分

A

O C D Q P

B

23.解:圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 .

[来源:学#科#网]

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 直线 l : ? (t 为参数). ?y ? 5? 3 t ? ? 2

5分

(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得 t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 . 设 t1 , t2 t 是此方程的两个根,则 t1 ? t2 ? ?3 , 所以 | PA || PB |?| t1 || t2 |?| t1 ? t2 |? 3 . 10 分

8分

1 ? ? x ? 3, x ? 2 ? 1 ? 24.解: (1) f ( x) ? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? ?3 ? x, x ? ?2 ? ?

1 1 ? ? ? x ? ?2 ?x ? ? ?2 ? x ? 所以原不等式转化为 ? 2 ,或 ? 2 ,或 ? ?3 ? x ? 3 ? ? ?x ? 3 ? 3 ? ?3 x ? 1 ? 3
所以原不等式的解集为 (??, ? ] [6, ??) . (2)只要 f ( x)max ? t ? 3t ,
2

3分

4 3

6分 8分 10 分

2 由(1)知 f ( x)max ? ?2 ? t ? 3t ,解得 t ? 2 或 t ? 1 .