当前位置:首页 >> 数学 >>

热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象函数的五类问题

Go the distance

抽象函数是高中数学的难点,大多数同学感 觉找不着头绪,对抽象函数的研究往往要通过函 数的性质来体现,如函数的奇偶性、单调性和周 期性.利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函 数问题的重要策略.下面从 5 个不同的方面来探 寻一些做题的规律.

1.抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域,利用代换法得到不等式(组)进行求解. [典例 1] ________. 0≤x -1≤8, ? ? [解析] 要使函数有意义,需使?x+1>0, ? ?2-log2?x+1?≠0, 1≤x ≤9, ? ? 即?x>-1, ? ?x≠3, [答案] [1,3) [题后悟道] 函数 y=f(g(x))的定义域的求法, 常常通过换元设 t=g(x), 根据函数 y=f(t) 的定义域,得到 g(x)的范围,从而解出 x 的范围.在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结 构,使得分式、对数等都要有意义. 2.抽象函数的函数值 [典例 2] (文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-2)=( A.2 ) B.3
2 2

已知函数 y=f(x)的定义域是[0,8],则函数 g(x)=

f?x2-1? 的定义域为 2-log2?x+1?

则 1≤x<3,所以函数的定义域为[1,3).

Go the distance

C.6

D.9

[解析] 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 x=y=1,得 f(2)=2f(1)+2=6,由 0=f(2-2)=f(2) +f(-2)-8 得 f(-2)=2. [答案] A [典例 2] (理)已知定义在 R 上的单调函数 f(x)满足:存在实数 x0,使得对于任意实数 x1,x2,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立. 求:(1)f(1)+f(0); (2)x0 的值. [解] (1)因为对于任意实数 x1,x2,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,令 x1 =1,x2=0,得 f(x0)=f(x0)+f(0)+f(1),所以 f(0)+f(1)=0. (2)令 x1=0,x2=0,得 f(0)=f(x0)+2f(0),即 f(x0)=-f(0).故 f(x0)=f(1).又因为 f(x) 是单调函数,所以 x0=1. [题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法,需要结合已知条件,通过观察和多次 尝试寻找有用的取值, 挖掘出函数的性质, 特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化 解答. 3.抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系,从而得到函 数图象关于原点或 y 轴对称,结合函数的图形作出进一步的判断. [典例 3] 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),且 f(0)≠0, 求证:f(x)是偶函数. [证明] 取 x=0,y=0,得 2f(0)=2f2(0),因为 f(0)≠0,所以 f(0)=1;再取 x=0,得 f(y) +f(-y)=2f(0)· f(y)=2f(y).所以 f(y)=f(-y),所以函数 f(x)是偶函数. [题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时,等式中如果还有其他的量未解决,例 如本题中的 f(0),还需要令 x,y 取特殊值进行求解. 4.抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点, 常出现一些综合性问题, 利用导数进 行判断求解, 并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围, 再根据单 调性求解或证明抽象不等式问题.(结合本节例 2(2)学习). 5.抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性, 特别是在求自变量值较大的函数值时, 就要考虑寻找函 数的周期,从而利用周期把函数值转化为已知求出. 1 [典例 4] 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 014) 4

Go the distance

=________. [解析] 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n), 联立,得 f(n+2)=-f(n-1),所以 f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函 1 数的周期为 T=6,故 f(2 014)=f(4)=-f(1)=- . 4 1 [答案] - 4 [题后悟道] 判断抽象函数的周期性时,给一个变量赋值是关键,但由于函数的周期性 是函数的整体性质,因此另一个变量必须具有任意性. 从以上几种类型来看,解答抽象函数问题并不是无计可施,只要我们善于观察、分析、 掌握解题规律,把抽象问题形象化、具体化,问题就可以化难为易、迎刃而解.


相关文章:
热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象函数的五类问题.doc
热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象函数的五类问题 - 2014届福州高考,
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象....doc
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象函数的五类问题 - 抽
...复习热点难点突破之3、攻克抽象函数的五类问题(含答....doc
热点难点突破系列之三攻克抽象函数的五类问题抽象函数是高中数学的难点, 大多数同
2019届高考数学热点难点突破(三)攻克抽象函数的五类问题.doc
2019届高考数学热点难点突破(三)攻克抽象函数的五类问题 - 数学试卷 抽象函
2014届高考数学热点难点突破(三)攻克抽象函数的五类问题.doc
2014届高考数学热点难点突破(三)攻克抽象函数的五类问题 - 抽象函数是高中数
热点难点突破-不拉分系列之(十三)补形法破解体积问题.doc
热点难点突破-不拉分系列之(十三)补形法破解体积问题 - 某些空间几何体是某一个
热点难点突破-不拉分系列之(十四)解答立体几何中探索性....doc
热点难点突破-不拉分系列之(十四)解答立体几何中探索性问题 - 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直 关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题 的探究,...
热点难点突破-不拉分系列之(十)类比推理三法宝-观察分....doc
热点难点突破-不拉分系列之(十)类比推理三法宝-观察分析比较 - 2014届福州
热点难点突破-不拉分系列之(十)研透两种题型,突破含参....doc
热点难点突破-不拉分系列之(十)研透两种题型,突破含参变量的线性规划问题 - 含参变量的线性规划问题是近年来高考命题 的热点,由于参数的引入,提高了思维的技巧,...
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(八)三法破解....doc
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(八)三法破解由递推公式求桐乡功的问题 - 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项,...
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(四)图解函数....doc
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(四)图解函数的零点问题 - 函数零点问题主要有四类:一是判断函数零 点或方程根的个数;二是利用函数零点确定函数 解析...
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(六)合理转化....doc
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(六)合理转化,将三角函数最值问题化难为易 - 解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最 值一样,一方面应充分利用三角...
热点难点突破-不拉分系列之(十五)破解与圆有关的交汇问题.doc
热点难点突破-不拉分系列之(十五)破解与圆有关的交汇问题 - 与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点, 这类问题,要特别注意圆的定义及其性质的运用. 同时,...
2016届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(二)多法并....pdf
2016届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(二)多法并举 求函数值域不犯难 - 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定,但因函数千变万化,形式各异,值域...
热点难点突破-不拉分系列之(二)多法并举 求函数值域不犯难.doc
热点难点突破-不拉分系列之(二)多法并举 求函数值域不犯难 - 《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 ...
高考数学 热点难点突破技巧 第01讲 抽象函数的图像和性....doc
高考数学 热点难点突破技巧 第01讲 抽象函数的图像和性质问题的处理_高考_高中教育_教育专区。第 01 讲:抽象函数的图像和性质问题的处理 【知识要点】 一、抽象...
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(九)由题定法....doc
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(九)由题定法,解开数列中探索性问题的神秘面纱 - 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类 题目的条件或结论不...
热点难点突破-不拉分系列之(十四)解答立体几何中探索性....doc
热点难点突破-不拉分系列之(十四)解答立体几何中探索性问题 - 数学试卷 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直 关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题 ...
热点难点突破-不拉分系列之(十)研透两种题型,突破含参....doc
热点难点突破-不拉分系列之(十)研透两种题型,突破含参变量的线性规划问题_数学_
高考数学热点难点突破技巧第01讲抽象函数的图像和性质....doc
高考数学热点难点突破技巧第01讲抽象函数的图像和性质问题的处理_高考_高中教育_教育专区。第 01 讲:抽象函数的图像和性质问题的处理 【知识要点】 一、抽象函数的...