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墨微教育高中数学专题讲座:函数的奇偶性、单调性及其应用(最新)2018.09.12


函数的奇偶性、单调性及其应用 教研组:
函数的奇偶性:
1、偶函数:对于函数 y ? f ( x) 的 定义域 D 内的任意实数 a ,都有 f (? x) ? f ( x) ; 2、奇函数:对于函数 y ? f ( x) 的 定义域 D 内的任意实数 a ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ; 3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要非充分___条件, ; 4、偶函数的图像关于__ y 轴对称__对称,奇函数的图像关于 坐标原点 对称; 5、分段函数的奇偶性一定要 6、判断函数的奇偶性的方法: (1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则 再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; 常考的复杂的奇、偶函数 奇函数: 分段 证明。

2018.09.12

y ? a x ? a? x

y ? log a

1? x 1? x

y?

a x ?1 ax ?1

y ? log a ( 1 ? x 2 ? x )

偶函数: (2)图象法;

y ? a x ? a? x

(3)性质法:①设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上: 奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇; ②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数; (4)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

f ( x)? f ( ? x)? , 0
例题分析

f ( x) ? ?1 f (? x)

一、函数奇偶性的判定
例 1、条件甲:函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,条件乙:函数 f ( x) 是奇函数,则甲是乙的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条

例2、若 f ? x ? ?

1 ? a 是奇函数,则实数 a ? 2 ?1
x

. ,b = .

例3已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为 [a ? 1,2a] ,则 a = 例 4 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? lg( x ? 1 ? x 2 ) (2) f ?x ? ?

1? 2x 1? x ? log2 x 1? x 1? 2

例 5 设函数 f ( x) ? a ? sin( x ? ?1 ) ? b ? sin( x ? ?2 ) ,其中 a, b, ?1 , ? 2 为已知实常数,下列关于函数 f ( x) 的 性质判断正确的命题的序号是_______________. ①若 f (0) ? f ( ) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 对任意实数 x 恒成立; ②若 f (0) ? 0 ,则函数 f ( x) 为奇函数; ③若 f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x) 为偶函数;

?

2

?

2

二、函数奇偶性的性质
例 6 设 f ( x) ?

? 2x ? a ( a , b 为实常数) . 2 x ?1 ? b

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数; (2)设 f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; 例7已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? .

2 例 8 若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1,1)上的增函数,试解关于 a 的不等式: f (a ? 2) ? f (a ? 4) ? 0 .

例 9 设奇函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 5,5? ,若当 x ? ?0,5? 时, f ?x ? 的图象如右图,则不等式 f ?x ? ? 0 的解 是 .

例 10 若 ? ( x) , g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg ( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f ( x) 在(- ∞,0)上有 A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 ( )

D.最大值-3

三、函数奇偶性的综合应用
例 11 已知 f (2 x ? 1) 为偶函数,则 f (2 x) 的对称轴是___________

例 12 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f (2) ? 1 , f ( 2014 ) ? 围是___________ 例 13 函数 f ( x) ? 3x ? sin(2 x ? 1) 图像的一个对称中心是 例 14 已知 x, y ? ?? 则 cos( x ? 2 y ) = 例 15 已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ? .

2a ? 3 ,则 a 的取值范 a ?1

? ? ?? , ? , a ? R ,且 x 3 ? sin x ? 2a ? 0 , 4 y 3 ? sin y cos y ? a ? 0 , ? 4 4?

? ? ? ? ,且公差 d ? 0 .若 ,? ? 2 2?

f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 27 ) ? 0 ,则当 k =_____时, f (a k ) ? 0 .
例16设函数 f ( x) ?
x3 ? | x | ?2 x 2 ? x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? 2 x2 ? | x |

函数的单调性
1.函数的单调性的定义 对于给定区间上的函数 y ? f ( x) ,如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值 x1 、 x2 ,只要有

x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在这个区间上是增函数;
对于给定区间上的函数 y ? f ( x) ,如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值 x1 、 x2 ,只要有

x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在这个区间上是减函数.
2.函数的单调区间 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间 I 上是增(减)函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这个区间 I 上是单调 函数,区间 I 叫做函数 y ? f ( x) 的单调区间. 3.用定义证明(判断)函数在指定区间上的单调性 证明(判断)函数 y ? f ( x) 在指定区间 A 上的单调性的一般步骤是: ① 设元:设 x1 , x2 ? A ,且 x1 ? x2 .目的是使 x1 , x2 在区间 A 内,并规定 x1 与 x2 的大小顺序. ② 作差: f ( x1 ) ? f ( x2 ) .目的是将 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 0 比较大小. ③ 变形:将 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 变形至可以与 0 比较大小为止.常用因式分解或配方进行变形.④ 判号:定

?? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? 0 ?? 0 ?

三种情况之一.

⑤ 定论:根据①和④作出结论. 4.单调性的常见等价命题形式 (1)对于任意的 a ? 0 ,都有 f ( x ? a) ? f ( x) ,表示 f ( x) 单调递增; 对于任意的 a ? 0 ,都有 f ( x ? a) ? f ( x) ,表示 f ( x) 单调递减; (2) 【斜率】对于任意的 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,表示 f ( x) 单调递增; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,表示 f ( x) 单调递减. x1 ? x2

对于任意的 x1 ? x2 ,都有

5.复合函数的单调性 遵循“同增异减”的规律,同时特别注意:讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此,要研究函数 的单调性,必须先求函数的定义域. 设 y ? f (u), u ? ? ( x) 且当 x ? A 时, u ? B ,则复合函数 y ? f [? ( x)]( x ? A) 的单调性与内、外层函 数的单调性关系为下表所示. 函数 单调区间

y ? f (u )

u ? ? ( x)

y ? f [? ( x)]

u?B
增 增 减 减

x? A
增 减 增 减

x? A
增 减 减 增

单调性

6.在研究形如 y ? x ?

a 的函数的单调性时,需分两种情况讨论: (1)当 a ? 0 ,在 (??,0) 和 (0, ??) 上 x

是增函数; (2)当 a ? 0 时,在 (0, a ] 和 [? a ,0) 上是减函数,在 [ a , ??) 和 (??, ? a ] 上是增函数. 7.关于分段函数的单调性: 若函数 f ( x) ? ?

? ? g ( x), x ? ? a, b ? , ? a ? b ? c ? d ? , g ( x) 在区间 x ? ?a, b? 上是增函数, h( x) 在区间 h ( x ), x ? c , d , ? ? ? ?

x ? ?c, d ? 上是增函数, 则 f ( x) 在区间 ?a, b? ? ?c, d ? 上不一定是增函数, 若使得 f ( x) 在区间 ?a, b? ? ?c, d ?
上一定是增函数,需补充条件: g (b) ? h(c) . 8.奇偶性与单调性的联系: 若 f ( x) 是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的.

例题分析 一、函数单调性的证明(判断) 1 例 1 讨论函数 f ( x) ? 2 x ? 2 在 x ? 0 上的单调性. x
例 2 写出函数 f ( x) ? log0.5 ( x2 ? 2x ? 3) 的递减区间. 例 3(1)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [4, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围. (2)已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在区间 [2, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 例 4 已知函数 f ?x? ?

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 .

(1)若 2 f (1) ? f (?1) ,求 a 的值; (2)证明:当且仅当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上为单调函数; (3)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求 a 的取值范围.

二、函数奇偶性与单调性的联系
例 5 已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f ? log 3
2

? ?

1 ? ? ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是 m ?1 ?

. .

例 6 已知 a , b 为正实数, 函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 2x 在 ?0,1? 上的最大值为 4 , 则 f ( x) 在 ? ?1, 0? 上的最小值为 例 7 已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 是定义在 ? ?11 , ? 上的奇函数,其中 a 、 b ? R 且 1 ? x2

?1? 2 f ? ?? . ?2? 5

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)判断函数 f ? x ? 在区间 ? ?11 , ? 上的单调性,并用单调性定义证明你的结论;
2 (3)解关于 t 的不等式 f ? t ? 1? ? f t ? 0 .

? ?

三、分段函数的单调性问题
例 8 已知函数 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 是 R 上的减函数,求实数 a 的取值范围. x ?1 ?log a x,

例 10 已知函数 y ? f ( x), x ? D ,如果对于定义域 D 内的任意实数 x ,对于给定的非零常数 m ,总存在 非零常数 T ,恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x ) 是 D 上的 m 级类增周期函数,周期为 T .若 恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x ) 是 D 上的 m 级类周期函数,周期为 T . (1)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 是 ?3, ? ?? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数 a 的取值范围;
2

(2)已知 T ? 1 , y ? f ( x) 是 0, ? ?? 上 m 级类周期函数,且 y ? f ( x) 是 0, ? ?? 上的单调递增函数,

?

?

x 当 x ? 0, 1? 时, f ( x ) ? 2 ,求实数 m 的取值范围.

?

四、函数单调性的应用
例 11 已知函数 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f (2) ? 1 ,解不等式

f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 .
例 12 设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ?1? a? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x 2 ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立的的取值范围; (3)若 f ?1? ?

?

?

3 ,且 g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? ,在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 2

x 例 13 设 x∈R,若函数 f ( x) 为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f ? ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1 (e 是自然对

数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于 例 14 给出四个函数:① f ( x) ? x ?



1 ,② g ( x) ? 3 x ? 3? x ,③ u( x) ? x 3 ,④ v( x) ? sin x ,其中满足条 x 件:对任意实数 x 及任意正数 m ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为 . (写出所
有满足条件的函数的序号) 例 15 已知实数 x ,y 满足 ? π ≤ x ≤ π , ? π ≤ y ≤ π .若 2 ? 3x ? sin x ? 2 ? 0, 9 y ? sin y cos y ? 1 ? 0 ,则 4 4 4 4
cos(x ? 2y ) 的值为



例 16 已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ?a , x ? R . (1)当 a ? 1 时,求满足 f ( x) ? x 的 x 值; (2)当 a ? 0 时,写出函数 f ( x) 的单调递增区间; (3)当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 (结果用区间表示) .


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