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(新课标A版)高一数学必修1 第一章 集合与函数概念(14份打包)1322

第一章 集合与函数概念

1.3 函数的基本性质

1.3.2 奇偶性

第二课时 函数性质的应用

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.进一步加深对函数奇偶性概念的理解. 2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、 求最值、解不等式等综合问题.

课前热身 1.定义在R上的奇函数,必有f(0)=________. 2.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则 f(x)在[-b,-a]上是________函数,且有最小值________. 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0, +∞)上是________函数.

自 1.0 我 2.增 -M 校
3.增 对

思考探究 函数奇偶性和单调性的关系是怎样的? 提示(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函 数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单
调性 . (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在
[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.

名师点拨 理解函数的奇偶性应关注四点 1.函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函 数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x) =-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.

2.函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件:定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关 于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y= x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇 偶性可言.
3.若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.

4.若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又 是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D, D是关于原点对称的实数集.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析 一 奇、偶函数的图象
【例1】 已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则函数 F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是( )

【解析】 由图象可知函数y=f(x)与y=g(x)均为奇函数, f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),F(x)=f(x)·g(x)=[-f(-x)]·[- g(-x)]=F(-x),所以函数F(x)=f(x)·g(x)为偶函数.注意到函 数y=f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0,而函数y=g(x) 在右侧部分恒大于0,因此F(x)=f(x)·g(x)的图象在y轴右侧先在 x轴下方,后在x轴上方,且不经过原点,满足这些条件的只有 A.
【答案】 A

规律技巧 本例是判断奇函数、偶函数积的奇偶性,将函 数图象中明显特征(如定义域、与x轴的交点、在x轴上下方 等),用于分析函数的奇偶性、单调性等函数特征,提高分析 识图能力.

变式训练1 函数y=f(x)是定义在R上的偶函数.当x≥0时 f(x)的图象如图所示,写出函数f(x)的单调递减区间________.

解析 因为f(x)是偶函数,在y轴两侧对称区间内具有相反 的单调性,由图易知,在[0,1],[3,+∞)上为增函数;所以在 [-1,0],(-∞,-3]上为减函数,因此f(x)在R上的减区间为 (-∞,-3],[-1,0],[1,3].
答案 (-∞,-3],[-1,0],[1,3]

二 抽象函数问题
【例2】 定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R, 都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值; (2)判断f(x)的奇偶性.

【解】 (1)令x=y=0,则有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0) 即2f(0)=2f(0)·f(0). ∵f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)令x=0得,f(y)+f(-y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y). ∴f(x)为偶函数.

规律技巧 对于抽象函数的命题,赋值法是解决问题的关 键,常用f?0?,f?±1?来研究函数f?x?的性质.

变式训练2 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且 对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.

解 (1)f(0)=f(0·0)=0f(0)+0f(0)=0. 由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1), 得f(1)=0. (2)f(x)是奇函数. 证明:因为f(1)=f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1)=0, 所以f(-1)=0. f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x), 因此,f(x)为奇函数.

三 函数的综合问题
【例3】 函数f(x)=a1x++xb2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(12)=25.
(1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

【解】

??f?0?=0, (1)依题意得???f?12?=25,

???1+b 02=0, ∴??????a21+ +b14=25,

∴?????ab= =10, , ∴f(x)=1+x x2.

(2)证明:任取-1<x1<x2<1, ∴f(x1)-f(x2)=1+x1x21-1+x2x22 =?x?11-+xx221????11-+xx122x?2?. ∵-1<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,1+x21>0,1+x22>0, 由-1<x1<x2<1知,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0.

∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)∵f(t-1)<-f(t)=f(-t), 又f(x)在(-1,1)上为增函数, ∴-1<t-1<-t<1,∴0<t<12.

规律技巧 函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质,题 目中利用了f(0)=0,也可以利用定义对x∈(-1,1),f(-x)= -f(x)恒成立,也可以利用f(-12)=-25来解题.

变式训练3 已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且在定 义域内单调递减,若a满足f(1-a)+f(1-2a)<0,求实数a的取 值范围.

解 ∵f(1-a)+f(1-2a)<0,∴f(1-a)<-f(1-2a), 又f(x)在(-1,1)上为奇函数,∴f(1-a)<f(2a-1). 又f(x)在(-1,1)上为减函数,

?? -1<1-a<1, ∴?-1<1-2a<1,
??1-a>2a-1,

?? 0<a<2, ∴??0<a<1,
???a<23.

∴0<a<23. ∴a的取值范围是???0,23???.

易错探究 【例4】 下面四个结论: (1)偶函数的图象一定和y轴相交; (2)奇函数的图象一定通过原点; (3)偶函数的图象一定关于y轴对称; (4)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R). 其中正确的命题是________. 【错解】 (2)(3)(4)

【错因分析】 一个函数为偶函数,它不一定在x=0处有 定义,所以(1)不对;只有在x=0处有定义的奇函数,它的图象 才一定通过原点,所以(2)不对;函数f(x)=0,x∈[-1,1],函 数f(x)=0,x∈[-2,2]都既是奇函数又是偶函数,所以(4)也不 对.
【正解】 (3)

当堂检测

1.f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式

一定成立的是( )

A.f(0)<f(4)

B.f(3)>f(2)

C.f(2)>f(0)

D.f(-1)<f(3)

解析 由f(x)为偶函数知f(-1)=f(1). ∴f(-1)<f(3),选D.
答案 D

2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足

f(2x-1)<f???13???的x取值范围是(

)

A.???13,23??? B.???13,23???

C.???12,23??? D.???12,23???

解析 偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以函数

f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.由于f(x)是偶函数,所以f(-x)

=f(x),则f???-13???=f???13???.

由f(2x-1)<f

?1? ??3??

,得

??2x-1≥0, ???2x-1<13,

??2x-1≤0, ①或 ???2x-1>-13,



解①得12≤x<23,解②得13<x≤12. 综上,得13<x<23,故x的取值范围是???13,23???.
答案 A

3.已知函数f(x)是R上的偶函数,当x≥0时f(x)=x-1,则

f(x)<0的解集是( )

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析 x≥0时,x-1<0,解得0≤x<1,根据对称性,知 f(x)<0的解集为(-1,1),选C.

答案 C

4.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=

1 2

,f(x+2)=f(x)+

f(2),则f(5)=________.

解析

令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2).故

1 2

=-12+f(2),则f(2)=1.

令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=12+1=32.

令x=3,得f(5)=f(3)+f(2)=32+1=52.

答案

5 2

5.函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任 意的x1,x2都有等式f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)若f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于x的不 等式f(3x+1)+f(-6)≤3.

解 (1)令x1=x2=1,得 f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0. (2)令x1=x2=-1, 则f(-1)=0, 令x1=-1,x2=x, ∴f(-x)=f(x), 又定义域为{x|x≠0},关于原点对称, ∴f(x)为偶函数.

(3)∵f(4)=1, 又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16), ∴f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64), ∴f(64)=f(4)+f(4)+f(4), ∴f(64)=3. ∴f(3x+1)+f(-6)≤3等价于 f(-6(3x+1))≤3,

∴f(|-6(3x+1)|)≤f(64), ∴?????3|-x+6?13≠x+0,1?|≤64, 解得x∈???-395,-13???∪???-13,299???.


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