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求复合函数定义域的题型与思路
求复合函数定义域的题型与思路
高一数学组 有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一，也是难点之一，其中求复合函数的定 义域问题一直困扰着同学们。 本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析， 旨在帮助大家 轻松解题。 一. 已知 f ( x) 的定义域，求 f ? g( x)? 的定义域 作用范围不变，所以 g( x) ? D ，解得 x ?E ，E 为 f ?g( x)? 的定义域。 思路：设函数 f ( x ) 的定义域为 D，即 x ?D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g( x) 作用，
例 1. 设函数 f ( u) 的定义域为（0，1） ，则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。 解析：函数 f ( u) 的定义域为（0，1） 即 u ? (0，1) ，所以 f 的作用范围为（0，1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变 所以 0 ? ln x ? 1 解得 x ? (1，e) 故函数 f (ln x) 的定义域为（1，e） 二. 已知 f ? g( x)? 的定义域，求 f ( x ) 的定义域 思路：设 f ? g( x)? 的定义域为 D，即 x ?D ，由此得 g( x) ? E ，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x ? E，E 为 f ( x ) 的定义域。
? ? 解析： f (3 ? 2 x) 的定义域为 ??1，2? ，即 x ???1，2? 由此得 3 ? 2 x ???1，5? 所以 f 的作用范围为 ??1，5? 又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x ???1，5? 即函数 f ( x ) 的定义域为 ??1，5?
例 3. 已知 f ( x ? 4) ? lg
2
例 2. 已知 f (3 ? 2 x) 的定义域为 x ? ?1，2 ，则函数 f ( x ) 的定义域为_________。
x2 ，则函数 f ( x ) 的定义域为______________。 x2 ? 8
2
x2 x2 ?0 解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x ? 4) ? lg 2 ，知 2 x ?8 x ?8
解得 x ? 4 ? 4
2
f 的作用范围为 (4 ， ? ?) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x ? (4， ? ?) 即 f ( x ) 的定义域为 (4 ， ? ?)
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三. 已知 f ? g( x)? 的定义域，求 f ?h( x)? 的定义域
h( x ) 作用，作用范围不变，所以 h( x ) ? E ，解得 x ?F ，F 为 f ?h( x)? 的定义域。
思路：设 f ? g( x)? 的定义域为 D，即 x ?D ，由此得 g( x) ? E ， f 的作用范围为 E，又 f 对 例 4. 若函数 f (2 x ) 的定义域为 ?1，1 ，则 f (log 2 x) 的定义域为______________。 解析： f (2 x ) 的定义域为 ?1，1 ，即 x ? ?1，1 ，由此得 2 x ? ? ，2? ?2 ?
?
?
?
?
?
?
?1
?
?1 ? f 的作用范围为 ? ， 2? ?2 ?
又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x ? ? ，2? 2 解得 x ?
?1 ?
? ?
?
2，4
? ?
2，4
即 f (log 2 x) 的定义域为
?
评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会 有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
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