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求复合函数定义域的题型与思路


求复合函数定义域的题型与思路
高一数学组 有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一,也是难点之一,其中求复合函数的定 义域问题一直困扰着同学们。 本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析, 旨在帮助大家 轻松解题。 一. 已知 f ( x) 的定义域,求 f ? g( x)? 的定义域 作用范围不变,所以 g( x) ? D ,解得 x ?E ,E 为 f ?g( x)? 的定义域。 思路:设函数 f ( x ) 的定义域为 D,即 x ?D ,所以 f 的作用范围为 D,又 f 对 g( x) 作用,

例 1. 设函数 f ( u) 的定义域为(0,1) ,则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。 解析:函数 f ( u) 的定义域为(0,1) 即 u ? (0,1) ,所以 f 的作用范围为(0,1) 又 f 对 lnx 作用,作用范围不变 所以 0 ? ln x ? 1 解得 x ? (1,e) 故函数 f (ln x) 的定义域为(1,e) 二. 已知 f ? g( x)? 的定义域,求 f ( x ) 的定义域 思路:设 f ? g( x)? 的定义域为 D,即 x ?D ,由此得 g( x) ? E ,所以 f 的作用范围为 E,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ? E,E 为 f ( x ) 的定义域。

? ? 解析: f (3 ? 2 x) 的定义域为 ??1,2? ,即 x ???1,2? 由此得 3 ? 2 x ???1,5? 所以 f 的作用范围为 ??1,5? 又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ???1,5? 即函数 f ( x ) 的定义域为 ??1,5?
例 3. 已知 f ( x ? 4) ? lg
2

例 2. 已知 f (3 ? 2 x) 的定义域为 x ? ?1,2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为_________。

x2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为______________。 x2 ? 8
2

x2 x2 ?0 解析:先求 f 的作用范围,由 f ( x ? 4) ? lg 2 ,知 2 x ?8 x ?8
解得 x ? 4 ? 4
2

f 的作用范围为 (4 , ? ?) ,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ? (4, ? ?) 即 f ( x ) 的定义域为 (4 , ? ?)

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三. 已知 f ? g( x)? 的定义域,求 f ?h( x)? 的定义域

h( x ) 作用,作用范围不变,所以 h( x ) ? E ,解得 x ?F ,F 为 f ?h( x)? 的定义域。

思路:设 f ? g( x)? 的定义域为 D,即 x ?D ,由此得 g( x) ? E , f 的作用范围为 E,又 f 对 例 4. 若函数 f (2 x ) 的定义域为 ?1,1 ,则 f (log 2 x) 的定义域为______________。 解析: f (2 x ) 的定义域为 ?1,1 ,即 x ? ?1,1 ,由此得 2 x ? ? ,2? ?2 ?

?

?

?

?

?

?

?1

?

?1 ? f 的作用范围为 ? , 2? ?2 ?
又 f 对 log 2 x 作用,所以 log 2 x ? ? ,2? 2 解得 x ?

?1 ?

? ?

?

2,4

? ?
2,4

即 f (log 2 x) 的定义域为

?

评注:函数定义域是自变量 x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是 f 的作用范围,f 的作用对象可以变,但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会 有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。

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