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广东省13市2017届高三上学期期末考试数学(理科)分类汇编:平面向量

广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学(理科) 分类汇编:平面向量
一、选择、填空题 1、(潮州市 2017 届高三上学期期末)已知向量 a , b 满满足| a |=5,| b |=3, a ? b =

?

?

?

?

?

?

? ? ﹣3,则 a 在 b 的方向上的投影是

﹣1



2、(东莞市2017届高三上学期期末)设D为△ABC所在平面内一点,且 BC ? 3CD ,则

??? ?

??? ?

3、 (佛山市 2017 届高三教学质量检测 (一)) 一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB 、

AD 分 别 交 于 E 、 F , 且 交 其 对 角 线 AC 于 K , 若 AB ? 2 AE , AD ? 3AF ,

AC ? ? AK (? ? R) ,则 ? ? (
A. 2 B.

) C. 3 D. 5
2

5 2

4、(广州市 2017 届高三 12 月模拟)已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是

l 上一点,直线 PF 与曲线 C 相交于 M , N 两点,若 PF ? 3MF ,则 MN ?
(A)

21 2

(B)

32 3

(C) 10

(D) 11

5、(惠州市 2017 届高三第三次调研)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足 → → → → → (OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形状为( (A)等腰三角形 (C)正三角形 (B)直角三角形 (D)等腰直角三角形 )

6 、(江门市 2017 届高三 12 月调研) 在

中, 是

边的中点,



,则 A. B. C. D.

7、 (揭阳市 2017 届高三上学期期末) 设 D 为△ABC 所在平面内一点, 且 BC ? 3BD ,则 AD ? (A)

??? ?

??? ?

????

? 1 ???? 2 ??? AB ? AC 3 3

(B)

? 2 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3

(C)

? 1 ???? 4 ??? AB ? AC 3 3



D



1

? 5 ???? 2 ??? AB ? AC 3 3
8、 (茂名市 2017 届高三第一次综合测试) 过双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点 F2 (c,0) a2 b2

作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 M,延长 F2 M 交抛物线 y 2 ? ?4cx 于点 P, 其中 O 为 坐标原点,若 OM ?

???? ?

? ??? ? 1 ???? (OF2 ? OP) ,则双曲线的离心率为( 2
C.



A.

4 2 ?2 4 2?2 B. 7 7

1? 3 2

D.

1? 5 2

9、(清远市清城区 2017 届高三上学期期末)已知向量

a, b

满足

a ? 2, b ? 3 且、

(a ? b) ? b, 则 a

?

与b

的夹角 ? 为

10、 (汕头市 2017 届高三上学期期末) 在平面内, 定点 A, B, C , D 满足 | DA |?| DB |?| DC | ,

DA ? DB ? DB ? DC ? DC ? DA ? ?2 ,动点 P, M 满足 | AP |? 1, PM ? MC ,则 | BM |2
的最大值是( A. ) B.

37 ? 2 33 4 ? ? ? ? ? ? 11、(韶关市 2017 届高三 1 月调研)已知平面非零向量 a, b 满足 b ? a ? b ? 1 ,且 b = 1 ,
43 4 49 4
C. D.

37 ? 6 3 4

?

?

则 a 与 b 的夹角为 12、 (肇庆市 2017 届高三第二次模拟) 已知 AB ? AC ,AB ? ,AC ? t , 若 P 点是 ?ABC

?

?

??? ? ??? ? AB 所在平面内一点,且 AP ? ??? ? AB
(A)-2 (B)0

1 ???? t ???? ??? ? ??? ? AC ? ???? ,当 t 变化时, PB ? PC 的最大值等于 AC
(C)2 (D)4

??? ?

? ??? ? ???

13、 (珠海市2017届高三上学期期末) 已知平面向量 a ,b 满足 a( a + b ) =5,且| a |=2,

?

?

?

?

?

?

? ? ? | b |=1,则向量 a 与 b 的夹角为
A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

14、(东莞市 2017 届高三上学期期末)设向量 a = ( x, 2) ,b =(1,-1),且 a 在 b 方

?

?

?

?

2

向上的投影为 2 ,则 x 的值是_________. 15、(广州市 2017 届高三 12 月模拟)已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?ABC ? 60? , 则

??? ? ??? ? BD ? CD ? ________.
16、 (江门市 2017 届高三 12 月调研) 如图, 空间四边形

中, 点

分别

上,

,则

A. C. D.

B.

二、解答题 1、(潮州市 2017 届高三上学期期末)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的

对边, m =( (1)求角 A;

?

a,c)与 n =(1+cosA,sinC)为共线向量.

?

(2)若 3bc=16﹣a2,且 S△ABC=

,求 b,c 的值.

2、 (江门市 2017 届高三 12 月调研)已知

是锐角三角形,内角 .

所对的边分

别是

,满足

(Ⅰ)求角 的值; (Ⅱ)若
, ,求

的周长.

3、 (茂名市 2017 届高三第一次综合测试) 设 x, y ? R , 向量 i, j 分别为直角坐标平面内 x, y 轴正方向上的单位向量,若向量

??

? ? ? ? ? ? ? ? | a | ? | b |? 4 . , , 且 a ? ( x ? 3)i ? y j b ? ( x ? 3)i ? y j

3

(Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 , P 为曲线 C 上一点,过点 P 作曲线 C 的切线 y ? kx ? m 交 16 4

椭圆 E 于 A 、 B 两点,试证: ?OAB 的面积为定值.

4

参考答案
一、选择、填空题 1、【解答】解:由向量 、 满足| |=5,| |=3,

? =﹣3

则 在 的方向上的投影是 故答案为:﹣1
2、A

=

=﹣1,

4、B → → → → → 5、【解析】因为(OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0, → → → → → → → → → → → → 即CB· (AB+AC)=0,∵AB-AC=CB,∴(AB-AC)· (AB+AC)=0,即|AB|=|AC|, 所以△ABC 是等腰三角形,故选 A. 6、D 7、A

3、D

8、D 解:如图 9,∵ O M ?

???? ?

? ??? ? 1 ???? (OF2 ? OP) ,∴M 是 F2 P 的中点. 2

设抛物线的焦点为 F1,则 F1 为(- c,0),也是双曲线的焦点. 连接 PF1,OM .∵O、M 分别是 F1F2 和 PF2 的中点,∴OM 为 △PF2F1 的中位线.∵OM=a,∴|PF1|=2 a.∵OM⊥ PF2 , ∴ PF2 ⊥PF1,于是可得| PF2 |= 4c2 ? 4a2 ? 2b ,设 P(x,y),则 c -x =2a, 于是有 x=c-2a, y2= ? 4c(c ? 2 a),过点 F2 作 x 轴的垂线,点 P 到该垂线的距离为 2a. 由勾股定理得 y2+4a2=4b2, 即 ? 4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2),变形可得 c2-a2=ac,两边 同除以 a2 有 e ? e ? 1 ? 0 , 所以 e ?
2

1? 5 ,负值已经舍去. 故选 D . 2
12、B 13、B

9、

5? 6

10、B 15、6

11、

? 2

14、4 二、解答题

16、B

5

1、【解答】解:(1)由已知得

asinC=c(cosA+1), …(2 分)

∴由正弦定理得 ∴

sinAsinC=sinC(cosA+1),. )= .…

sinA﹣cosA=1,故 sin(A﹣ ;

由 0<A<π,得 A=



(2)在△ABC 中,16﹣3bc=b2+c2﹣bc, ∴(b+c)2=16,故 b+c=4. ①…(9 分) 又 S△ABC= = bc,

∴bc=4.②…(11 分) 联立①②式解得 b=c=2.…(12 分) 2、解:⑴
3 1 3 cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? ……3 分 4 4 4 3 所以 sin A ? ? ……4 分 2 ?
又 A 为锐角,所以 A ? ⑵由 由⑴知 A ? ,得 ……1 分

?

3

……6 分 ①……7 分

?
3

,所以 bc=24 ②……8 分

由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,将 a ? 2 7 及①代入可得 c2+b2=52③……10 分 ③+②× 2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10,△ABC 的周长是 10 ? 2 7 ……12 分

? ? ? ? ? ? ? ? | a | ? | b |? 4 3、 (Ⅰ)解:∵ a ? ( x ? 3)i ? y j , b ? ( x ? 3)i ? y j ,且
? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4
∴ 点 M(x,y)到两个定点 F1( ? 3 ,0),F2( 3 ,0)的距离之和为 4…………2 分 ∴ 点 M 的轨迹 C 是以 F1、F2 为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 则 c ? 3 , a ? 2 a 2 b2


∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

………………3

6

其方程为

x2 ? y2 ? 1 4

…………………………………………………………4 分

(Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,消去 x 可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内,? ? ? 0,由韦达定理则有 :

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 16 x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

……………………………………5 分

所以 | x1 ? x2 |?

4 16k 2 ? 4 ? m2 1 ? 4k 2

………………………………6 分

因为直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) , 所以 ?OAB 的面积 S ?

1 2 16k 2 ? 4 ? m2 | m | | m || x1 ? x2 |? 2 1 ? 4k 2

……………7 分

?
m2 ?t 1 ? 4k 2

2 (16k 2 ? 4 ? m2 )m2 m2 m2 …………8 分 ? 2 (4 ? ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0
2 2 由 ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 4k

………10 分

即 t ? 1,

………………………………………11 分

2 又因为 S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t ? 4t ,

故 S ? 2 3 为定值.

………………………………………………………………12 分

7


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