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§4.1.2圆的一般方程


§4.1.2圆的一般方程

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§4.1.2圆的一般方程

1. 圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开 可得到一个什么式子?

2013-2-22

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§4.1.2圆的一般方程

2. 方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 2 2 与 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0 都表示的图形是圆吗? 解:分别配方得 2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4
( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? ? 1
2 2

第一个方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径长 的圆. 第二个方程没有实数解,不存在点的坐标 (x,y)满足这个方程,它不表示任何图形.
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§4.1.2圆的一般方程

方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

在什么条件下表示圆?

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§4.1.2圆的一般方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D ? E ? D ? ? ?x? ? ?? y? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

2

2

2

? E 4

2

? 4F

(1)当

D

2

? E

2

? 4F ? 0

时,表示圆,
D
2

E ? ? D 圆 心 ?- ,? ? 2 2 ? ?

r ?

? E 2

2

? 4F

(2)当 (3)当
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D

2

? E

2

? 4F ? 0

时,表示点

E ? ? D ?- ,? ? 2 ? ? 2

D

2

? E

2

? 4F ? 0

时,不表示任何图形
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§4.1.2圆的一般方程

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

其中 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0
E ? ? 圆 心 ?- ,? ? 2 2 ? ? D
r ? D
2

? E 2

2

? 4F

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练习
判断下列方程是不是表示圆

§4.1.2圆的一般方程

(1) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0
2 2

( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 9
2 2

表示以(2,3)为圆心,以3为半径的圆
(2) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 0 x ? 2, y ? 3
2 2

表示点(2,3)
(3) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 1 5 ? 0
2 2

( x ? 2 ) ? ( y ? 3)
2
2013-2-22

2

? ? 2 不表示任何图形
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§4.1.2圆的一般方程

比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点? 圆的一般方程的特点 : (1)x2、y2 的系数相同,都不为0.

(2)没有形如xy的二次项.
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点: (1)圆的标准方程带有明显的几何的影子, 圆心和半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的形 式与结构,更适合方程理论的运用.
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§4.1.2圆的一般方程

例1 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.

解:设所求圆的方程为:
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 2 ?5 ? 1 ? 5D ? E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 2 2 ? 7 ? ( ? 1) ? 7 D ? E ? F ? 0 ? ? E ? 6 ? F ? 12 ?22 ? 82 ? 2D ? 8E ? F ? 0 ? ?

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§4.1.2圆的一般方程

所求圆的方程为
x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0
2 2

即 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

上述解法用了一般方程,请你比较上节课 的标准方程的解法.
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§4.1.2圆的一般方程

用标准方程解答
解:设所求圆的方程为:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 2 2

? ( 5 ? a ) ? (1 ? b ) ? r ? a ? 2 ? ? 2 2 2 ? (7 ? a ) ? (? 3 ? b ) ? r ? ?b ? ? 3 ?(2 ? a )2 ? (?8 ? b)2 ? r 2 ? r ? 5 ? ?
2 2 2

所求圆的方程为

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2
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待定系数法
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例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y B

A
o

M x

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例2 方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0 表示的图形是一个圆,求a 的取值范围.

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小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.用配方法化一般方程为标准方程.

3.求圆的一般方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

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§4.1.2圆的一般方程

小结:求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 ( 两条直线的交点)( 常用弦的中垂线)

待定系数法
设方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

(或x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0)

求半径 (圆 心到圆上一点的距离)

列关于a,b,r(或D,E,F )的方程组

写出圆的标准方程
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解出a,b,r(或D,E,F) ,写出标准方程(或一般方程 ) 15 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§4.1.2圆的一般方程

课堂练习 <<教材>> P.123

练习1.2.3

书面作业
<<教材>> P.124 习题4.1A组:1.2.3.4

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