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2013—2014学年第二学期上海市高三八校联考数学(理科)试卷


2013—2014 学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试 数学(理科)试卷
一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1. 在复平面上,复数

3

?2 ? i?
4

2

对应的点到原点的距离为



2. 已知函数 f ?x ? ? sin ?x ? cos ?x ?? ? 0 ? 的最小正周期是 π ,则 ? ?
4



3. 向量

在向量

方向上的投影为



1?
4. 已知正数 a, b 满足 a ? b ? 2 ,则行列式

1 a

1 1 1? b
的最小值为 .

1

?1 ? 5. 阅读右边的程序框图,如果输出的函数值 y 在区间 ? ,1? 内,则输入 ?4 ?
的实数 x 的取值范围是
2



6. 设 ?、? 是一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 的两个虚根.若 | ?? |? 4 , 则实数 m ? .

? x ?1 ? 7. 集合 A ? ? x 若 “a=1” 是 “ A? B ? ? ” ? 0? ,B ? ?x x ? b ? a?. ? x ?1 ?

的充分条件, 则实数 b 的取值范围是



8. 已知椭圆的焦点在 x 轴上,一个顶点为 A(0, ?1) ,其右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为

3 ,则椭圆的方程为


tan A 2c ? =0 ,则 A ? tan B b

9. 在△ ABC 中, A、B、C 所对边分别为 a 、 b 、 c .若 1 ?

. .

10. 已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n .若 S n ?1 ? 2S n ? 1,则 an ?

11. 某地球仪上北纬 30? 纬线长度为 12? cm,该地球仪的表面上北纬 30? 东经 30? 对应点 A 与北 纬 30? 东经 90? 对应点 B 之间的球面距离为
2

cm(精确到 0.01) .

12. 已知直线 y ? k ?x ? 2? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A 、 B 两点, F 为抛物线 C 的焦点.若

数学(理) -1-

??? ? ??? ? | FA |? 2 | FB | ,则实数 k ?
13. 将 f ( x) ? 2 x ?



a 的图像向右平移 2 个单位后得曲线 C1 ,将函数 y ? g ( x) 的图像向下平移 2 2x f ( x) 个 单位后 得曲线 C2 , C1 与 C2 关于 x 轴 对称 .若 F ( x) ? ? g ( x) 的 最小值为 m 且 a
m ? 2 ? 7 ,则实数 a 的取值范围为
. ”

14. 已知 “ a, b, c, d , e, f ” 为 “ 1, 2,3, 4,5,6 ” 的一个全排列. 设 x 是实数, 若 “ ( x ?a) (x ? b) ? 0

可推出“ ( x ? c)( x ? d ) ? 0 或 ( x ? e)( x ? f ) ? 0 ” ,则满足条件的排列“ a, b, c, d , e, f ”共 有__________个.

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分, 否则一律得零分.
15. 函数 f ?x ? ?

1 2 x ? 1?x ? ?2? 的反函数是 2
(B)





(A) y ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3) . (C) y ? ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3) .

y ? 2 x ? 2( x ? 3) .

(D) y ? ? 2 x ? 2( x ? 3) . ( (D) ? ? arctan )

16. 直线 l 的法向量是 n ? ? a, b ? . 若 ab ? 0 ,则直线 l 的倾斜角为 (A) arctan ? ?

?

? b? ? ? a?

(B) arctan ? ?

? a? ? ? b?

(C) ? ? arctan

a b
? ? ?? ? ?

b a


BA ? C 17. 已知 A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 | AB |?| AC | , 则A
(A) 0 . (B) ?

??? ?

????

的最小值是 (

1 . 4

(C) ?

1 . 2

3 (D) ? . 4

18. 已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,前 n 项和为 S n ,则对正整数 m ,下列四个结论中: (1) Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m 成等差数列,也可能成等比数列; (2) Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m 成等差数列,但不可能成等比数列; (3) Sm , S2 m , S3m 可能成等比数列,但不可能成等差数列; (4) Sm , S2 m , S3m 不可能成等比数列,也不可能成等差数列; 正确的是 ( )

数学(理) -2-

(A)(1) (3).

(B) (1) (4).

(C) (2) (3).

(D) (2) (4).

三. 解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规 定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
19. (本题满分 12 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ?ABC = 90? , AB = BC = 1, BB1 = 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小; (2)直线 B1C1 到平面 A1 BC 的距离.

20. (本题满分 14 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 已知 f ?x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b 是常数.

?

(1)若 y ? f ?x ? 是奇函数,求 b 的值; (2)求证: y ? f ?x ? 的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于 x 轴.

21. (本题满分 14 分;第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 ) 如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形.由对称性, 图中8个三角形都是全等的三角形,设 ?AA1 H1 ? ? . (1)试用 ? 表示 ?AA1 H 1 的面积; (2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时 ? 的 大小. C B B1 C1 D1 D 22. (本题满分 16 分; 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) E E1 A A1 H1 G1 F1 F H G

数学(理) -3-

已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ?

y2 b2

? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,

在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M ,且 ?MF1 F2 ? 30? .圆 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? b 2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1 、 P2 ,求

PP1 ? PP2 的值;
(3) 过圆 O 上任意一点 Q?x0 , y 0 ? 作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A 、B 两点,AB 中点为 M , 求证: AB ? 2 OM .

??? ?

???? ?

23. (本题满分 18 分;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分) 在等差数列 ?a n ?和等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 ? 2 ? b , S n 是 ?bn ?前 n 项和. (1)若 lim S n ? 3 ? b ,求实数 b 的值;
n ??

(2)是否存在正整数 b ,使得数列 ?bn ?的所有项都在数列 ?a n ?中?若存在,求出所有的 b , 若不存在,说明理由; (3)是否存在正实数 b ,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {a n } 中,但 {bn } 中的项不都在 数列 {a n } 中?若存在,求出一个可能的 b 的值,若不存在,请说明理由.

数学(理) -4-

2013—2014 学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试 数学(理科)参考答案
一、 填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 题 号 答 案 题 号 答 案 1 2 1 9
2? 3
?

3
2 2

4 (-2,2) 11

5 3 12
? 2 2 3

6

7 4 14 224

3 5
8
x2 ? y2 ? 1 3

?? 2,0?
13
1 ( , 2) 2

10
?2 n ? 1 an ? ? n?2 n?2 ?3 ? 2

6.21

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分, 否则一律得零分. 题号 答案 15 D 16 B 17 C 18 D

三. 解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规 定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ?ABC = 90? , AB = BC = 1, BB1 = 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小; (2)直线 B1C1 到平面 A1 BC 的距离. 解: (1) 因为 B1C1 // BC , 所以 ?ACB (或其补角) 是异面直线 B1C1 1 与 AC 1 所成角. 因为 ??????1 分

BC ^ AB , BC ^ BB1 , 所 以 BC ? 平 面 ABB1 , 所 以
??????3 分

BC ? A1B .

数学(理) -5-

在 Rt ? A1BC 中, tan ?A1CB ?

A1 B ? 5 ,所以 ?A1CB ? arctan 5 ??????5 分 BC
??????6 分

所以异面直线 B1C1 与 AC 1 所成角的大小为 arctan 5 . (2)因为 B1C1 //平面 A1BC 所以 B1C1 到平面 A1BC 的距离等于 B1 到平面 A1BC 的距离 设 B1 到平面 A1BC 的距离为 d , 因为 VB ? A1BC ? VA1 ? BB1C ,所以 S?A1BC ? d ? 可得 d ?

??????8 分

1 3

1 S?B BC ? A1B1 3 1

??????10 分

2 5 5 2 5 . 5

??????11 分

直线 B1C1 与平面 A1BC 的距离为

??????12 分

20.(本题满分 14 分;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 函数 f ?x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b 是常数且 b ? R .

?

(1)若函数 y ? f ?x ? 是奇函数,求 b 的值; (2)求证:函数 y ? f ?x ? 的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于 x 轴. 解: (1)解法一:设 y ? f ? x ? 定义域为 D ,则: 因为 y ? f ?x ? 是奇函数,所以对任意 x ? D ,有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,????3 分 得 b ? 1. 此时, f ? x ? ? lg ????5 分

?

4 x 2 ? 1 ? x , D ? R ,为奇函数。

?

????6 分

解法二:当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域不关于原点对称,函数不是奇函数.????2 分 当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域是一切实数. 要使得函数是奇函数,则 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 对 x ? R 成立。 所以 b ? 1 (2)设定义域内任意 x1 ? x2 ,设 h( x ) ? ????3 分 ????5 分 ????6 分

4 x2 ? b ? 2 x

数学(理) -6-

h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 4 x12 ? b ? 2 x1 ? 4 x2 2 ? b ? 2 x2

? 2[

2 x12 ? 2 x2 2 4 x12 ? b ? 4 x2 2 ? b

? x1 ? x2 ]

? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? x1 ? x2 ? ? ? 1? ? 4x 2 ? b ? 4x 2 ? b ? 1 2 ? ?
当 b ? 0 时,总有 0 ? x1 ? x 2 ,

????9 分

?0 ?

2( x1 ? x2 ) 4 x12 ? b ? 4 x2 2 ? b

? 1 ,得 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ;
2 2

????11 分

当 b ? 0 时,? x1 ? x2 ? 0, 4 x1 ? b ? 2 x1 , 4 x2 ? b ? 2 x2 ,

??1 ?

2( x1 ? x2 ) 4 x ? b ? 4 x2 2 ? b
2 1

? 1 ,得 h ? x1 ? ? h ? x2 ? 。
????13 分 ????14 分

故总有 f ? x ? 在定义域上单调递增

? y ? f ?x ? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行

21.(本题满分 14 分;第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 ) 如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形.由对称性, 图中8个三角形都是全等的三角形,设 ?AA1 H1 ? ? . (1)试用 ? 表示 ?AA1 H 1 的面积; (2) 求八角形所覆盖面积的最大值, 并指出此时 ? 的大 小. 解:(1)设 AH 1 为 x ,∴ x ? B B1 C C1 D1 D E E1 A A1 H1 G1 F1 F H G

4sin ? , x? sin ? ? cos ? ? 1
S? AA1H1 ?
??7分

x x ? ? 4, sin ? tan ?
????3分

1 x2 8sin ? cos ? ? ? ? ) ,?? 2 , ? ? (0, 2 tan ? ? sin ? ? cos ? ? 1? 2

(2)令 t ? sin ? ? cos ? ? (1, 2] , 只需考虑 S? AA1H1 取到最大值的情况,即为 S ?

????9分

4 ? t 2 ? 1?

? t ? 1?

2

? 4?

8 ,???11分 t ?1

数学(理) -7-

当t ?

2 , 即 ? ? 45? 时, S? AA1H1 达到最大

???13分

此时八角形所覆盖面积的最大值为 64 - 32

2 .

???14分

22.(本题满分 16 分,共 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ?

y2 b2

? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,

在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M ,且 ?MF1 F2 ? 30? .圆 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? b 2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1 、 P2 ,求

PP1 ? PP2 的值;
(3) 过圆 O 上任意一点 Q?x0 , y 0 ? 作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A 、B 两点,AB 中点为 M , 求证: .

2 2 解: (1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0), ( 1 ? b , y0 )

因为点 M 在双曲线 C 上,所以 1 ? b ?
2

y0 2 ? 1 ,即 y0 ? ?b 2 ,所以 MF2 ? b 2 b2
2 2

0 在 Rt ?MF2 F1 中, ?MF1 F2 ? 30 , MF2 ? b ,所以 MF1 ? 2b

??2 分

由双曲线的定义可知: MF1 ? MF2 ? b ? 2
2

故双曲线 C 的方程为: x ?
2

y2 ?1 2

??4 分 ??5 分

(2)由条件可知:两条渐近线分别为 l1 : 2 x ? y ? 0; l2 : 2 x ? y ? 0 设双曲线 C 上的点 Q( x0 , y0 ) ,设两渐近线的夹角为 ? ,则 则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 | PP 1 |? 因为 Q( x0 , y0 ) 在双曲线 C : x ?
2

2 x0 ? y0 3

,| PP2 |?

2 x0 ? y0 3

??7 分

y2 ? 1 上,所以 2 x0 2 ? y0 2 ? 2 2

又 cos ? ?

1 3,
? 2 x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 cos ? ? 2 x0 2 ? y0 2 1 2 ? ? 3 3 9
??10 分

所以

3 3 (3)由题意,即证: OA ? OB 。

数学(理) -8-

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,切线 l 的方程为: x0 x ? y0 y ? 2 ①当 y0 ? 0 时,切线 l 的方程代入双曲线 C 中,化简得:

??11 分

(2 y0 2 ? x0 2 ) x 2 ? 4 x0 x ? (2 y0 2 ? 4) ? 0
所以: x1 ? x2 ? ? 又 y1 y2 ?

4 x0 (2 y0 2 ? 4) , x x ? ? 1 2 (2 y0 2 ? x0 2 ) (2 y0 2 ? x0 2 )

(2 ? x0 x1 ) (2 ? x0 x2 ) 8 ? 2 x0 2 1 2 ? ? ? 2? 4 ? 2 x ( x ? x ) ? x x x ? ??13 分 0 1 2 0 1 2? y0 y0 y0 ? 2 y0 2 ? x0 2
??15 分

所以

②当 y0 ? 0 时,易知上述结论也成立. 所以 综上, OA ? OB ,所以 。

??16 分

23.(本题满分 18 分;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分) 在等差数列 ?a n ?和等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 ? 2 ? b , S n 是 ?bn ?前 n 项和. (1)若 lim S n ? 3 ? b ,求实数 b 的值;
n ??

(2)是否存在正整数 b ,使得数列 ?bn ?的所有项都在数列 ?a n ?中,若存在,求出所有的 b , 若不存在,说明理由; (3)是否存在正实数 b ,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {a n } 中,但 {bn } 中的项不都在 数列 {a n } 中,若存在,求出一个可能的 b 的值,若不存在,请说明理由. 解(1)对等比数列 {bn } ,公比 q ? 因为 0 ?| q |? 1 ,所以 ?4 ? b ? 0 .

2?b b ? 1? . 2 2
????2分 ????4分

? 3?b, b 1 ? (1 ? ) 2 得 b ? 4 或 ?1 . 因为 ?4 ? b ? 0 ,所以 b ? ?1 .
解方程 (2)当 b 取偶数 (b ? 2k , k ? N *) 时, ?bn ? 中所有项都是 ? an ? 中的项. 证: 由题意: b1, b2 均在数列 {an } 中,

2

????6分 ????8 分

数学(理) -9-

当 n ? 3 时, bn ? 2(

2 ? b n?1 0 n ?1 1 n?2 n?2 1 n ?1 ) ? 2(k ? 1)n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1k ?1k ?1 k ? Cn ?1 ) 2

0 n?2 1 n ?3 n?2 ? 2 ? 2k ? ?(Cn ?1k ? Cn ?1k ? ? ? Cn ?1 ? 1) ? 1? ?

说明 ?bn ? 的第 n 项是 ? an ? 中的第 Cn ?1k
0

n?2

1 n ?3 n?2 ? Cn ? ? ? Cn ?1k ?1 ? 1 项.

????10 分

当 b 取奇数 (b ? 2k ? 1, k ? N *) 时, 因为 bn 不是整数, 所以数列 ?bn ?的所有项都不在数列 ?a n ? 中。 综上,所有的符合题意的 b ? 2k k ? N ????12 分

?

*

?。

(3)由题意,因为 b1 , b2 在 {a n } 中,所以 ?bn ? 中至少存在一项 bm ? m ? 3? 在 ? an ? 中,另一项

bt ? t ? m ? 不在 ?an ? 中。
m ?1 由 bm ? ak 得 2(1 ? ) ? 2 ? (k ? 1)b ,

????14 分

b 2

取 m ? 4 得 2 ?1 ?

? ?

b? 2 ? ? 2 ? ? k ? 1? b ,即 ? b ? 2 ? ? 4 ? k ? 2 ? . 2?
????16 分

3

取 k ? 4,得 b ? 2 2 ? 2 (舍负值) 。此时 b4 ? a3 。

当 b ? 2 2 ? 2 时, b3 ? 8 , an ? 2 ? ? n ? 1? 2 2 ? 2 ,对任意 n , an ? b3 .????18 分 综上,取 b ? 2 2 ? 2 . (此问答案不唯一,请参照给分)

?

?

数学(理) - 10 -


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