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广东省珠海市高三9月摸底数学文试题(2013珠海一模)_图文

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珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.设全集U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) B =
A.{x | 0 ? x ? 2} B.{x | 0 ? x ? 2} C.{x | 0 ? x ? 2} D.{x | 0 ? x ? 2}

?x ? y ?1 ? 0,

2.

已知实数

x,

y

满足

? ?

y

?

1

?

0,

那么2x-y 的最大值为

??x ? y ?1 ? 0,

A.—3 B.—2 C.1

D.2

3.函数 f (x) ? ax ? a?x ?1, g(x) ? ax ? a?x ,其中 a ? 0,a ? 1,则

A . f (x)、g(x) 均为偶函数 C . f (x) 为偶函数 , g(x) 为奇函数

B . f (x)、g(x) 均为奇函数 D . f (x) 为奇函数 , g(x) 为偶函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是

A.36 C.72

B.108 D.180

5.已知? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”

是“? ? ? ”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且| PA |?| PB | ,若直线 PA 的方程为 x ? y ?1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是

A. 2x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2x ? y ?1 ? 0

7.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么,| a ? 3b | 等于

A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

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8. 要得到函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2x 的图象 4

A.向左平移 ? 单位 4

B.向右平移 ? 单位 4

C.向左平移 ? 单位 8

D.向右平移 ? 单位 8

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表

敏感 不敏感 总计

雄性 50 10 60

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

由K2 ?

n(ad ? bc)2

? 5.56

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

附表:

P(K 2 ? k)

0.050

0.010 0.001

k
则下列说法正确

3.841

6.635

10.828
的是:

A.在犯错误的

概率不超过

0.10 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B.在犯错误的概率不超过 0.10 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”;

10.设U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? (CU X ) Y ,则对于任 意集合 X 、Y 、Z ,则 X ? (Y ? Z ) ?

A. ( X Y ) (CU Z ) C.[(CU X ) (CUY )] Z

B. ( X Y ) (CU Z ) D. (CU X ) (CUY ) Z

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

11.在△ABC 中, a ? 5,b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ?

.

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12.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y2

? 8x 的焦点相同,

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.

13. 不等式 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是

.

14.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 的圆心到直线 ? cos? ? 2 的距离是_____________.

15.(几何证明选讲选做题)

A

D E

BF

C

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如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则 BF ?

.

FC

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数 f (x) ? 1? sin 2x . cos x
(1)求 f (x) 的定义域;(2)设? 是第二象限的角,且 tan? = ? 4 ,求 f (? ) 的值.
3
17.(本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件
求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的.

18.(本小题满分 14 分)

如图 1,在 直角梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 . 将

?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示.

(1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求几何体 D ? ABC 的体积.

D

C

D

A

B

图1

C

A

B

图2

19.(本小题满分 14 分)
已知,圆 C: x 2 ? y 2 ? 8y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 . (1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.
20.(本小题满分 14 分)
对于函数 f (x) ? a ? 2 (a ? R,b ? 0且b ? 1) bx ?1
(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。
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21.(本小题满分 14 分)
已知 a1 ? 1,点 (an , an?1 ? 2) 在函数 f (x) ? x2 ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4,???

(1)证明:数列{lg(an ? 2)} 是等比数列;

(2)设数列{an ? 2} 的前 n 项积为Tn ,求Tn 及数列{an}的通项公式;

(3)已知

bn



1 an ?1



1 an ?

3

的等差中项,数列

{bn}

的前

n

项和为

Sn

,求证:

3 8

?

Sn

?

1 2



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珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试
文科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.设全集U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) B =( )B

A.{x | 0 ? x ? 2}

B.{x | 0 ? x ? 2}

C.{x | 0 ? x ? 2}

D.{x | 0 ? x ? 2}

?x ? y ?1 ? 0,

2.

已知实数

x,

y

满足

? ?

y

?

1

?

0,

那么2x-y 的最大值为

??x ? y ?1 ? 0,

A.—3 B.—2 C.1 D.2

( )C

3.函数 f (x) ? ax ? a?x ?1, g(x) ? ax ? a?x ,其中 a ? 0,a ? 1,则( ) C

A . f (x)、g(x) 均为偶函数

B . f (x)、g(x) 均为奇函数

C . f (x) 为偶函数 , g(x) 为奇函数 D . f (x) 为奇函数 , g(x) 为偶函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( )B

A.36 C.72

B.108 D.180

5.已知? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”

是“? ? ? ”的( )A

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且| PA |?| PB | 。若直线 PA 的方程为

x ? y ?1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是( )B

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A. 2x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2x ? y ?1 ? 0

7.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么,| a ? 3b | 等于( )C

A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

8. 要得到函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2x 的图象( ) D 4

A.向左平移 ? 单位 4

B.向右平移 ? 单位 4

C.向左平移 ? 单位 8

D.向右平移 ? 单位 8

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况

统计得到如下列联表

敏感 不敏感 总计

雄性 50 10 60

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

由K2 ?

n(ad ? bc)2

? 5.56

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

附表:

P(K 2 ? k)

0.050

k

3.841

0.010 0.001 6.635 10.828

则下列说法正确的是:( )C
A.在犯错误的概率不超过 0.10 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B.在犯错误的概率不超过 0.10 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”; 10.设U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? (CU X ) Y ,则对于任 意集合 X 、Y 、Z ,则 X ? (Y ? Z ) ? ( ) D
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A . ( X Y ) (CU Z ) D. (CU X ) (CUY ) Z

B . ( X Y ) (CU Z )

C . [(CU X ) (CUY )] Z

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

11.在△ABC 中, a ? 5,b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ?

. 1/5

12.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y2

? 8x 的焦点相同,

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. (?2, 0) , 3x ? y ? 0

13. 不等式 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是

.(-1,3)

14.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 的圆心到直线 ? cos? ? 2 的距离是_____________;1

15.(几何证明选讲选做题)

A

D E

BF

C

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如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则 BF ?

.

FC

1

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数 f (x) ? 1? sin 2x 。 cos x

(1)求 f (x) 的定义域;(2)设? 是第二象限的角,且 tan? = ? 4 ,求 f (? ) 的值.
3

16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k? ? ? (k∈Z), …3 分 2

故 f (x) 的定义域为{|x| x ? k? ? ? ,k∈Z}…5 分 2

(2)由 tan? = ? 4 ,得 sin ? ? ? 4 ,而 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 3 cos? 3

且α 是第二象限的角, 解得 sin ? = 4 , cos? = ? 3 ,…9 分

5

5

故 f (? ) = 1 ? sin 2? = 1? 2sin? cos?

cos?

cos?

=

1? 2? 4 ?(? 3) 55 ?3

= ? 49 .…12 分 15

5

17.(本小题满分 12 分)

一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求

两张标签上的数字为相邻整数的概率:

(1) 标签的选取是无放回的;

(2) 标签的选取是有放回的.

17.解: (1) 无放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},

{2,3},{2,4}, {3,4},总数为 2×6 个

……3 分

两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2×3 个 ……5 分

∴P= 6 ? 1 ; 12 2

……6 分

(2) 有放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2,3},

{2,4}, {3,4},和(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),总数为 2×6+4=16 个……9 分

两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2×3 个 ……11 分

P= 6 ? 3 16 8

……12 分

18.(本小题满分 14 分)

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如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 . 将

?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示.

(1) 求证: BC ? 平面 ACD ;

(2) 求几何体 D ? ABC 的体积.

D

D

C

C

A

B

图1

A

B

图2

18. 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 ,从而 AC2 ? BC2 ? AB2 ,故 AC ? BC

取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD

……4 分 ……8 分

另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 ,从而 AC2 ? BC2 ? AB2 ,故 AC ? BC ∵面 ACD ? 面 ABC ,面 ACD 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD

(Ⅱ)

由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ?

2,S

ACD

?

1 2

……11 分

所以VB? ACD

?

1 3

Sh

?

1? 3

1 2

?

2?

2 6

……13 分

由等积性可知几何体 D ? ABC 的体积为 2 6

……14 分

19.(本小题满分 14 分)

已知,圆 C: x 2 ? y 2 ? 8y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 .

(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切;

(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

19.解:将圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x 2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,则

此圆的圆心为(0 , 4),半径为 2.

……………………………2 分

(1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有 | 4 ? 2a | ? 2 . ……………………………………………4 分 a2 ?1

解得 a ? ? 3 . ……………………………………………………………………………………………………6 分 4

(2) 解法一:过圆心 C 作 CD⊥AB,

………7 分

则根据题意和圆的性质,得

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??CD ? | ???CD 2 ?

4 ? 2a | , a2 ?1 DA2 ? AC 2

?

22,

……………………………………………………………………………10 分

? ?DA

?

1

AB

?

2.

??

2

解得 a ? ?7 , ? 1. ………………………………………………………………………………………………12 分

(解法二:联立方程

?ax

? ?

x

2

? ?

y y

? 2a 2 ?8

? 0, y ? 12

?

0

并消去

y

,得

(a 2 ? 1)x 2 ? 4(a 2 ? 2)x 2 ? 4(a 2 ? 4a ? 3) ? 0 .

设此方程的两根分别为 x1 、 x2 ,则用 AB ? 2 2 ? (a 2 ? 1)[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] 即可求
出 a.)

∴直线 l 的方程是 7x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 . ………………………………………14 分

20.(本小题满分 14 分)

对于函数 f (x) ? a ? 2 (a ? R,b ? 0且b ? 1) bx ?1
(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 20.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R
证明:设 x1 < x2 ;

2

2

2(b x1 ? b x2 )

f (x1) – f (x2) = a? b x1

?( a?

?1

b x2

)=
?1

(b x1

? 1)(b x2

? 1)

当 b ? 1时 ?x1<x2 ? bx1 ? bx2 得 bx1 ? bx2 < 0
得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

……2 分 ……6 分

当 0 ? b ? 1时 ?x1<x2 ? bx1 ? bx2 得 bx1 ? bx2 ? 0
得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2)
故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R,
由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .

……10 分 …11 分

当a

? 1 时,

f

(?x)

?1?

2 b?x ?1 ?

b?x b?x

?1 ?1

1? bx ? 1?bx



f

(x)

?1?

2 bx ?1 ?

bx bx

?1 , ?1

满足条件 f (?x) ? ? f (x) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数

…14 分

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21.(本小题满分 14 分)
已知 a1 ? 1,点 (an , an?1 ? 2) 在函数 f (x) ? x2 ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4,???

(1)证明:数列{lg(an ? 2)} 是等比数列;

(2)设数列{an ? 2} 的前 n 项积为Tn ,求Tn 及数列{an}的通项公式;

(3)已知

bn



1 an ?1



1 an ? 3

的 等 差 中 项 , 数 列 {bn}

的前

n

项和为

Sn

,求证:

3 8

?

Sn

?

1 2



21.解:(1)证明:由已知 an?1 ? 2 ? an2 ? 4an ? 4 ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2)2 …2 分

∵ a1 ? 1 ? an ? 2 ? 1,两边取对数,得 lg(an?1 ? 2) ? 2 lg(an ? 2) …4 分

∴{lg(an ? 2)} 是等比数列,公比为 2,首项为 lg(a1 ? 2) ? lg 3 …5 分

(2)由(1)得 lg(an ? 2) ? 2n?1 lg 3 ? lg 32n?1 ,∴ an ? 32n?1 ? 2 …6 分

∵ lgTn ? lg[(a1 ? 2)(a2 ? 2) ??? (an ? 2)] ? lg(a1 ? 2) ? lg(a2 ? 2) ? ??? ? lg(an ? 2)

? (2n ?1) lg 3 ? lg 32n ?1 2 ?1

…8 分

∴ Tn ? 32n ?1

…9 分

(3)∵ bn

?

1 2

(1 ? an ?1

1) an ? 3

?

1 2

(

1 32n?1

?

1

?

1

32n?1

) ?1

?

32n?1 32n ?1

?

1 32n?1

?

1

?

1 32n ?1

1

1

?

?

an ?1 an?1 ?1



11











11

1

1 11

1

bn

?

2

( an

?1

?

an

) ?3

?

an

?1

?

2

( an

? ?1

an

?

) 3

?

1 an ?1

?

(an

1 ? 1)(an

?

3)

?

1 an ?1

?

an2

?

1 4an

?

3

?

1 an ?1

?

1 an?1 ?1





Sn

?

b1

?

b2

?

????

bn

?

1 ( a1 ?1

?

1 )
a2 ?1

?

1 ( a2 ?1

?

1 )
a3 ?1

?

????

1 ( an ?1

?

1 )
an?1 ?1

?

1 a1 ?1

?

1 an?1 ?1

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1 2

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