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2013高考数学备考训练-三角函数的基本概念

2013 高考数学备考训练-三角函数的基本概念
一、选择题
? ? ? ? ? kπ π kπ π 1.集合 M={x|x= 2 +4,k∈Z},N=?x?x= 4 +2,k∈Z ?,则( ) ? ? ? ? ? A.M=N B.M? N C.M? D.M∩N=? N 答案 C kπ π 2k+1 解析 x= 2 +4= 4 · π, kπ π ?k+2?π x= 4 +2= 4 , 由于 2k+1 为奇数,k+2 为整数,∴M? N. 2.sin 2· 3· 4 的值( cos tan ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 答案 A π 3π 解析 ∵2<2<3<π<4< 2 ∴sin2>0,cos3<0,tan4>0 ∴sin2· cos3· tan4<0,∴选 A. 3.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα=( ) 5 2 5 A. 5 B. 5 5 2 5 C.- 5 D. 5 答案 B y 2 2 5 解析 sinα=r = = 5 . 5 3 4. 已知点 P(3, y)在角 α 的终边上, 且满足 y<0, cosα=5, tanα 的值为( 则 3 4 A.-4 B.3 3 4 C.4 D.-3 答案 D 3 3 解析 ∵cosα= 2=5,且 y<0 9+y 4 ∴y=-4,∴tanα=-3,选 D. 5.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( ) θ θ A.sin2 B.cos2 θ C.tan2 D.cos2θ

)

答案 C 解析 ∵θ 为第一象限角 θ θ ∴2为第一象限或第三象限角 ∴tan2>0,选 C. 3π 3π 6. 已知点 P(sin 4 , 4 )落在角 θ 的终边上, θ∈[0,2π), θ 的值为( cos 且 则 ) π 3π A.4 B. 4 5π 7π C. 4 D. 4 答案 D 3π cos 4 3π 3π 解析 由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= =-1,θ∈ 4 4 3π sin 4 7π [0,2π),∴θ= 4 . 7.若点(sinα,sin2α)位于第四象限,则角 α 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 因为 sinα>0,sin2α=2sin αcosα<0,所以 cosα<0,所以角 α 在第二象 限. 8. 已知扇形的周长是 6cm, 面积是 2cm2, 则扇形的中心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 答案 C ?2r+l=6 ? 解析 设此扇形的半径为 r,弧长是 l,则?1 ?2rl=2, ? ?r=1 ?r=2, 解得? 或? ?l=4 ?l=2. l 4 l 2 从而 α=r=1=4 或 α=r=2=1 二、填空题 8π θ 9.若 θ 角的终边与 5 的终边相同,则在[0,2π]内终边与4角的终边相同的角 是________. 2 9 7 19 答案 5π,10π,5π,10π 8π 解析 由已知 θ=2kπ+ 5 (k∈Z), θ kπ 2π ∴4= 2 + 5 (k∈Z),

kπ 2π 4 16 由 0≤ 2 + 5 ≤2π,得-5≤k≤ 5 , ∵k∈Z,∴k=0,1,2, ,3, θ 2 9 7 19 ∴4依次为5π,10π,5π,10π. 37 37 sin4 10.有下列各式:①sin1125° ;②tan12π· 12π;③tan4; sin ④sin|-1|,其中为负值的个数是________. 答案 2 解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限, 确定一 个式子的符号,则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号.对于①,因为 1125° =1080° +45° ,所以 1125° 是第一象限角,所以 sin1125° >0;对于②,因为 37 13 37 37 37 37 37 π=2π+12π,则12π 是第三象限角,所以 tan12π>0;sin12π<0,故 tan12π· 12 sin 12 sin4 π<0;对于③,因 4 弧度的角在第三象限,则 sin4<0,tan4>0,故tan4<0;对于 π π ④,因4<1<2,则 sin|-1|>0,综上,②③为负数. 3 11. (2010· 衡水调研卷)若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα= 4 , 则 a 的值为________. 4 3 答案 -4 3或- 3 解析 解法一 依题意可知角 α 的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边 3 3 4 3 上且 sinα· cosα= 4 ,易得 tanα= 3或 3 ,则 a=-4 3或- 3 . 3 解法二 ∵sinα· cosα= 4 >0,∴sinα· cosα 同号 ∴角 α 在第三象限,即 P(-4,a)在第三象限 ∴a<0. -4 a 3 4 3 根据三角函数的定义 2· 2= 4 ,解得 a=-4 3或 a=- 3 . 16+a 16+a θ θ θ 12.如果 θ 是第二象限角,且 cos2-sin2= 1-sinθ,那么2所在象限为第 ________象限. 答案 三 θ θ θ θ 解析 ∵cos2-sin2= 1-sinθ=|cos2-sin2| θ θ ∴cos2≥sin2, 3π θ π ∴2kπ- 4 ≤2≤2kπ+4,k∈Z, π 又∵2kπ+2<θ<2kπ+π,k∈Z π θ π ∴kπ+4<2<kπ+2

5π θ 3π ∴2kπ+ 4 <2<2kπ+ 2 θ 故2为第三象限角. 三、解答题 13.(教材习题改编)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360° ,360° ]之间 的所有角 α. 3π 解析 若角 α 终边落在Ⅱ象限 ∴{α|α= 4 +2kπ,k∈Z} 7π 若角 α 的终边落在Ⅳ象限内 ∴{α|α= 4 +2kπ,k∈Z} ∴α 终边落在 x+y=0 上角的集合为 3π 7π {α|α= 4 +2kπ,k∈Z}∪{α|α= 4 +2kπ,k∈Z} 3π ={α|α= 4 +kπ,k∈Z} 令-360° ≤135° 180° +k· ≤360° ∴k={-2,-1,0,1} ∴相应的角{-225° ,-45° ,135° ,315° } 14.

如右图,角 α 终边上一点 P 的坐标是(3,4),将 OP 绕原点旋转 45° OP′ 到 的位置,试求点 P′的坐标. 解析 设 P′(x,y) 4 3 sinα=5,cosα=5, 7 2 2 ∴sin(α+45° 10 ,cos(α+45° )= )=- 10 , 2 7 2 ∴x=5cos(α+45° )=- 2 ,y=5· sin(α+45° )= 2 2 7 2 ∴P′(- 2 , 2 ). 15.在直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: π y=2 2x(x≥0).求 sin(α+6)的值; 解 由射线 l 的方程为 y=2 2x, 2 2 1 π 2 2 3 1 1 1+2 6 可得 sinα= 3 ,cosα=3,故 sin(α+6)= 3 × 2 +3×2= 6 . 3 1.已知角 α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα=-5,则 x 的值为________. 答案 10

-6 3 由题意知 tanα= x =-5,∴x=10. π 2.若 0<α<β<2,则下列不等式正确的是________. ①sinα+sinβ<α+β ②α+sinβ<sinα+β ③α· sinα<β· sinβ ④β· sinα<α· sinβ 答案 ①②③ 解析 由已知得 sinα<α,sinβ<β,0<sinα<sinβ,因此 sinα+sinβ<α+β,即选 项①正确.α· sinα<β· sinβ,即选项③正确.构造函数 f(x)=x-sinx(其中 x>0),则 π f′(x)=1-cosx≥0, 因此函数 f(x)=x-sinx 在(0, +∞)上是增函数, 0<α<β<2 当 时,有 f(α)<f(β),即 α-sinα<β-sinβ,α+sinβ<sinα+β,选项②正确.对于选项 π π π π 3 D,当 α=6,β=3时,β· sinα=6>6·2 =α· sinβ,选项④不正确. 3.(08· 全国Ⅱ,文)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 C 解析 当 sinα<0 且 tanα>0 得 α 是第三象限角,选 C. 4.求函数 f(x)= sinx-cosx的定义域. π 5π 答案 {x|2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z} 解析 f(x)有意义,则 sinx≥cosx π ∴sin(x- )≥0 4 π ∴2kπ≤x-4≤2kπ+π π 5π ∴2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 k∈Z π π 5.若4<θ<2,则下列不等式成立的是( ) A.sinθ>cosθ>tanθ B.cosθ>tanθ>sinθ C.sinθ>tanθ>cosθ D.tanθ>sinθ>cosθ 答案 D π π 解析 ∵4<θ<2, π ∴tanθ>1,sinθ-cosθ= 2sin(θ-4), π π π π ∵4<θ<2,0<θ-4<4, π ∴sin(θ-4)>0,∴sinθ>cosθ. 解析


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