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(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 第二课时 集合的表示教案 新人_图文

第二课时 集合的表示
预习课本 P3~5,思考并完成以下问题 (1)集合有哪两种表示方法?它们如何定义?
(2)它们的使用条件各是什么?又如何用符号表示?

[新知初探] 1.列举法 把集合的元素 一一列举 出来,并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法. [点睛] 列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“,”隔开. (2)集合中的元素必须是明确的. (3)集合中的元素不能重复. (4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法 (1)定义:用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的 _一__般__符__号__及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖线,在竖线后 写出这个集合中元素所具有的 共同特征 .
[点睛] 描述法表示集合时的 3 个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号.如数或点等. (2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数 式或几何图形等. (3)不能出现未被说明的字母.

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}. ( × )

(2)集合{(1,2)}中的元素是 1 和 2.

(× )

(3)集合 A={x|x-1=0}与集合 B={1}表示同一个集合.( √ )

2.方程组?????xx+ -yy= =- 1,3 的解集是 A.(-1,2) B.(1,-2) C.{(-1,2)}

() D.{(1,-2)}

答案:C

3.不等式 x-3<2 且 x∈N*的解集用列举法可表示为 ( )

A.{0,1,2,3,4}

B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4,5} 答案:B

D.{1,2,3,4,5}

4.不等式 4x-5<7 的解集为________. 答案:{x|4x-5<7}

用列举法表示集合
[例 1] 用列举法表示下列集合. (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合; (2)方程 x3=x 的所有实数解组成的集合; (3)直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合.

[解] (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10,非负是大于或 等于 0 的意思,所以不大于 10 的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程 x3=x 的解是 x=0 或 x=1 或 x=-1,所以方程的 解组成的集合为{0,1,-1}.
(3)将 x=0 代入 y=2x+1,得 y=1,即交点是(0,1), 故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.

用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来.

[活学活用]

1.若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 中元素的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:集合 A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4). 答案:B

2.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A. (2)方程 x2-9=0 的实数根组成的集合 B. (3)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合 D.
解:(1)因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2,3,4,5,所以 A={2,3,4,5}. (2)方程 x2-9=0 的实数根为-3,3,所以 B={-3,3}. (3)由?????yy==x-+23x,+6 得?????xy==41,, 所以一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的交点为(1,4),所以 D= {(1,4)}.

用描述法表示集合
[例 2] 用描述法表示下列集合: (1)被 3 除余 1 的正整数的集合; (2)坐标平面内第一象限的点的集合; (3)大于 4 的所有偶数. [解] (1)根据被除数=商×除数+余数,可知此集合表示为 {x|x=3n+1,n∈N}. (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零,故此集合可表 示为{(x,y)|x>0,y>0}. (3)偶数可表示为 2n,n∈Z,又因为大于 4,故 n≥3,从 而用描述法表示此集合为{x|x=2n,n∈Z 且 n≥3}.

描述法表示集合的 2 个步骤

[活学活用] 3.用符号“∈”或“?”填空:
(1)A={x|x2-x=0},则 1________A,-1________A; (2)(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.
解析:(1)易知 A={0,1},故 1∈A,-1?A; (2)将 x=1,y=2 代入 y=x+1,等式成立.
答案:(1)∈ ? (2)∈

4.用适当的方法表示下列集合: (1)已知集合 P={x|x=2n,0≤n≤2 且 n∈N}; (2)抛物线 y=x2-2x 与 x 轴的公共点的集合; (3)直线 y=x 上去掉原点的点的集合. 解:(1)列举法:P={0,2,4}.

(2)描述法:????x,y??????????yy==0x2-2x?????

.

或列举法:{(0,0),(2,0)}.

(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.

集合表示法的综合应用

[例 3] (1)若集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有

一个元素,则 a=

()

A.1

B.2

C.0

D.0 或 1

(2)设12∈?????x???x2-ax-52=0

???,则集
??

合?????x???x2-129x-a=0

?? ? ??

中所有元素之积为________.

[解析] (1)当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0, 此时 x=-12,符合题意; 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 为一元二次方程, Δ=4-4a=0,即 a=1,原方程的解为 x=-1,符合题意. 故当 a=0 或 a=1 时,原方程只有一个解,此时 A 中只有 一个元素.

(2)因为12∈?????x???x2-ax-52=0 ?????,所以???12???2-12a-52=0, 解得:a=-92,

当 a=-92时,方程 x2-129x+92=0 的判别式 Δ=???-129??? 2-

4×92=2849>0,

所以集合?????x???x2-129x+92=0

???的所有元素的积为方程的两根
??

之积等于92. [答案]

(1) D

9 (2) 2

解答此类问题的策略 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代 表元素及其属性是解题的关键. (2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素 的共同特征是解题的关键.

[活学活用] 5.已知集合 A={x|x2-ax+b=0},若 A={2,3},求 a,b 的值.
解:由 A={2,3}知,方程 x2-ax+b=0 的两根为 2,3,由根与 系数的关系得,?????22+×33==ab,, 因此 a=5,b=6.

6.设集合 B=?????x∈N????2+6 x∈N

???.试判断元素 1,2 与集
??

合B

的关系;用列举法表示集合 B.

解:(1)当 x=1 时,2+6 1=2∈N.

当 x=2 时,2+6 2=32?N.所以 1∈B,2?B.

(2)∵2+6 x∈N,x∈N,∴2+x 只能取 2,3,6. ∴x 只能取 0,1,4.∴B={0,1,4}.

集合含义的再认识
[例 4] 用描述法表示抛物线 y=x2+1 上的点构成的集合. [解] 抛物线 y=x2+1 上的点构成的集合可表示为:{(x, y)|y=x2+1}. [一题多变] 1.[变条件,变设问]本题中点的集合若改为“{x|y=x2+1}”,
则集合中的元素是什么? 解:集合{x|y=x2+1}的代表元素是 x,且 x∈R,
所以{x|y=x2+1}中的元素是全体实数.

2.[变条件,变设问]本题中点的集合若改为“{y|y=x2+1}”, 则集合中的元素是什么? 解:集合{ y| y=x2+1}的代表元素是 y,满足条件 y=x2+1 的 y 的取值范围是 y≥1,所以{ y| y=x2+1}={ y| y≥1},所 以集合中的元素是大于等于 1 的全体实数.


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