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高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修4_图文

第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(重点) 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(重 点、难点) 三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 散点图 ,并根据 ________ 散点图 进行 (3) 利用搜集的数据作出 _________ 函数拟合,从而得到函数模型. 1.想一想 应按怎样的流程解决三角函数模型的应用问题? 提示:应按照审题→建模→解模→还原等流程. 2.做一做 (1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0, +∞),则电流I变化的周期是______. 2π 2π 1 解析:由题意知,T= ω =100π=50(s). 1 答案:50 s (2)单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置 O 的距离 s(厘 米)和时间 t(秒)的函数关系为 ?π π? s=3sin?2t+3?,那么单摆来回摆 ? ? 动的振幅和一次所需的时间分别为________________. 解析:由题意知,单摆来回摆动的振幅 A=3(厘米),来回 2π 摆动一次的时间 T= π =4(秒). 2 答案:3 厘米,4 秒 1.三角函数应用题的三种模式 (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型, 结合三角函数的性质,解决一些实际问题. (2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析 式,再解决其他问题. (3)整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图, 通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数模型, 进一步用函数模型来解决问题. 2.对三角函数在生产、生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际问 题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点 图,进行函数拟合,获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解问 题. (3)在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件. 函数图象、解析式问题 已知如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I = Asin(ωt +φ)(A>0,ω>0)的图象. (1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2)为了使 ? π? I=Asin(ωt+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?中 ? ? t 在任意 1 一段100秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 与最小值- A,那么正整数 ω 的最小值是多少? 思路点拨:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根 据图象确定参数 A , ω,φ 的值即可.其中 A可由最大值与最小 值确定, ω 可由周期确定, φ 可通过特殊点的坐标,解方程求 得.对于(2)可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最 大值点和一个最小值点来解. 解:(1)由题图知,A=300. 1 ? 1 ? 1 T=60-?-300?=50, ? ? 2π ∴ω= T =100π. ? ? 1 ∵?-300,0?是该函数图象的第一个零点, ? ? 1 φ ∴-ω=-300. π ω π ∴φ=300=3.符合|φ|<2, ? π? ∴I=300sin?100πt+3?(t≥0). ? ? 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤100,即 ω ≤100, ∴ω≥200π.∴最小的正整数 ω 为 629. 解决函数图象与解析式对应问题的策略 利用图象确定函数 y = Asin(ωx +φ) 的解析式,实质就是确 定其中的参数 A,ω,φ.其中A由最值确定;由周期确定,而周 期由特殊点求得;φ由点在图象上求得,确定φ时,注意它的不 唯一性,一般是求|φ|中最小的φ. 【互动探究】 本例中,在其他条件不变的情况下,当t=10秒时的电流 强度I应为多少? ? π? I=300sin?100πt+3?(t≥0),将 ? ? 解:由(1)可得 t=10 秒代入 可得,I=150 3 安培. 1 .如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h( 米) 在某天从 0 ~24 时的变化情况,则水面高度 h 关于时间 t 的 函数关系式为__________________. 解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ),则有 h(0) 2π π =0,即 sin φ=0,因此可取 φ=0;又|ω|=12,取 ω=6,则有 π π h=Asin 6t,又 h(3)=Asin 2=A=-6,故所求解析式为 h=- π 6sin 6t. π 答案:h=-6sin 6t 三角函数模型的应用 如图为一个缆车示意图,该缆车 半径为 4.8 m ,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面 距离为h. (1)求h与θ间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函 数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多 少. 列出函数 思路点拨: 分析题目 → → 应用求解 解析式 解:(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以 π Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ-2,故 B 点坐标为 ? ? ? π? π ?? ?4.8cos?θ- ?,4.8sin?θ- ??. 2? 2 ?? ? ? ? ? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ? π π (2)点 A 在圆上转动的角速度是30, 故 t 秒转过的弧度数为30 t. ?π π? ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞). ? ? 到达最高点时 h=10.4 m. 由 ?π π? sin?30t-2?=1 ? ? π π π 得30t-2=

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