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【数学】山东省青岛市平度市2016届高三高考模拟(文)


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山东省青岛市平度市 2016 届高三高考模拟(文)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 P ? {0, m}, Q ? {x | 2 x 2 ? 5x ? 0, x ? Z} ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于() A.1 2. 设复数 z ? A.
1 2

B.2

C.1 或

5 2

D.1 或 2

2?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部是() (1 ? i) 2

B.-1

C.- i

D.1

3.若向 a ? (1,2), b ? (?3,0),(2a ? b) / /(a ? mb), 则 m ? () A. ?

?

?

? ?

?

?

1 2

B.

1 2

C.2

D.-2

4.甲、乙两名选手参加歌手大赛时,5 名评委打的分数,用茎叶图表 示(如图) , s1 , s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差,则 s1与s2 的关系是(填“>”、“<”或“=”) () A. s1 ? s2 C. s1 ? s2 D.不确定 5.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移 B. S1 ? S2

?
3

) 的图像可将 y ? sin 2 x 的图像是()

? 个单位长度 6 ? C.向右平移 个单位长度 3

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向左平移
? ?

6.已知 ?ABC 中, a, b, c 为角 A, B, C 对应边的长, a ? 3, b ? 1, C ? 30? ,则 BC ? CA =( 3 3 A. 4 3 3 B.- 2 3 3 C.- 4 3 3 D. 2

)

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淘出优秀的你 7.如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 的俯视图可以是()

? .则该几何体 4

8.圆心在直线 y ? x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆的方程为() A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2或( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2或( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2 2

9.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,若抛物线 C2 : x2 ? 2 py ? p ? 0? 2 a b

的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为() A. x 2 ?

8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x ? 8 y
2

D. x ? 16 y
2

10. 奇 函 数 f ? x ? 满 足 对 任 意 x ? R 都 有 f

?

成 立 , 则 + x 2?=- ? f ? x

f ?2 0 0 8 f? ?+
A. 0

2 0 0 ?+ ?f 9
B. 1

0 ( ?+ 2 ? f0 1?=
C. 2

)2 0 1 1 D. 4

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么z ? 2 x ? y 的最大值为. 11.已知实数 x,y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?

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淘出优秀的你 12.已知

2?

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 ,?, 若 6 ? ? 6 ,(a, t均为正实数) 3 3 8 8 5 15 t t

类比以上等式可推测 a,t 的值,则 a+t =.

13..执行右面的程序框图,,那么输出的 a 是.

14.已知 ?ABC 的重心为 O,过 O 任做一直线分别 交边 AB,AC 于 P,Q 两点,设 AP ? m AB, ,
? ?

AQ ? n AC 则 4m ? 9n 的最小值是______.

?

?

15.给出如下四个命题: ①线性回归方程 ? y ? bx ? a 对应的直线至少经过其 样本数据点 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , ???, ? xn , yn ? 中的一具体点; ②命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b,则2 ? 2 ?1 ”;
a b

a

b

③设 x 表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x , y 都有 x ? y ? x ? y ; ④等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,则数列 ?an ? 是递减数列的充要条件是公比 q ? 1 . 其中真命题的序号是________.(请把真命题的序号都填上)

? ?

?

? ? ? ? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 www.91taoke.com 联系电话:4000-916-716

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b ,x? R. 16.(本小题满分 12 分)设 a =(2cosx,1), b =(cosx, 3 sin2x),f(x)= a ·
?? (Ⅰ)若 f(x)=0 且 x ? [- , ],求 x 的值. 33 ? (Ⅱ)若函数 g(x)=cos(?x- )+k(?>0, k ? R)与 f(x)的最小正周期相同,且 g(x)的图象过点 3 ? ( ,2),求函数 g(x)的值域及单调递增区间. 6

?

?

? ?

17.(本小题满分 12 分)某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试,学校从测试合 格的学生中随机抽取 100 人的成绩进行统计分析.抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成 绩如下表:

成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表 中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42 人. (Ⅰ)若在该样本中,数学成绩优秀率为 30%,求 a,b 的值; (Ⅱ)若样本中 a ? 10, b ? 8 ,求在地理成绩及格的学生中,数学成绩优秀的人数比及格的人 数少的概率.

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淘出优秀的你 18.(本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AD,点 F 是棱 PD 的中点,点 E 在棱 CD 上移动. (Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时,试判断直线 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; (Ⅱ)求证:PE⊥AF.

19.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数 列,且 b2 ? a2 , b3 ? a5 , b4 ? a14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?cn ? 对任意正整数 n,均有 值.

c c1 c2 ? ? ??? ? n ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ???? ? c2014 的 b1 b2 bn

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淘出优秀的你 20. (本题满分 13 分)已知 m ? 1 ,直线 l : x ? my ? 椭圆 C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, ?AF 1F2, ?BF 1F2 的重心分 别为 G , H . 若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1, F1, F2 分别为 2 m

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? px ?

p 2e ? 2ln x, g ( x) ? , x x

(Ⅰ)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (Ⅲ)若 p2 ? p ? 0 ,且至少存在一点 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范 围.

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参考答案
一、选择题 1?5 D B A C B6?10 B D C D A 二、填空题 11.1 12. 41 13.2 14.

25 15. ②④ 3

三、解答题

b =2cos2x+ 3 sin2x 16.解:(Ⅰ)f(x)= a ·
=1+cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ f(x)=0,?2sin(2x+

? ?

π )+1 6

……………………3 分 …………………4 分 …………………5 分 ……………………6 分

π π 1 )+1=0, ?sin(2x+ )=- , 6 6 2 π π π π 5 又? x ? [- , ] ?- ? 2 x ? ? π 3 3 2 6 6 π π π ? 2 x ? ? ? ?x=- 6 6 6 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=2sin(2x+ )+1, 6
因为 g(x)与 f(x)的最小正周期相同? ? =2, 又 g(x)的图象过点(

……………………………7 分

π π π ,2),?cos(2× - )+k=2,?1+k=2, 6 6 3

?k=1,

………8 分

3 π 2k π - π ? 2x- ? 2k π ,k ? Z, 3 π ?k π - ? x ? k π + π , k? Z, 3 6 π π 所以函数的单调增区间为[k π - ,k π + ], k ? Z. 3 6 7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 17.解: (Ⅰ)由 100

?g(x)=cos(2x- π )+1,其值域为[0,2],

………………………9 分 ……………………10 分 …………………………11 分 ………………………………12 分 …………3 分

∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100, ∴ b ? 17 , ∴ a ? 14 , b ? 17 ; (Ⅱ)由题意知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 , ∴满足条件的 ( a, b) 有 (10, 21),(11, 20),(12,19),(13,18),(14,17), (15,16) , www.91taoke.com 联系电话:4000-916-716 …………6 分

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(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8) 共 14 组.
且每组出现的可能性相同. 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有: …………9 分

(10, 21),(11, 20),(12,19),(13,18),(14,17), (15,16) 共 6 组.
∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 18.解:(Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时, EF// 平面 PAC. 理由如下:

…………11 分 …………12 分

6 3 ? . 14 7

……………2 分

? 点 E,F 分别为 CD , PD 的中点,? EF// PC .

…………3 分 ………4 分

? PC ? 平面PAC , EF ? 平面PAC ,? EF// 平面 PAC.

(Ⅱ)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD , ? CD ? PA . 又? AF ? 平面PAD , ABCD 是矩形,? CD

? AD ,? PA ? AD ? A ,
P F

? CD ? 平面PAD .
, ? AF ? CD .…………6 分

? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点,

A

D

? AF ? PD . …………8 分
又 CD ? PD ? D ,? AF ? 平面PDC .

E B

C

………………10 分

? PE ? AF . ? PE ? 平面PDC,

………………12 分

19.解: (Ⅰ)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列,
2 ∴ (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,解得, d

? 2,

……………………………………2 分

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1. 又∵ b2

………………………………………4 分 ∴

? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 ,

q ? 3 , b1 ? 1 , bn ? 3n ?1.
(Ⅱ)∵

………………………6 分

c c c c c c 1 1 ? ? 22 ? ?? ? ? nn ? ?a ann?? …? 1 1 ,① b b b b b b 1 2 n 1 2 n

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淘出优秀的你 ∴ c1 ? a ,即 c1 ? b1a2 ? 3 , 2
b1

……………………………………………………7 分

n ?1 c c2 2 ? ? 又 c1 1?? …+ ?? ? n ?? aan (n ? 2) ,②

c c b b b1 1 b2 2

c b n ?1 b n

n ?1

① ? ②,得

cn ? an ?1 ? an ? 2 , bn

n ?1 ∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3 (n ? 2) ,∴ cn ? ?

(n ? 1) ?3 ,……………………………10 分 n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

则 c1 ? c2 ? ? ? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32014?1

? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? ? ? 32013 ) ? 3 ? 2 ? 3(1 ? 3
20.解: (Ⅰ)因为直线 l : x ? my ? 所以 m2 ? 1 ?

2013

)

1? 3

? 32014. ……………………………13 分

m2 ? 0 经过 F2 ( m2 ? 1,0), 2

m2 , 得 m2 ? 2 , 又因为 m ? 1 , 所以 m ? 2 , 故直线 l 的方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 2

……………………………………………………………………………………………4 分
? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ). 由 ? 2 ,消去 x 得 2 y 2 ? my ? ?1 ? 0 , 4 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2

m2 m m2 1 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 ,且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? .7 分 4 2 8 2 x y x y 由于 F1 ( ?c,0), F2 (c,0), 可知 G( 1 , 1 ), H ( 2 , 2 ), ………………………………………8 分 3 3 3 3
则由 ? ? m2 ? 8(
???? ???? 因为原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,所以 OH ? OG ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,…10 分

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 m2 1 )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m2 ? 1)( ? ) ? 0, 2 2 8 2

解得 m2 ? 4 (符合 m2 ? 8 )又因为 m ? 1 ,所以 m 的取值范围是(1,2).…………13 分 21.解: (Ⅰ)当 p ? 2 时,函数 f ( x) ? 2 x ?
2 2 2 ? 2ln x, f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0. f ?( x) ? 2 ? 2 ? , x x x

…………………………………………………………………………………………2 分 曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2. 从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1), 即 y ? 2 x ? 2. ……………………………………………4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? p ?

p 2 px2 ? 2 x ? p ? ? . 令 h( x) ? px2 ? 2 x ? p, x2 x x2

要使 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 内是增函数,只需 h ( x ) ? 0 ………………………………6 分

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淘出优秀的你 即 h( x) ? px 2 ? 2 x ? p ? 0 ? p ? (Ⅲ) ? g ( x ) ?
2x , 故正实数 p 的取值范围是 [1, ??). ……………8 分 x ?1
2

2e 在 [1,e] 上是减函数, ?x ? e 时, g ( x)min ? 2; x ? 1 时, g ( x )max ? 2e, 即 x

g ( x ) ? [2,2e], …………………………………………………………………………………10 分

①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p, 其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ?

1 在 y 轴的 p

左侧, 且 h (0) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 x ? [1,e] 内是减函数.当 p ? 0 时,h( x ) ? ?2 x , 因为 x ? [1,e], 所
2 以 h( x) ? 0, f ?( x) ? ? ? 0, 此时, f ( x ) 在 x ? [1, e] 内是减函数.故当 p ? 0 时, f ( x ) 在 [1,e] 上 x

单调递减 ? f ( x ) max ? f (1) ? 0 ? 2, 不合题意;…………………………………………12 分 ②当 p ? 1 时,由(2)知 f ( x ) 在 [1,e] 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2, 又 g ( x ) 在 [1,e] 上是减数, 故 只 需
f ( x )max ? g ( x ) min , x ?[1,e],



1? ? f ( x ) max ? f (e) ? p ? e ? ? ? 2ln e, g ( x ) min ? 2, 即 e? ?

1? 4e ? ? 4e ? p ? e ? ? ? 2ln e ? 2, 解得 p ? 2 , 所以实数 p 的取值范围是 ? 2 , ?? ? .…………14 分 e? e ?1 ? ? e ?1 ?

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