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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算课件 理


第一章 集合与常用逻辑用语

考情分析 考点

2015

2014

2013

2012

2011

新课标卷Ⅰ,T1,选 新课标卷Ⅰ,T1,选 集合与常用逻辑用语 新课标卷Ⅱ,T1,选 择; 择 择 命题及其关系、充分必要条件 简单的逻辑联结词、全称量词与存在 新课标卷Ⅰ,T3,选 量词 择 择; 择 新课标卷,T1,选 新课标卷,T1,选 择 新课标卷Ⅱ,T1,选 新课标卷Ⅱ,T1,选 择

第一节 集合的概念与运算

考纲概述

考查热点

考查频 次

备考指导

(1)了解集合的含义、元素与集合的属于 集合的概 关系;能用自然语言、图形语言、集合语 念与表示、 言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题; 别给定集合的子集;在具体情境中,了解 全集与空集的含义; (3)理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集;理解在给 集合间的 定集合中一个子集的补集的含义,会求给 基本运算 定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达 集合间的基本关系及运算. ★★★★ 元素与集 合的关系 ★★★ ★★★ 集合的概念及运算一直是高考热点,主要是以集合的基本概念与 表示法、元素与集合的关系与集合之间的运算考查为主,试题加 强了对集合与其他知识结合(如不等式解、方程的解、函数图象 的点及自定义的方式等)的考查,一般为基础题,解题时要充分利 用韦恩图、数轴等直观性迅速得解,预计今后这种考查方式不会 变.

(2)理解集合之间包含与相等的含义,能识 集合间的 相互关系

1.集合的含义与表示
(1)集合中元素的特性:确定性、 无序性 、 互异性 . (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号表示为∈或?. (3)常见数集及其记法

自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N*或 N+ Z Q R

(4)集合常用的三种表示方法: 列举法 、 描述法 、韦恩(Venn)图法. (5)集合的分类(根据集合中元素的个数):有限集、无限集、?.

2.集合间的基本关系
表示 关系 子集 真子集 相等 文字语言 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素 符号表示 A?B(或 B?A )

集合 A 是集合 B 的子集,且至少存在一个元素 x 属于集合 B,但不属于集合 A A?B(或 B?A) 集合 A 与集合 B 中的元素完全相同或集合 A,B 互为子集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 A=B ??A ??B 且 B≠?

空集

3.集合的基本运算与常用性质
(1)集合的运算关系

运 算 图 形 表 示 符 号 表 示

并集

交集

补集

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

?UA=

{x|x∈U 且 x?A}

(2)集合的运算律与常见性质
运算律 交换律 结合律 分配律 ?U(A∩B)=(?UA) ∪(?UB) B)=(?UA)∩(?UB) 性质

A∩B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=?,A∩(?UA)=? A?A∪B,B?A∪B,A∪A=A,A∪?=A,A∪ (?UA)=U

A∪B=B∪ (A∪B)∪C=A∪(B∪ ?U(A∪ A C)

4.常用的数学方法与思想
数轴法、韦恩(Venn)图法、分类讨论与数形结合思想.

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. ( ) (1)× 【解析】由于-1?N,所以列举法表示应为{0,1}. (2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C. ( ) (2)× 【解析】{x|y=x2}=R,{y|y=x2}={y|y≥0}=[0,+∞),以上两集合为数集,而{(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有点 的集合,则三个集合各不相同.

(3)方程 -2016+(y+2017)2=0 的解集为{2016,-2017}.
(3)× 【解析】该方程含有两个未知数,解集为{(2016,-2017)},集合中只有一个元素. (4)若5∈{1,m+2,m2+4},则m的取值集合为{1,-1,3}. (4)× 【解析】当m=-1时,m+2=1,与集合中元素的互异性矛盾. (5)若P∩M=P∩N=A,则A?M∩N. (5)√ 【解析】由P∩M=A,P∩N=A,可知A?M,A?N,从而有A?M∩N.

(
( (

)
) )

2.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A∩B的元素个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 2.C 【解析】解法1:A为圆心在原点的单位圆,B为过原点的直线,故有2个交点.解法2:由
+ = 1, 可得 = ,
2 2

)

= =

√2

2 √2 2

,



= =

√2

2 √2 2

, 两组解.

3.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 ( ) A.-3∈A B.3?B C.A∪B=B D.A∩B=B 3.D 【解析】因为A={y|y=|x|-1,x∈R}={y|y≥-1},所以选项D正确. 4.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},则N= ( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4} 4.B 【解析】由M∩(?UN)={2,4}知2,4∈M且2,4?N,又U=M∪N={1,2,3,4,5},所以1,3,5∈N,即选项B 正确.

5.已知集合 A={x|√ = A.2 B.-1

2 -2,x∈R},B={1,m},若 A?B,则 m 的值为 C.-1 或 2 D.2 或√2

(

)

5.A 【解析】由 A={x|√ =

2 -2,x∈R}得 A={2},又 A?B,所以 m=2.

考点 1 集合的基本概念
典例 1 定义 A={x|y= 1- 2 ,x∈Z},设集合 B={p-q|p∈A,q∈A},则集合 B 中元素的个数为( A.1 B.3 C.5 D.7 )

【解题思路】对于集合中的元素的个数问题,若集合中的元素个数不多,则常把集合中的元素列出来;另一情 况是元素较多且具有规律性,此时利用周期性来考查的较多.由 A={x|y= 1- 2 ,x∈Z},得 A={-1,0,1},所以 B={p-q|p∈A,q∈A}={-2,-1,0,1,2},所以 B 中元素的个数为 5. 【参考答案】 C

处理集合概念性问题时需注意的 3 个问题 (1)要分清集合的类型与元素的性质; (2)要利用集合中元素的互异性找到解题的切入点; (3)要注意解题后的检查.

【变式训练】

给出以下三个命题:①集合{(x,y)|x2+y2=4,x∈Z,y∈Z}中元素的个数为8个;②{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k2,k∈Z};③由英文单词“easy”中的所有字母组成的集合有15个真子集.其中正确的命题是 .(请写 出所有真命题的序号) ②③ 【解析】①中集合表示圆上整点的个数,由于x,y∈Z,因此只有(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),共4个元素,因 此①错误;②中3k+1,3k-2(k∈Z)都表示被3除余1的数,因此②正确;③中真子集的个数为24-1=15.

★备用练习已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合

A⊕B={(x1 +x2 ,y1 +y2 )|(x1,y1)∈A,(x2 ,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为( A.77 B.49 C.45 D.30

)

C 【解析】如图,集合A表示如图所示圆形区域x2+y2≤1中的5个整点(即横坐标与 纵坐标都为整数的点),集合B表示集合{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中所有的整点,集合 A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之 外的所有整点,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.a

考点 2 集合间的基本关系
命题角度 1:集合间关系的直接判断 典例 2 (2013· 新课标全国卷Ⅰ) 已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|-√5<x<√5},则 B.A∪B=R D.A?B ( )

A.A∩B=? C.B?A

【解题思路】本题考查了不等式的求解与集合的运算.∵集合 A={x|x2-2x>0}={x|x>2 或 x<0},集合 B={x|-√5 < < √5}, ∴ ∩ = {|2 < < √5或 ? √5<x<0},A∪B=R. 【参考答案】 B 集合间关系判断的三种策略 (1)转化为元素与集合的关系; (2)通过描述法抓住元素的共同属性; (3)借助于数轴、韦恩图及函数图象,通过数形结合思想解决.

命题角度2:利用集合间的关系确定符合条件集合的个数或字母参数的值与取值范围 典例3 (2015· 南充三模)设集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4},则满足条件的集合M的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题思路】由{1,2}?M?{1,2,3,4}可知元素1与2必在集合M中,而元素3,4可在集合 M中也可不在集合M中,为此转化为求集合{3,4}的真子集的个数,可一一列出也可利 用公式求解.集合{3,4}的真子集的个数为22-1=3. 【参考答案】 C

典例4 (2016· 三明模拟)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}. (1)若A?B,求实数m的取值范围; (2)若A∩B=(1,2),求实数m的取值范围; (3)若A∩B=?,求实数m的取值范围.
【解题思路】由于集合 A 明确,可在数轴上表示,而集合 B 中含有字母 m,因此应进行分类讨论及利用数轴构成不等式 组来解 ,但要注意区间端点的取舍问题. 1- > 2, 【参考答案】(1)由 A?B 得 2 ≤ 1, 解得 m≤-2, 1- ≥ 3, 即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. 2 ≤ 1, (2)由已知得 解得 m=-1. 1- = 2, (3)由 A∩B=?知:

①若 2m≥1-m,即 m≥3时,B=?,符合题意; ②若 2m<1-m,即 m<3 时, 需 1 ? ≤ 1 或 2 ≥ 3, 解得 0 ≤ < 3.
综上知实数 m 的取值范围为[0,+∞).
1 1

1

【变式训练】
1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.D 【解析】由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4},又∵A?C?B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. 2.(2016· 长春调研)已知集合A={1,16,4x},B={1,x2},若B?A,则x=( ) A.0 B.-4 C.0或-4 D.0或±4 2.C 【解析】由B?A知:①当x2=16时,即x=-4或x=4,而当x=4时,与集合中元素的互异性相矛盾,因此 不符合,舍去;②当x2=4x时,x=0或x=4(舍),因此符合条件的是选项C.

考点 3 集合间的基本运算

命题角度1:集合的交集运算 典例5 (2015· 新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B= ( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1}D.{0,1,2} 【解题思路】本题考查集合的交集运算和一元二次不等式的解法.因为B={x|-2<x<1},所以A∩B={-1,0}. 【参考答案】 A 命题角度2:集合的并集运算 典例6 若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B= ( ) A.{1} B.{1,2} C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2} 【解题思路】先把两集合分别进行化简,A={x|x2=1}={-1,1};B={x|x2-3x+2=0}={1,2},所以A∪B={-1,1,2}. 【参考答案】 C

命题角度3:集合的交、并、补混合运算 典例7 设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为 ( )

A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) 【解题思路】解法1:因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则1-x2∈(0,1],所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},所以A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0].而图中阴影部分表示的集合为 (?(A∪B)A)∪(?(A∪B)B)=(-∞,-1]∪(0,1).解法2:设U=A∪B,因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|1<x<1},B={y|y=f(x)}={y|y≤0}.由于U=A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],则阴影部分表示的集合为 ?U(A∩B)={x|x≤-1或0<x<1}. 【参考答案】 D

集合的交、并、补运算求解的三步曲 第一步,分别化简各个集合; 第二步,在数轴上把各集合表示出来; 第三步,把交、并、补对应的集合表示出来.

【变式训练】
1.(2015· 唐山一模)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2,5},则(?UA)∪B= A.{3,4,5} B.{2,3,5} C.{5} D.{3} 1.B 【解析】(?UA)={3,5},B={2,5},所以(?UA)∪B={2,3,5}.
2. (2015· 洛阳统考) 已知集合 A={1,m2+1},B={2,4},则“m=√3”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

(

)

2.A 【解析】由 A∩B={4}可知 m2+1=4,m=±√3, 反之 = √3可得 A∩B={4},所以选项 A 正确.

3.全集U=R,集合A={x∈Z|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图中阴影部分表示的集合 为 .

3.{x|-1≤x<0或0<x<1} 【解析】由题意知,集合A={0,1,2},B={y|-1≤y≤1},则图中阴影部 分表示的集合为(?UA)∩B={x|-1≤x<0或0<x<1}.

以集合为载体的创新题例探究
集合问题的考查多以集合的基本运算为主.有时会以能力为考查,则以概 念为主线,融入新定义和其他知识,此类问题求解时要注意以下几点:一是对新 定义下集合的认识;二是从具体到一般寻找规律的数学思想的应用;三是分类 思想的应用;四是注意分类中既不能重复又不能遗漏.

典例1 同时满足以下4个条件的集合记作Ak:①所有元素都是正整数;②最小元素为1;③最大元素为 2017;④各个元素可以从小到大排成一个公差为k(k∈N*)的等差数列.那么集合A8∪A14中元素的个 数是 ( ) A.378 B.379 C.370 D.361 【解题思路】A8中元素是首项为1,公差为8的等差数列,设项数为m,则有1+8(m-1)=2017,解得 m=253;A14中元素是首项为1,公差为14的等差数列,设项数为n,则有1+14(n-1)=2017,解得 n=145.A8∩A14中元素是首项为1,公差为8×7的等差数列,那么设项数为q,则有1+8×7(q-1)=2017, 解得q=37.所以设P表示元素个数,则有P(A8∪A14)=P(A8)+P(A14)-P(A8∩A14)=253+145-37=361. 【参考答案】 D

典例2 对于数集X={-1,x1,x2,?,xn},其中0<x1<x2<?<xn,n≥2,定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X},若对任意 a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1· a2=0,则称X具有性质P. (1)判断{-1,1,2}是否具有性质P; (2)若x>2且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值; (3)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1. 【参考答案】(1){-1,1,2}具有性质P. (2)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b),b∈Z, 所以x=2b,从而b=2,x=4. (3)取a1=(x1,x1)∈Y,设a2=(s,t)∈Y满足a1· a2=0. 则(s+t)x1=0,得s+t=0,所以s,t异号. 因为-1是X中唯一的负数, 所以s,t中若有一个为-1,另一个为1, 故1∈X. 假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn. 选取b1=(x1,xn)∈Y,并设b2=(p,q)∈Y满足b1· b2=0,即px1+qxn=0, 则p,q异号,从而p,q之中恰有一个为-1. 若p=-1,则x1=qxn,显然矛盾; 若q=-1,则xn=px1<p≤xn,矛盾. 所以x1=1.

【针对训练】
(2015· 浙江高考)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素 的个数. 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 【解析】命题①中,A=B,即A∪B=A∩B=A?d(A,B)=0,则知A≠B?d(A,B)>0,即命题①正确;命题②中,
通过Venn图,通过集合A,B,C的关系与对应的集合的关系可以判断其是正确的.

【答案】 A


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