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人教B版复习课件: 1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程_图文

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线 的方程

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三年3考

高考指数:★★

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的
计算公式;

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直;
3.掌握确定直线位置的几何要素; 4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了 解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点;

2.常与圆锥曲线综合命题,重点考查函数与方程思想和数形结
合思想; 3.多以选择题和填空题的形式出现,属于中低档题目.

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 相交 ①一个前提:直线l与x轴_____;

x轴 一个基准:取_____作为基准;
两个方向:x轴正方向与直线l向上方向. 0° ②当直线l与x轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为_____.

(2)直线的斜率 tanθ ①定义:若直线的倾斜角θ 不是90°,则斜率k=_______; ②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x
y 2 ? y1 (x1 ? x 2 ) 轴,则k=_________________. x 2 ? x1

【即时应用】
(1)过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为______;

(2)直线

的倾斜角为______.
=1,解得m=1.

【解析】(1)由斜率公式得: 3x ? y ? 1 ? 0 (2)∵ 的斜率
4?m m?2

即倾斜角α的正切值tanα=k ? ,又∵0≤α<π,∴ 3x ? y ? 1 ? 0 3, 答案:(1)1 (2)
? 3

3

? ?? . 3

2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

直线l1 、l2不重合,斜率

l1∥ l2 l1⊥ l2

? ?

k1=k2 k1· 2=-1 k

分别为k1,k2且都存在

【即时应用】 (1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1∥l2,则a=______; (2)直线l的倾斜角为30°,若直线l1∥l,则直线l1的斜率 k1=______;若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=______.

【解析】(1)l1与l2的斜率分别为k1= ?1 ? 1 ? 2,
a ?0 k 2= =-a,由l1∥l2可知:a=-2. 0 ?1 ?2 ? 1

(2)由直线斜率的定义知,直线l的斜率k=tan30°= ∵l1∥l,∴ k1 ? k ?
3 , 3

3 , 3

∵l⊥l2,∴k 2 ? k ? ?1,? k 2 ? ?1 ? ? 3.
k

答案:(1)-2

(2) 3
3

? 3

名称

条件
斜率k与点 (x1,y1) 斜率k与直线 在y轴上的截 距b

方程
y-y1=k(x-x1)

适用范围
不含直线x=x1

3.直线方
点斜式

程的几种 形式
斜截式

不含垂直于x y=kx+b 轴的直线

两点(x1,y1), y ? y1 两点式 (x2,y2)

x?x 1 y ?y x ?x 2 1 2 1 (x ? x , y ? y ) 1 2 1 2 ?

不含直线x=x1

(x1=x2)和直
线y=y1(y1=y2) 不含垂直于坐 标轴和过原点

截距式

直线在x轴、 y轴上的截距 分别为a、b

x y ? ?1 a b (a ? 0, b ? 0)

的直线
平面直角坐标 系内的直线都 适用

一般式

Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)

【即时应用】 (1)思考:过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)?

提示:能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).

当x1≠x2且y1≠y2时,直线方程为: y ? y1 ? x ? x1 ,可化为上
y 2 ? y1 x 2 ? x1

式;

当x1≠x2,y1=y2时,直线方程为:y=y1也适合上式;
当y1≠y2,x1=x2时,直线方程为:x=x1也适合上式; 综上可知:过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成(x2x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).

(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ? ______.

3 ,则直线l的方程为 4

【解析】由直线的点斜式方程得,直线l的方程为:

y-5= ? 3 (x+2),即3x+4y-14=0.
4

答案:3x+4y-14=0

(3)经过两点M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为______. 【解析】经过两点M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为
y ? 2 x ?1 ? , 即3x+2y+1=0. 4 ? 2 ?3 ? 1

答案:3x+2y+1=0

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直线的倾斜角与斜率

【方法点睛】
1.斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α 或α 的某种三角函数值,一 般根据k=tanα 求斜率; (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜 率公式 k ? y 2 ? y1 (x1 ? x 2 ) 求斜率.
x 2 ? x1

2.直线的斜率k与倾斜角α 之间的关系

α k



0°<α <90° k>0

90° 不存在

90°<α <180° k < 0

0

【提醒】对于直线的倾斜角α,斜率k=tanα(α≠90°),若已 知其一的范围可求另一个的范围.

【例1】(1)(2011 ? 福州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的 取值范围是( (A)[0, ? ]
4 ? (C)[0, ]∪( ? ,π ) 4 2

) (B)[ 3? ,π )
4 (D)[ ? , ? )∪[ 3? ,π ) 2 4 4

(2)已知两点A(m,n),B(n,m)(m≠n),则直线AB的倾斜角为____. (3)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有

交点,则直线l的斜率k的取值范围为______.

【解题指南】(1)直线倾斜角与直线的斜率有关,而已知直线的 方程,因此可先求直线的斜率,由斜率的取值范围求直线倾斜 角的取值范围;(2)先由公式法求出斜率,再求倾斜角;(3)直 线l的斜率的取值范围,可由直线PA、PB的斜率确定;也可先写 出直线l的方程,再由点A、B在直线l的异侧(或A、B之一在l上) 求解.

【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0的斜率 k= ? 21
a ?1 围是 3? ≤α<π. 4

,且-1≤ ? 1
2

a ?1

<0,所以直线的倾斜角α的取值范

(2)因为A(m,n),B(n,m)(m≠n),所以直线AB的斜率k= m ? n ? ?1,

所以直线的倾斜角为 3?;
4

n?m

答案:3 ?
4

(3)方法一:因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1), 所以 k PA ? ?3 ? 1 ? ?4;k PB ? ?2 ? 1 ? 3 ,
2 ?1 ?3 ? 1 4

如图所示:

因此,直线l斜率k的取值范围为k≤-4或k≥

3 . 4

方法二:依题设知,直线l的方程为:y-1=k(x-1),即kx-y+1k=0,若直线l与线段AB有交点,则A、B两点在直线l的异侧(或A、 B之一在l上) 故(2k+4-k)?(-3k+3-k)≤0,即(k+4)(4k-3)≥0,
3 4 答案:k≤-4或k≥ 3 4

解得:k≤-4或k≥ .

【反思·感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解
题线索,如本例第(1)题由直线的方程,可求出直线的斜率, 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围; 2.已知倾斜角的取值范围,求斜率的取值范围,实质上是求 k=tanα的值域问题;已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范 围,实质上是在[0, ? )∪( ? ,π)上解关于正切函数的三 角不等式问题.由于函数k=tanα在[0,? )∪( ? ,π)上不
2 2 2 2

单调,故一般借助函数图象来解决此类问题.

直线平行、垂直关系的判断及应用 【方法点睛】

两直线平行、垂直的判断方法
(1)已知两直线的斜率存在

①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ?
②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1; ?

(2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率,转化为第一种方法,或利用以下方

法求解:
直线方程 l1与l2 垂直 的充要条件 l1与l2 平行 的充分条件

l1: 1x ? B1 y ? C1 ? 0(A12 ? B12 ? 0) A
l2: 2 x ? B2 y ? C2 ? 0(A 2 2 ? B2 2 ? 0) A

A1A2+B1B2=0
A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2 C2 ? 0) A 2 B2 C 2 A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2 A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2 C 2 ? 0) A 2 B2 C 2

l 1与l2 相交 的充分条件
l1与l2 重合 的充分条件

【例2】(1)(2012 ? 武汉模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线xay=0相互垂直”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 )

(D)既不充分也不必要条件
(2)(2012 ? 梅州模拟)如果直线l1:x+2my-1=0与直线l2:(3m-

1)x-my-1=0平行,则实数m的值为______;

(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1), B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标. 【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直,

由两直线垂直是否能得出a=1;(2)对参数m进行讨论,利用两直
线斜率相等求值;(3)设所求点的坐标为D(x,y),利用长方形的

性质得出关于x、y的方程组,解方程组即可得出D点的坐标.

【规范解答】(1)选C.当a=1时,直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直; 当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时,1×1+1×(-a)=0, 解得:a=1, 因此,“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要

条件.
(2)当m=0时,l1:x-1=0,l2:-x-1=0,

显然l1∥l2.

当m≠0时,l1:y= ?
l2:y= 3m ? 1 x ? 1 ,
m m

1 1 x? , 2m 2m

∵l1∥l2,
3m ? 1 ? 1 ? m? ? 2 ? m ? ∴ ? 1 ,解得 m ? 1 . 1 ?? 6 ? 2m m ? 综上可知,m=0或m= 1 . 6 答案:0或 1 6

(3)设D的坐标为D(x,y),因为四边形ABCD为长方形,所以,
?k CD ? k AB , ? ?k AD ? k CD ? ?1
? y ? 2 1? 0 ? x ? 3 ? 0 ?1 ? , 即 ? ? y ? 1 ? y ? 2 ? ?1 ?x ?0 x ?3 ?

x?2 解得 ? ,即点D的坐标为(2,3). ? ?y ? 3

【反思·感悟】通过本例的解析过程可知,处理两直线的位置
关系,在两直线斜率都存在的前提下,利用两直线的斜率和在y 轴上的截距去处理;若直线的斜率不存在,则可考虑数形结合.

直线方程的综合应用 【方法点睛】 直线方程综合问题的类型及解法 (1) 与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方 程中的x、y的关系,将问题转化为关于x(或y)的某函数,借助

函数的性质解决;
(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的 有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基 本不等式等)来解决.

【例3】已知直线l过点P(3,2),且与x 轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 如图所示,求△ABO的面积的最小值及 此时直线l的方程. 【解题指南】先设出AB所在的直线方程,再求A、B两点的坐标,

写出表示△ABO的面积的表达式,最后利用相关的数学知识求出
最值.

【规范解答】方法一:由题可设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则

直线l的方程为 x ? y ? 1,
a

b ∵l过点P(3,2),∴ 3 ? 2 ? 1, a b b= 2a 且a>3,b>2. a ?3 1 1 2a a2 从而 S? ABO ? a ? b ? a ? ? . 2 2 a ?3 a ?3 2 ? a ? 3? ? 6 ? a ? 3? ? 9 故有 S ? ABO ? a ?3
? ? a ? 3? ? 9 ?6? 2 a ?3

? a ? 3? ?

9 ? 6 ? 12, a ?3

当且仅当 a ? 3 ? 9 ,

即a=6时,(S△ABO)min=12,此时 b ? 2 ? 6 ? 4,
∴此时直线l的方程为 x ? y ? 1,
6 4 6?3

a ?3

即2x+3y-12=0.
方法二:由题可设直线方程为 x ? y ? 1? a>0, b>0 ? ,
a b

代入P(3,2),得 3 ? 2 ? 1 ? 2 6 ,
a b ab

得ab≥24,从而 S? ABO ? 1 ab ? 12, 当且仅当 3 ? 2 时,等号成立,S△ABO取最小值12,
a b
2

此时 k ? ? b ? ? 2 ,
a 3

∴此时直线l的方程为2x+3y-12=0. 方法三:依题意知,直线l的斜率存在.

设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
则有A(3- 2 ,0),B(0,2-3k),
1 ∴S△ABO= (2-3k)(3- 2 ) 2 k k

=

1 4 [12 ? ? ?9k ? ? ] 2 (?k)

1 4 ? [12 ? 2 (?9k) ? ] 2 (?k)

= 1 ?12 ? 12 ? ? 12,
2

当且仅当 ?9k ? 4 ,即k= ? 2 时,等号成立,S△ABO取最小值12.
?k

3

此时,直线l的方程为2x+3y-12=0. 方法四:如图所示,过P分别作x轴, y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.

设θ=∠PAM=∠BPN,
显然θ∈(0, ? ),
2

则S△ABO=S△PBN+S四边形NPMO+ S△PMA

1 1 1 ? ? 3 ? 3 ? tan? ? 6 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 tan? 9 2 ? 6 ? tan? ? 2 tan? 9 2 tan? ? ? 12, 2 tan? 当且仅当 9 tan? ? 2 , 2 tan? 即tanθ= 2 时,S△ABO取最小值12, 3 此时直线l的斜率为 ? 2 , 3 ? 6?2

其方程为2x+3y-12=0.

【反思·感悟】1.此题是直线方程的综合应用,解题时,可灵 活运用直线方程的各种形式,以便简化运算. 2.以直线为载体的面积、距离的最值问题,一般要结合函数、 不等式的知识或利用对称性解决.

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【创新探究】与直线方程有关的创新命题 【典例】(2011 ? 安徽高考)在平面直角坐标系中,如果x与y都 是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是______(写出

所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是
有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【解题指南】存在性问题,只需举出一种成立情况即可,恒成 立问题应根据推理论证后才能成立;注意数形结合,特例的取 得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.

【规范解答】①正确.例如y= 3x ? 2 ,当x是整数时,y是无理
数,(x,y)不是整点;②不正确,如 y ? 2x ? 2 过整点(1,0); ③设y=kx(k≠0)是过原点的直线,若此直线过两个整点 (x1,y1),(x2,y2),则有y1=kx1,y2=kx2,两式相减得y1-y2=k(x1x2),则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上,通过这种方法可以得 到直线l经过无穷多个整点,通过上下平移y=kx知对于y=kx+b也 成立,所以③正确;④不正确,如 y ? 1 x ? 1 ,当x为整数时,y不
3 2

是整数,此直线不经过无穷多个整点;⑤正确,如直线 y ? 3x,

只经过整点(0,0). 答案:①③⑤

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议: 本题有三处创新点: (1)本题为新定义问题,题目的结构形式、设问方式都有 创 新 点 拨

创新;
(2)考查内容的创新,在考查直线的斜率、倾斜角、充要 条件等知识的基础上,还考查了学生的发散思维,思维 方向与习惯思维不同; (3)考查方式的创新,对直线方程的考查,由常规方式转

换为以整点为载体考查直线方程的确定方式.

解决与直线方程有关的创新问题时,要注意以下几点: 备 考 建 议

(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义;
(2)掌握确定直线的两个条件; (3)注意数形结合的运用,在平时的学习和解题中,

多思考一些题目的几何意义;
(4)注意逆向思维、发散思维的训练.

3? 1.(2012 ? 梅州模拟)已知直线l1的倾斜角为 ,直线l2经过 4

点A(3,2),B(a,-1),且l1与l2垂直,则a等于( (A)-4 (B)-2 (C)0
4

) (D)2

【解析】选C.依题意知:直线l1的斜率k1= tan 3? =-1,又因为直

线l1与直线l2垂直,直线l2的斜率 k 2 ?
解得a=0.

2 ?1 ,所以 k 2 ? 2 ? 1 ? 1, 3?a 3?a

2.(2012 ? 深圳模拟)一直线在y轴上的截距为2,其倾斜角α 的 正弦满足方程6x2+x-1=0,则此直线方程为______. 【解析】∵sinα满足方程6x2+x-1=0,解得sinα= 1 或
3

sinα= ? 1 .
2

又∵α∈[0,π),∴sinα= 1 ,故 tan? ? ? 2 .
3 由斜截式知直线方程为 y ? ? 2 x ? 2. 4 答案:y ? ? 2 x ? 2 4
4

3.(2012 ? 佛山模拟)若三点A(1,1),B(-1,0)及C(2,k)在同一直 线上,则k值等于______. 【解析】∵A(1,1),B(-1,0),C(2,k), ∴ k AB ?
1? 0 1 1? k ? , k AC ? ? k ? 1, 1 ? ? ?1? 2 1? 2

又∵A、B、C三点在一条直线上,∴ 1 ? k ? 1, k ? 3 .
2 2

答案:3
2

4.(2011 ? 浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂
直,则实数m=______. 【解析】由题意可得1×2-2m=0,解得m=1. 答案:1


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2019届复习人教A版理 第8章 第1直线的倾斜角与斜率直线的方程 ...( ) A.30° B.60° C.150° D.120° B [设直线的倾斜角为 α,则 ...
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高考数学复习第八章解析几何第1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件文新人教版 - 第八章 解析几何 ?第1直线的倾斜角与斜率直线的方程 ◆高考导航...
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第八章解析几何第直线的倾斜角与斜率直线的方程课件人教版_高考_高中...(1)坐标平面内的任何条直线均有倾斜角与斜率. (×) (2)过点M(a,b),...
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高考数学(文)复习课件:8-1直线的倾斜角斜率与方程 (人教A版)_高考_
...课件:8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程(人教A版)_....ppt
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