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2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题9(答案) Microsoft Word 文档


2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题 9(答案)
命题人:张开桃





1 A. 4

A 1 B. 2

) C.

3 4

D.

4 5

姓名: 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1. 已知集合 M={x|x<3} N={x|log2x>1} , ,则 M∩N=( D ) A. ? B. x|0<x<3} { C. x|1<x<3} { D. x|2<x<3} { 2. 以下说法错误的是( C ) ..
A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.
2
2

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 8. 已知函数 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) 为奇函数,若函数 ? x 2 ? mx ( x ? 0) ?

f ( x)在区间[?1, a ? 2] 上单调递增,则 a 的取值范围
是 ( B )

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

A. (1,3) B. (1,3] C. (3, ??) D. [3, ??)

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题. D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2
2

. 时 ( ? 9. 定义 在 R 上的奇函数 f ( x ), 当x ? 0 ,f x ) ?
)

x ?log1 (x ? 1), ? [0,1) ?
2

?1? | x ? 3 |,x ? [1, ) ?? ?

?a

, 则关 于 x 的函 数

3. 若对任意的 x ? R ,函数 f (x) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( D
A.1 B.-1 C.2013 D.-2013

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为
A. 2 ? 1
a

B

) D. 1 ? 2 1
?a

4. 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( D A.①和② ) C.③和④ D.②和④
A 1

B. 1 ? 2

a

C. 2

?1

10. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, n 第

行有 n 个数且两端的数均为

1 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1
1

1 2
B1 C1

1 2
1 6 1 3

B.②和③

1 3

5. 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长 为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 AA1 与平面 AB1C 1 所成的角为( A. A )

1 4
1 5

1 12

1 12

1 4

B

? 6

B.

? 4

C.

? 3
*

D.

? 2

A

C

6. 已知数列 {an }, 若点(n, an )(n ? N ) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列 {an } 的前 9 项和 S9= ( D ) A.9

1 1 1 1 30 5 20 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,?,则第10行第4个数 (从左往右数) 为(B ) 1 2 2 2 3 6 3 4 12 1 1 1 1 A. B. C. D. 1260 840 504 360 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分

B.10

C.18

D.27

11. 若

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z

.

1 5 ? i 2 2

7. 已知实数 x ? [0,8] ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率
1

y?0 ? ? 12. 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
13. 已知 x ?

. 8

1 又 cos B ? , 故ac ? 6,由b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, 3 2 可得a ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0, 即a ? c,
所以 a ? c ?

x 2 ? 4x ? 5 5 ,则 f ( x ) ? 的最小值为 2x ? 4 2
2

.1

6 . ???12 分

17. (本小题满分 12 分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片

y2 ? 1的渐进线被圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为 14. 双曲线 x ? 4
15. ①函数 y = sin ? x-

4

两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色 不同且标号之和小于 4 的概率. 【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝
1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色

π? ? 在 ?0,π? 上是减函数; 2? ②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x ? y ? 0 两侧; ③数列 ?an ?为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,则当 n ? 4 时,
x 2 +3 x x

? ?

Sn 取得最大值;
④定义运算

a1 b1

a2 b2

=a1b 2-a b 则函数 f (x)= 2 1

1 ? 1? 1 的图象在点 ?1, ? 处的切线方程 x ? 3? 3

不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10

是 6 x ? 3 y ? 5 ? 0. 其中正确命题的序号是 ②④ (把所有正确命题的序号都写上).

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色不同 且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?
8 . 15

三.解答题:共 75 分
16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . ①求 cos B 的值; ②若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值. 解:(Ⅰ)解:由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,

BE 18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 E ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为平行四边形, ? BC ,
AE ? BE , M 为 CE 上一点,且 BM ? 平面 ACE .
⑴求证: AE ? BC ; ⑵如果点 N 为线段 AB 的中点, 求证:MN ∥平面 ADE .

D

C

N
A

M B

则2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0,
因此 cos B ?

E

1 . 3

???6 分

(Ⅱ)解:由 BA ? BC ? 2, 可得ac cos B ? 2 ,

2

令 x=0,得 y ? ? 19. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y 2 ? 8x 与椭圆 D (? 2, 3) .⑴.求椭圆方程; ⑵.点 A、B 是椭圆的上下顶点,点 C 为右顶点,记过点 A、B、C 的圆为⊙ M,过点 D 作⊙ 的 M 切线 l,求直线 l 的方程; ⑶.过点 A 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点 P、Q,则直线 y PQ 是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明 A 理由。

x y ? 2 ? 1 有公共焦点 F,且椭圆过点 2 a b

2

2

2 2 ,∴ 直线 PQ 过定点 (0, ? ) 3 3

………………12

20. (本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ( t 为常数,且
t ? 0, t ? 1 ) .

(1)求 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? Sn ? an ,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 t 的值;

2 3 ? 1 ,得 a2 ? 8, b2 ? 4 解:(1) F (2, 0) ,则 c=2, 又 2 ? 2 a a ?4

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ? 4an ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式
12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? n ? Tn

x2 y 2 ? ?1 ∴ 所求椭圆方程为 8 4
(2)M (

O ……………………4 B ……………………5

C

x

解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? t ? S1 ? a1 ? 1? ,得 a1 ? 1 .

----------------------------1 分

2 2 2 9 M: , 0) ,⊙ ( x ? ) ? y2 ? 2 2 2

当 n ? 2 时,由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ,即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ,① 得, ?1 ? t ? Sn?1 ? ?tan?1 ? t ,② ①? ② ,得 ?1 ? t ? an ? ?tan ? tan?1 ,即 an ? tan ?1 ,?
??an ? 是等比数列,且公比是 t ,? an ? t n .
an ? t ? n ? 2? , an ?1

直线 l 斜率不存在时, x ? ? 2 直线 l 斜率存在时,设为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

----------------------------5 分

∴d ?

|

2 k ? 2k ? 3 | 6 3 2 ,解得 k ? ? ? 2 12 2 k ?1
……………………10

(2)由(1)知, bn ? ? t n ? ?
2

t ?1 ? t n ? 1? t

? t n ,即 bn ?

t 2n ? t n?1 ? 2t 2n?1 , ------------------7 分 1? t

∴ 直线 l 为 x ? ? 2 或 6x ? 12 y ? 10 3 ? 0 (3)显然,两直线斜率存在, 设 AP: y ? kx ? 2

2 若数列 ?bn ? 为等比数列,则有 b2 ? b1 ? b3 ,

而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 ? 2t ? 1? , b3 ? t 4 2t 2 ? t ? 1 , 故 ?t 3 ? 2t ? 1? ? ? ? 2t 2 ? ? t 4 ? 2t 2 ? t ? 1? ,解得 t ? ? ?
2

?

?

?8k 2 ? 4k 2 , )… 代入椭圆方程,得 (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 0 ,解得点 P( 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

1 , 2

再将 t ? 由
b n ?1 bn

同理得 Q(

8k 2k 2 ? 4 , ) k2 ? 2 k2 ? 2
…………………11

1 1 代入 bn ,得 bn ? ( )n , 2 2 1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列, 2
------------------------------10 分

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ?8k ? (x ? ) 直线 PQ: y ? 2 3k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?t ?

1 . 2 1 1 1 ,知 an ? ( )n ,? cn ? 4( )n ? 1 , 2 2 2

(3)由 t ?
3

1? 1 ?1 ? n 2 2 ? Tn ? 4 ? ? 1 1? 2

? ? ? ?n? 4?n? 4 , 2n

由不等式 设 dn ?

12k 2n ? 7 ? 2n ? 7 恒成立,得 3k ? 恒成立,------------------------------12 分 4 ? n ? Tn 2n

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ,由 dn?1 ? dn ? n?1 ? , ? n 2 2 2n 2n?1
-----------------------------14 分

? 当 n ? 4 时, dn?1 ? dn ,当 n ? 4 时, dn?1 ? dn ,
1 3 , d5 ? ,? d4 ? d5 , 16 32 3 1 . ?3k ? ,? k ? 32 32
而 d4 ?

------------------------

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (Ⅲ)当 a=-1 时,试推断方程 | f ( x) |?

ln x 1 ? 是否有实数解 x 2

4


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