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高中数学《1.6.2三角函数模型的简单应用》课件新人教A版必修资料


§1.6 三角函数模型的简单应用

自 学 导 引(学生用书P33) 通过本节课的学习,了解三角函数模型在现实生活中的一些 应用,学会用三角函数作为模型刻画现实中的一些周期现象, 并能应用三角函数知识解决一些实际问题.

课 前 热 身(学生用书P33) 周期 1.如果某种变化着的现象具有__________ 性,那么它就可以 借助三角函数来描述.

三角函数作为描述现实世界中__________ 现象的一种数学 周期

模型,可以用来研究很多问题,在刻画__________ 变化规律? 周期
预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 散点图 3.我们可以利用搜集到的数据,作出相应的__________, 通过 散点图 函数拟合 而获得具体的函数模型, 观察__________ 并进行__________ 最后利用这个__________ 函数模型 来解决相应的实际问题.

名 师 讲 解 (学生用书P33) 1.三角函数模型的应用 (1)根据图象求出函数解析式. (2)根据函数解析式作出图象. (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型. (4)利用收集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,

从而得到函数模型.

2.解答三角函数应用题的一般步骤 (1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领 悟其中的数字本质. (2)建立三角函数模型:根据“审题”获得的信息转化成抽象 的数学问题,建立三角函数式或三角不等式或三角方程. (3)解决三角函数模型:应用所学的三角知识,解决数学问题.

(4)作出结论:将得到的数学答案,依据实际问题作出相应的结
论.

典 例 剖 析(学生用书P33)
题型一 利用三角函数的图象解决问题

例1:如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,如图所示. (1)求这一天的最大用电量和最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.

分析:利用y=Asin(ωx+φ)+b的图象和性质.

解:(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万度,最小用电 量为30万度. (2)观察图象可知,半个周期为

1 2? ? ?T ? 14 ? 8 ? 6,? T ? 12.? ? ? , 2 T 6 1 1 b ? (50 ? 30) ? 40, A ? ? (50 ? 30) ? 10, 2 2

? y ? 10sin( x ? ? ) ? 40.将x ? 8, y ? 30代入上式解得? ? . 6 6 ? 所求解析式为y ? 10sin( x ? ) ? 40, x ? ?8,14? 6 6

?

?

?

?

规律技巧:确定函数关系式y=Asin(ωx+φ)就是确定其中的 参数A?ω?φ等,从图象的特征上找答案,A主要由最值确定,ω 是由周期确定,周期T通过特殊点观察图象求得,如相邻的最大 值,最小值相差半个周期,φ又由图象上的点求得,确定φ值时, 要注意它的不惟一性,一般求|φ|中最小的φ.

变式训练1:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如下 图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2008)的值等于( )

A. 2
C.0

B.2 ? 2
D.不能确定

解析:本题为图象信息题,由图象知周期为8.由图象的对称 性知,f(1)+f(2)+?+f(8)=0.又2008=251×8.∴原式=0. 答案:C

题型二 三角函数模型在物理学中的应用 例2:如下图所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它 的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始运

动ts后与地面的距离为hm.
(1)求函数h=f(t)的关系式; (2)画出函数h=f(t)的图象.

分析:本题具有周期性,可用函数y=Asin(ωx+φ)+b或 y=Acos(ωx+φ)+b进行模拟.

解:(1)如上图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角 坐标系,设A点的坐标为(x,y),则h=y+0.5.

2? y 设?OO1A ? ? , 则cos? ? ,? y ? ?2cos? ? 2. 2 2? ? ? ? 又? ? t ? t ,? y ? ?2cos t ? 2,? h ? ?2cos t ? 2.5. 12 6 6 6 (2)函数h ? ?2cos

?
6

t ? 2.5的图象如上图所示.

规律技巧:根据题目的特点,恰当的建立坐标系,可使问题简化, 作图时如没有要求,可作出示意图.

变式训练2:如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小 球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式 ? ?? h ? 2 sin 是 ? t ? ? , t∈[0,+∞).画出这个函数在长度为一个 ? 4? 周期的闭区间上的简图,回答下列问题.

(1)小球开始振动的位置在哪里? (2)小球最高?最低点与平衡位置的距离分别为多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)? (4)小球每1 s能往复振动多少次?

解:一个周期长度的图象如下图.

(1)令t ? 0, 得h ? 2,即静止时在h ? 2处. (2)最高点, 最低点与平衡位置的距离都是2 cm. 2? (3)由图象知, 往复振动一次需2? s(即T ? ? 2? ). 1 1 ? 4 ? 1 s往复振动 次. 2?

题型三 求模拟函数解析式 例3:受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮 时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深 度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是该 港口在某季节每天水深的数据:
t(h) 0 3 6
9.9

9
7.0

12
10.0

15

18

21
7.0

24
10.0

y(m) 10.0 13.0

13.0 10.1

经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asinωt+k的 图象.

(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m或5 m以 上认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃 水深度(船底离水面距离)为6.5 m.如果该船在同一天内安全 进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的 时间)? 分析:可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图,再结合 几点关键数据求出解析式,最后解决实际问题.

解:(1)根据数据画出散点图,如下图,则周期T=12,振幅

? A=3,k=10,∴y=3sin t+10(0≤t≤24). 6

(2)由题意, 该船进出港时, 水深应不小于5 ? 6.5 ? 11.5 ? m ? , 1 即3sin t ? 10≥11.5, sin t≥ , 6 6 2 ? ? 5 2k? ? ≤ t≤2k? ? ? (k ? Z), 0≤t≤24, 6 6 6
∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z).在同一天内取k=0或1,则1≤t≤5

?

?

或13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨1时进港,最晚下午17时出港,在 港口最多停留16小时.

规律技巧:许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模 拟函数,然后就可以利用函数来解决一些问题.

变式训练3:已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24, 单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:

t ( 时) 0 y(米) 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b,

根据以上数据,函数的解析式为______.

1.5 ? 0.5 1 由图知, b ? 1, A ? ? , T ? 12, 2 2 2? 2? ? 1 ? ?? ? ? ? ,? y ? cos( t ? ? ) ? 1, 把点 ? 0,1.5 ? 代入, T 12 6 2 6 1 ? 得cos? ? 1,?? ? 0,? y ? cos t ? 1为所求. 2 6

1 ? 答案 : y ? cos t ? 1 2 6

易 错 探 究(学生用书P35)

例4 : 求当函数y ? ?cos2x ? acosx ?

a 1 ? 的最大值为1时a的值. 2 2

2 a 1 a a a 1 2 错解 : y ? ?cos x ? acosx ? ? ? ?(cosx ? )2 ? ? ? , 2 2 2 4 2 2 a2 a 1 a2 a 1 ? y的最大值为 ? ? ,由题意得, ? ? ? 1, 4 2 2 4 2 2 即a 2 ? 2a ? 6 ? 0, 解得a ? 1 ? 7.

错因分析 : 错解中忽略了cosx的值域是 ? ?1,1? , a a a 当 ? ? ?1,1?时cosx ? 成立,当 ? ?1,1?时, 2 2 2 a2 a 1 则最大值不是 ? ? . 4 2 2 本题应对a进行分类讨论求解.
2 a 1 a a a 1 2 2 正解 : y ? ?cos x ? acosx ? ? ? ?(cosx ? ) ? ? ? . 2 2 2 4 2 2 a 2 a2 a 1 令t ? cosx, 则t ? ? ?1,1? ,? y ? ?(t ? ) ? ? ? . 2 4 2 2

a 3 3 ①当 ? ?1,即a ? ?2时, t ? ?1, y有最大值为 ? a ? ? 1, 2 2 2 5 ? a ? ? ? ?2(舍去). 3 a a2 a 1 ②当 ? 1≤ ≤1, 即 ? 2≤a≤2时, y有最大值为 ? ? ? 1, 2 4 2 2 ? a ? 1 ? 7或a ? 1 ? 7 (舍去). a a 3 ③当 ? 1,即a ? 2时, t ? 1, y有最大值为 ? ? 1,? a ? 5. 2 2 2 综上可知, a ? 1 ? 7或a ? 5.

技 能 演 练(学生用书P35) 基础强化

1.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是(

)

解析:由y=x+sin|x|知是非奇非偶函数,在[0,π]上是增函数,故 选C.

答案:C

2.如下图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s 一次所需的时间为( A.2π s C.0.5 s )

? cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(2πt 那么单摆来回摆动 ? ), 6
B.π s D.1 s

解析 : 依题意是求函数s ? 6sin(2? t ? )的周期, 6 2? T? ? 1.故选D. 2?

?

答案:D

3.要得到y=tan(2x- ? )的图象,只要将y=tan2x的图象(
3

)

? A.向左平移 个单位 3 ? B.向右平移 个单位 3

? C.向左平移 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6

? ? 解析:∵y=tan(2x- )=tan2(x),∴将y=tan2x的图象向 6? 3 ? 右平移 个单位即得y=tan(2x)的图象.故选D. 3 6
答案:D

4.若A?B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinBcosA)在( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

解析:∵A?B是锐角三角形的两个内角, ∴A+B>90°. ∴B>90°-A. ∴cosB<sinA,sinB>cosA. 答案:B

5.如下图,表示电流强度I与时间t的关系为 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解 析式为(
? A.I=300sin(50πt+ ) 3 ? B.I=300sin(50πt) 3

)

C.I=300sin(100πt+

? ) 3

? D.I=300sin(100πt) 3

1 1 1 解析 : 分析图象可知, A ? 300, T ? 2( ? )? , 150 300 50 2? 1 ?? ? ? 100? .又当t ? 时, I ? 0.故选C. T 150
答案:C

6.函数y=-xcosx的部分图象是(

)

解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所 以排除A?C.当x∈ (0, ) 时,y=-xcosx<0,排除B. 2 答案:D

?

7.在匀强磁场中,匀速转动的线圈所产生的电流强度I是时间t

1 ? 的正弦函数,关系式为 I ? 3sin( t ? ), 2 6 则它的最大电流和周期分别为________.
答案:3,4π

8.如下图是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动时间, 纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是 __________.

解析 : 分析图象可知, A ? 2, T ? 2 ? 0.5 ? 0.1? ? 0.8. 2? 5 5 ?? ? ? ? .故可设函数解析式为y ? 2 sin( ? t ? ? ), T 2 2 代入点 ? 0.1, 2 ? 得sin ( ? ? ) ? 1,?? ? . 4 4 5 ? 故解析式为y ? 2sin ( ? t ? ). 2 4

?

?

5 ? 答案 : y ? 2sin( ? t ? ) 2 4

能力提升 9.心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值?最小值分 别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张

压,读数120/80 mm Hg为标准值.设某人的血压满足函数关系
式P(t)=115+25 sin(160πt),其中P(t)为血压(mm Hg),t为时间 (min),试回答下列问题:

(1)求函数P(t)的周期; (2)此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.(健康 成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mm Hg和60~90 mm Hg).

2? 1 解 : (1)根据公式T ? , 可得T ? ? . ? 160? 80 1 (2)根据公式f ? , 可得f ? 80, 即此人的心率是80次 / 分钟. T
(3)函数P(t)=115+25 sin(160πt)的最大值是115+25=140,最 小值是115-25=90,即此人的血压为140/90 mm Hg,与标准值 相比较偏高一点.

2?

品 味 高 考(学生用书P36) 10.(2009·陕西)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 ? A>0,ω>0,0<φ ? ) 的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之 2 2? ? 间的距离为 , 且图象上一个最低点为 M ( , ?2). 2 3 (1)求f(x)的解析式;

? ? (2)当x∈ [ , ] 时,求f(x)的值域. 12 2

2? 解 : ?1?由最低点为M( , ?2)得A ? 2. 3 T ? 由x轴上相邻两个交点之间的距离为 得 ? , 2 2 2 2? 2? 即T ? ? ,?? ? ? ? 2. T ? 2? 2? 由点M ( , ?2)在函数的图象上得2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 3 3 4? 4? ? 即sin ( ? ? ) ? ?1, 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z , 3 3 2 11? ? ? ? ?? ? 2k? ? .又? ? (0, ),?? ? .故f ? x ? ? 2sin (2x ? ). 6 2 6 6

?

(2) ? x ? [ , ],? 2 x ? ? [ , ], 当2x ? ? , 12 2 6 3 6 6 2 ? ? 7? 即x ? 时, f ? x ? 取最大值2;当2x ? ? , 6 6 6 即x ?

? ?

?

? 7?

?

?

?
2

时, f ? x ? 取最小值 ? 1.故f ? x ?的值域为? ?1, 2?.


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