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高一数学交并集思想在实际中的应用

交、并集思想在实际中的应用 新教材高中数学(必修 1) (苏教版)在课程标准中提到:①理解两个集合的并集与交 集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;②能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体 会直观图示对理解抽象概念的作用。交、并集是集合的运算。准确把握交、并集思想;恰当 运用交、 并集的运算方法是培养我们从日常生活中的问题抽取到用数学符号表示的抽象、 归 纳的思维能力,也是培养我们从感性到理性的认识能力。本文就交、并集思想在实际中的应 用作些探讨,供同行参考。 一. 准确理解交、并集的定义从而直接解题 例 1.已知集合 A ? x 2 ? x ? 5 , B ? x 3 ? x ? 7 ,求 A ? B , A ? B 分析:利用数行结合的思想,将满足条件的集合在数轴上一一表示出来,从而求集合的交集 与并集。 解:利用数轴工具,画出集合 A、B 的示意图。如 图 : 即 可 以 得 到 A? B ? x3 ? x ? 5 , ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 5 7 A ? B ? ?x 2 ? x ? 7? 例 2. (06 江苏高考) 设 A, B, C 为三个集合, A ? B ? B ? C 。 则一定有: (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ? 解:根据交、并集的定义与 Venn 图,选择 A 评:这种利用数轴或 Venn 图等数形结合的方式,既简单又直观,是解决这类问题的基本方 法。 二. 利用交、并集的性质确定参数的取值或取值范围 2 2 2 例 3. 设 A ? x x ? 4x ? 0 , 函数 B ? x x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 , 求使 (1)A ? B ? B ? ? ? ? 的实数 a 的取值范围。 (2)使 A ? B ? B 的实数 a 的值. 分析:交、并集有如下性质:①若 A ? B ? B ,则 B ? A ②若 A ? B ? B ,则 A ? B 等 解 :( 1 ) 由 A ? B ? B , 得 B ? A , ∵ A ? ?0,?4? , 故 : ① 当 B ? ? 时 , ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 , 解 得 a ? ?1 ; ② 当 B ? ?0? 或 B ? ?? 4? 时 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ,此时 B ? ?0? ,满足 B ? A ;③当 B ? ?0,?4? ?? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ? 时当 ?? 2(a ? 1) ? ?4 ,解得 a ? 1 ?a 2 ? 1 ? 0 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?1 ( 2 ) 由 A ? B ? B , 得 A ? B , ∵ A ? ?0,?4? , 故 B ? ?0,?4? , 即 1 ?? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ? ,解得 a ? 1 ?? 2(a ? 1) ? ?4 ?a 2 ? 1 ? 0 ? 评:利用交、并集的性质,把交、并集的运算转化为集合与集合之间的子集关系的运算。 三.利用交、并集的的思想解决实际生活中的问题 例 2.高一(1)班学生期终考试成绩表明: (1)36 人数学成绩不低于 80 分; (2)20 人物 理成绩不低于 80 分; (3)15 人的人数学、物理成绩不低于 80 分.问:有多少人这两科成绩 至少有一科不低于 80 分? 分析:利用 Venn 图表示数学、物理不低于 80 分的人数的直观图,实质上是求 A ? B 的元素 的个数,从而利用方程的思想解出题中的问题. 解:设数学、物理不低于 80 分的人数的集合分别是 A、B,并用二个圆分别表示,则重叠的 部分表示同时不低于 80 分的人数的集合。则 A 有 36 个元素,B 有 20 个元素, A ? B 有 15 个元素,由 A ? B 定义知, A ? B 的元素有三 部分: (1) 属于 A 但不属于 B 的元素有(36-15)个; (2) 属于 B 但不属于 A 的元素有(20-15)个; (3) 属于 A,B 的公共元素有 15 个; 故 A ? B 的有(36-15)+(20-15)+15=41(个元素). A 36-15 15 B 20-15 评:先转化为集合语言,再用 Venn 图的直观性是解决实际问题中交、并集有关知识的重要 手段。 四.交、并集性质的拓宽应用 例 4.某班共有学生 50 名,其中参加数学课外小组的学生有 22 名,参加物理课外小组的学 生有 18 名,他们中同时参加数学、物理课外小组的学生有 13 人.问至少参加数学与物理两 个课外小组中一个的学生有多少名?数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名? 分析:交、并集中元素个数有如下性质:用 card(P) 表示 P 中元素的个数,则有:① card( A ? B )=card(A)+ card(B)- card( A ? B ) ②card( Cs A ? Cs B )=card( S)-card(A)- card(B)+card( A ? B ) A? B?C ③ card( )=card(A)+ card( A ? B )-card( B ? C )-card( A ? C )+card( A ? B ? C ) card(B)+card(C)- 解:设全集 U={该班学生},A={该班参加数学课外小组的学生},B={该班参加物理课外小组 的学生}.U,A,B 集合中的元素个数分别为 card(U), card(A), card(B),则有 card(U)= 50, card(A)= 22,card(B)=18,card( A ? B )=13,至少参加数学与物理两个课外小组

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