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2015届高考数学一轮复习讲义:7.6 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直_图文

一轮复习讲义 立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 要点梳理 忆一忆知识要点 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点 A 和一个向量 a,再任给一个实数 t,以 A → 为起点作向量AP=ta,则此向量方程叫做直线 l 的参数方 程.向量 a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存 → → → 在唯一的实数 t,满足等式OP=(1-t)OA+tOB,叫做空间 直线的向量参数方程. 要点梳理 忆一忆知识要点 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? v1∥v2 . (2)设直线 l 的方向向量为 v, 与平面 α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α? 存在两个实数 x,y,使 v= xv1+yv2 . (3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α? v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1, u2, 则 α∥β? u1 ∥u2 . 要点梳理 忆一忆知识要点 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2 v2=0 . ? v1 · (2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α ? v∥ u . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β? u1⊥u2 u2=0 ? u1 · . [难点正本 疑点清源] 1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量,它有无数 多个,平面的法向量也有无数个. 2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是 共线向量,但要注意说明这两条直线不共线. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线 不在平面内. ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线, 也要说明直线不在平面内. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的 两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内. 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN ∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、 DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1, 则 ? ?1 ? 1? M?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0,0,0), ? ? ? ? A1(1,0,1),B(1,1,0), 1 1? → ? 于是MN=?2,0,2?, ? ? 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). ? ?x+z=0, → → 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,得? ? ?x+y=0. 取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). ?1 1? → 又MN· n=?2,0,2?· (1,-1,-1)=0, ? ? → ∴MN⊥n,又 MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. → → → 1 → 1→ 方法二 MN=C1N-C1M= C1B1- C1C 2 2 1 → 1→ → = (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 → → ∴MN∥DA1,又∵MN 与 DA1 不共线,∴MN∥DA1, 又∵MN?平面 A1BD,A1D?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 探究提高 用向量证明线面平行的方法: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线 性表示; (4)本题易错点为:只证明 MN∥A1D,而忽视 MN?平面 A1BD. 变式训练 1 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点. 求证:PB∥平面 EFG. 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形, ∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0), → FG=(1,1,-1), → → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ? t = 2, ? ∴?t-s=0, ?-t=-2, ? 解得 s=t=2. → → → ∴PB=2FE+2FG, → → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB、FE与FG共面. ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. 利用空间向量证明垂直问题 例 2 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE. 建立适当的空间直角坐标系,利用向量坐标证明. 证明 ∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图 所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1). (1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. ?1 ? ?1 3 3 1? ? ? ? ∴C? , ,0?,E? , , ? . 2 4 2? ?2 ? ?4 ? 设 D(0,y,0),由

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