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2016届高考数学大一轮复习 第6章 第1节 不等关系与不等式课件 文 新人教版


第六章 第一节

不等式

不等关系与不等式

考纲要求:1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2. 了解不等式(组)的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用

[基础真题体验] 考查角度[ 不等式的性质及应用] 1. (2014· 四川高考)若 a>b>0, c<d<0, 则一定有( a b A. > d c a b C. > c d a b B. < d c a b D. < c d )

a 【解析】 法一 令 a=3,b=2,c=-3,d=-2,则 c b =-1, =-1,排除选项 C,D; d a 3 b 2 a b 又 =- , =- ,所以 < ,所以选项 A 错误,选项 d 2 c 3 d c B 正确.故选 B.

1 1 法二 因为 c<d<0, 所以-c>-d>0, 所以 > > -d -c 0. a b a b 又 a>b>0,所以 > ,所以 < .故选 B. d c -d -c

【答案】 B

2.(2013· 北京高考)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc C.a2>b2 1 1 B. < a b D.a3>b3

)

【解析】 A 项,c<0 时,由 a>b 不能得到 ac>bc,故 不正确; B 项,当 a>0,b<0(如 a=1,b=-2)时,由 a>b 不能得 1 1 到 < ,故不正确; a b

C 项, 由 a2-b2=(a+b)(a-b)及 a>b 可知当 a+b<0 时(如 a=-2,b=-3 或 a=2,b=-3)均不能得到 a2>b2,故不正 确; D 项, a -b =(a-b)(a +ab+b
? b? ? ?2 3 2 因为?a+2? + b >0,所以可由 4 ? ?
3 3 2 2

?? ? b? ?? ?2 3 2? )=(a-b)· ??a+2? +4b ?, ? ?? ?

a>b 知 a3-b3>0,即 a3>b3,

故正确.

【答案】 D

3. (2013· 天津高考)设 a, b∈R, 则“(a-b)· a2<0”是“a <b”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

【解析】 分别判断由(a-b)· a2<0 是否能得出 a<b 成 立和由 a<b 是否能得出(a-b)· a2<0 成立. 由不等式的性质知(a-b)· a2<0 成立,则 a<b 成立;而 当 a=0,a<b 成立时,(a-b)· a2<0 不成立,所以(a-b)· a2 <0 是 a<b 的充分而不必要条件.

【答案】 A

[ 命题规律预测] 从近几年高考试题看, 不等式的性质及应用是高 命题 规律 考热点,题目以选择题为主,难度中低档,主要 考查利用不等式的性质判断命题真假及判断充 分必要条件.解答题中一般与其他知识综合命 题,难度稍高. 考向 预测 2016 年高考命题趋势不会有大的变化,不 预测 等关系、不等式的性质及应用仍是必考内容.

考向一应用不等式表示不等关系 [典例剖析] 【例 1】 (1)某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元,上述不等关系写成不等式为________. (2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使 用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元 的 A 型汽车和 B 型汽车.根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

【思路点拨】 (1)“不低于 300 元”的含义为“大于等 于 300 元”. (2)“至少”及“不超过”的含义分别为“大于等于”和 “小于等于”.

【解析】 (1)设最低生活保障金为 x 元,则 x≥300.
【答案】 x≥300 (2)设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,则 x、 ? ?40x+90y≤1 000, ?x≥5, y 满足? ?y≥6, * ? x , y ∈ N . ?

用不等式(组)表示不等关系的解题策略: (1)分析题目中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量,设为 x,再用 x 表示 其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组). (4)考虑不等式组中变量自身的范围,加以标注.

[对点练习] 某人有一幢楼房,室内面积共 180 m2,拟分隔成两类 房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18 m2,可住游客 5 人,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15 m2, 可住游客 3 人,每名游客每天住宿费 50 元;装修大房间每间 需 1 000 元, 装修小房间每间需 600 元. 如果他只能筹款 8 000 元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式.

【解】 设装修大、小客房分别有 x 间、y 间,则 ? ?18x+15y≤180, ?1 000x+600y≤8 000, ? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N, ? ?6x+5y≤60, ?5x+3y≤40, 即? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

考向二不等式的性质及应用 [典例剖析] 1 1 【例 2】 若 < <0,给出下列不等式: a b 1 1 1 1 ① < ; ②|a|+b>0; ③a- >b- ; ④ln a2>ln b2. a b a+b ab 其中正确的不等式是( A.①④ B.②③ ) C.①③ D.②④

【思路点拨】 法一:利用不等式的性质一一判断. 法二:利用特殊值法进行排除.

1 1 【解析】 法一 由 < <0,可知 b<a<0. a b 1 1 ①中,因为 a+b<0,ab>0,所以 <0, >0. ab a+b 1 1 故 < ,即①正确. a+b ab ②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0. 故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误. 1 1 1 1 ③中,因为 b<a<0,又 < <0,所以 a- >b- ,故 a b a b ③正确.

④中, 因为 b<a<0, 根据 y=x2 在(-∞, 0)上为减函数, 可得 b2>a2>0,而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数, 所以 ln b2>ln a2,故④错误. 由以上分析,知①③正确.

1 1 法二 因为 < <0,故可取 a=-1,b=-2. a b 显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误; 因为 ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以 ④错误. 综上所述,可排除 A,B,D.

【答案】 C

判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反 例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反 例构成方式可从以下几个方面思考: (1)不等式两边都乘以一个代数式时 , 考察所乘的代数式 是正数、负数或 0; (2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后 不等号方向不一定保持不变; (3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数 后不等号方向不变等.

[对点练习] 若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:①ad>bc; a b ② + <0;③a-c>b-d;④a· (d-c)>b(d-c)中能成立的 d c 命题为________.

【解析】 ∵a>0>b,c<d<0, ∴ad<0,bc>0,则 ad<bc,①错误. 由 a>0>b>-a,知 a>-b>0, 又-c>-d>0, 因此 a· (-c)>(-b)· (-d),即 ac+bd<0, a b ac+bd ∴ + = <0,故②正确. d c cd 显然 a-c>b-d,∴③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴④正确.

【答案】 ②③④

考向三比较大小 [典例剖析] 【例 3】 (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+ a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N ) B.M>N D.不确定 )

ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a= ,b= ,c= ,则( 3 4 5 A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c

【思路点拨】 (1)用作差法比较大小. (2)用作商法比较大小,或利用单调性法比较.

【解析】

(1)M - N= a1a2 - (a1 + a2 - 1)= a1a2 - a1 - a2

+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0, ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0,∴M>N. b 3ln 4 (2)法一 易知 a,b,c 都是正数, = =log8164<1, a 4ln 3 b 5ln 4 所以 a>b; = =log6251 024>1,所以 b>c. c 4ln 5 即 c<b<a.

法二

1-ln x ln x 对于函数 y=f(x)= ,y′= ,易知当 x x x2

>e 时,函数 f(x)单调递减.因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4) >f(5),即 c<b<a.

【答案】 (1)B (2)B

比较两个数大小的常用方法: (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得 出结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用 配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.

(2)作商法:即判断商与 1 的关系,得出结论,要特别注 意当商与 1 的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判 断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可 采用特值验证法比较大小.

[对点练习] 1 1 若 A= 2+3 与 B= +2, 则 A, B 的大小关系是( x x A.A>B C.A≥B B.A<B D.不确定 )

1 1 【解析】 因为 A= 2+3,B= +2,则 x x
?1 1? 1 1 ? ?2 3 3 A-B= 2- +1=? x-2? + ≥ . x x 4 4 ? ?

∴A-B>0,即 A>B.
【答案】 A

思想方法 12 特殊替代一般——巧用特殊值法判断不等 式问题 本节中常常遇到判断不等式正误问题,此类问题一般以 客观题呈现,一题中有多个不等关系,其解决通法是应用不 等式的性质变形判断,但是运算量很大,又极易出错.如果 采用特殊值法验证,就会变得简化多了,而且提高了准确率.

[典例剖析] 【典例】 设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 ①若 a -b =1, 则 a-b<1; ②若 - =1, 则 a-b<1; b a
2 2

③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|< 1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

【解析】

①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b 为正

实数,若 a-b≥1. 则必有 a+b>1,不合题意,故①正确. 1 1 a-b ②中, - = =1,只需 a-b=ab 即可. b a ab 2 4 如取 a=2,b= 满足上式,但 a-b= >1,故②错. 3 3 ③中取 a=9,b=4,则| 9- 4|=1,而|9-4|=5>1, 故③错;

④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)| =|a-b|(a2+ab+b2)=1. 若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必有 a2+ab+b2>1, 不合题意,故④正确.

【答案】 ①④

[对点练习] 已知 a>b>0,给出下列四个不等式: ①a2>b2;②2a>2b-1;③ a-b> a- b;④a3+b3> 2a2b. 其中一定成立的不等式为________.

【解析】 由 a>b>0 可得 a2>b2,①正确;由 a>b>0 可得 a>b>-1,而函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数,∴f(a)> f(b-1),即 2a>2b-1,②正确;∵a>b>0,∴ a> b. ∴( a-b)2-( a- b)2=2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b, ③正确; 若 a=3, b=2, 则 a3+b3=35,2a2b =36,a3+b3<2a2b,④错误.
【答案】 ①②③

课堂达标训练 1.设 b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( A.a-c<b-d C.a+c>b+d B.ac<bd D.a+d>b+c )

【解析】 ∵a>b,c>d,∴a+c>b+d. 【答案】 C

2.若 a>1>b,下列不等式中不一定成立的是( A.a-b>1-b C.a-1>1-b B.a-1>b-1 D.1-a>b-a

)

【解析】 >b,

∵a>1,∴a-b>1-b,A 选项成立;∵a

∴a-1>b-1,B 选项成立;∵1>b,∴1-a>b-a,D 选项成立;只有 C 不一定成立.

【答案】 C

a>b?ac>bc? ? a b ? 3.下面的推理过程 ?ac>bd? > ,其 d c ? c>d?bc>bd? 中错误之处的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

【解析】

“a>b?ac>bc”错误,“c>d?bc>bd”

a b 错误,“ac>bd? > ”错误. d c

【答案】 D

1 4. 与 3+1 的大小关系为________. 2-1

【解析】 3<0,

1 -( 3+1)=( 2+1)-( 3+1)= 2- 2-1

1 ∴ < 3+1. 2-1
【答案】 1 < 3+1 2-1


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