当前位置:首页 >> 六年级数学 >>

版高中数学第三章三角恒等变换311两角差的余弦公式学业分层测评新人教A版必修40724249

3.1.1 两角差的余弦公式 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.cos 78°cos 18°+sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C. 3 2 D. 3 3 1 【解析】 原式=cos(78°-18°)=cos 60°=2. 【答案】 A 2.已知 sin α =13,α 是第二象限角,则 cos(α -60°)为( ) A.- 3-2 2 2 B. 3-2 6 2 C. 3+2 6 2 D.- 3+2 6 2 【解析】 因为 sin α =13,α 是第二象限角,所以 cos α =-2 3 2,故 cos(α -60°) =cos α cos 60°+sin α sin 60°=???-2 3 2???×12+13× 3 -2 2= 2+ 6 3 . 【答案】 B 3.若12sin x+ 23cos x=cos(x+φ ),则 φ 的一个可能值是( ) A.-π6 B.-π3 C.π6 D.π3 【解析】 对比公式特征知,cos φ = 23, sin φ =-12,故只有-π6 合适. 【答案】 A 4.若 sin α 3 =5,α ∈???π2 ,π ???,则 cos???π4 -α ???的值为( ) 1 A.- 2 5 B.- 2 10 C.-7102 D.-7 5 2 【解析】 因为 sin α 3 =5,α ∈???π2 ,π ???, 所以 cos α =- 1-sin2 α =- 1-295=-45, 所以 cos???π4 -α ???=cosπ4 cos α +sin π 4 sin α , = 22×???-45???+ 23 2 2 ×5=- 10 . 【答案】 B 5.若 sin α sin β =1,则 cos(α -β )的值为( ) 【导学号:00680068】 A.0 B.1 C.±1 D.-1 【 解 析 】 因 为 sin α sin β = 1 , - 1≤sin α ≤1 , - 1≤sin β ≤1 , 所 以 ??sin α =1, ? ??sin β =1 或 者 ??sin ? α =-1, ??sin β =-1, 解 得 ??cos ? α =0, ??cos β =0, 于 是 cos(α - β ) = cos α cos β +sin α sin β =1. 【答案】 B 二、填空题 6.已知 cos???π3 -α ???=18,则 cos α + 3sin α 的值为________. 【解析】 因为 cos???π3 -α ???=cosπ3 cos α +sin π 3 sin α =12cos α + 23sin α =18, 所以 cos α + 3sin α =14. 1 【答案】 4 7.在△ABC 中,sin A=45,cos B=-1123,则 cos(A-B)=________. 【解析】 因为 cos B=-1132,且 0<B<π , 所以π2 <B<π , 2 所以 sin B= 1-cos2 B= 1-???-1123???2=153,且 0<A<π2 , 所以 cos A= 1-sin2 A= 1-???54???2=35, 所以 cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B, =35×???-1123???+45×153=-1665. 【答案】 -6156 三、解答题 8.已知 sin α +sin β +sin γ =0,cos α +cos β +cos γ =0,求证:cos(α - β )=-12. 【证明】 由 sin α +sin β +sin γ =0, cos α +cos β +cos γ =0 得 (sin α + sin β )2=(-sin γ )2,① (cos α +cos β )2=(-cos γ )2.② ①+②得,2+2(cos α cos β +sin α sin β )=1, 即 2+2cos(α -β )=1,所以 cos(α -β )=-12. 9.已知 tan α =4 3,cos(α +β )=-1141,α ,β 均为锐角,求 cos β 的值. 【导 学号:70512042】 【解】 ∵α ∈???0,π2 ???,tan α =4 3, ∴sin α =4 3cos α ,① sin2α +cos2α =1,② 由①②得 sin α =4 7 3,cos α =17. ∵α +β ∈(0,π ), cos(α +β )=-1141, ∴sin(α +β )=5 14 3. ∴cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 3 =???-1114???×17+5 14 3×4 7 3=12. ∴cos β =12. [能力提升] 1.若 0<α <π2 ,-π2 <β <0,cos???π4 +α ???=13,cos???π4 -β2 ???= 33,则 cos???α +β2 ???=( ) A. 3 3 B.- 3 3 C.5 9 3 D.- 6 9 【 解 析 】 cos ???α +β2 ??? = cos ??????π4 +α ???-???π4 -β2 ?????? = cos ???π4 +α ??? cos ???π4 -β2 ??? + sin???π4 +α ???sin???π4 -β2 ???,而π4 +α ∈???π4 ,34π ???,π4 -β2 ∈???π4 ,π2 ???, 因此 sin???π4 +α ???=