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2014年高中数学 3.2.2函数模型的应用实例同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1

2014 年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例同步测试(含解析, 含尖子生题库)新人教 A 版必修 1

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订! ) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.某天 0 时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基 本正常(正常体温约为 37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么 发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0 时至 24 时)体温变化情况的图 象是( )

解析: 观察选项 A 中的图象,体温逐渐降低,不符合题意;选项 B 中的图象不能反 映“下午他的体温又开始上升”这一过程;选项 D 中的图象不能体现“下午他的体温又开 始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程. 答案: C 2.已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,则汽车离开 A 地的距离 x 关于时 间 t(小时)的函数解析式是( ) A.x=60t B.x=60t+50t
?60t,?0≤t≤2.5? ? C.x=? ? ?150-50t?t>3.5?

60t,?0≤t≤2.5? ? ? D.x=?150,?2.5<t≤3.5? ? ?150-50?t-3.5??3.5<t≤6.5?

解析: 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函数, 选 D. 答案: D 3.某债券市场发行三种债券,A 种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;B 种面 值为 50 元,半年到期本息和为 51.4 元;C 种面值为 100 元,但买入价为 97 元,一年到期 本息和为 100 元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为( ) A.B,A,C B.A,C,B C.A,B,C D.C,A,B 103-100 3 解析: 三者的增长率分别为 A: = ; 100 100 51.4-50 2.8 100-97 3 B: = ;C: = . 50 100 97 97 ∴B<A<C. 答案: A 4.今有一组数据如下: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是
1

(

) A.v=log2t t2-1 C.v= 2 1 B.v=log t 2 D.v=2t-2

1 解析: 取 t=1.99≈2,代入 A 得 v=log22=1≠1.5;代入 B 得 v=log 2=-1≠1.5; 2 22-1 代入 C 得 v= =1.5;代入 D 得 v=2×2-2=2≠1.5.故选 C. 2 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1, 乙: y=3x-1.若又测得(x, y)的一组对应值为(3,10.2), 则应选用________作为拟合模型较好. 解析: 描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较可知甲函数拟合效 果较好. 答案: 甲 6.已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a· (0.5)x+b,现已知该厂 今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品产量为________. ? ? ?0.5?1+b, ?1=a· ?a=-2, ? 解析: 由 ?? 2 ? ? ?0.5? +b ?1.5=a· ?b=2 x ?y=-2· (0.5) +2, 所以 3 月份产量为 y=-2· (0.5)3+2=1.75 万件. 答案: 1.75 万件 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 1 ? ?400x-2x2,?0≤x≤400? 元,已知总收益满足函数:R(x)=?

?80 000,?x>400? ?

其中 x 是仪器的月产量. ( 1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利 润) 解析: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而 1 ? ?-2x2+300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=?

?60 000-100x,x>400. ?

(2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000. 2 ∴当 x=300 时,有最大值为 25 000; 当 x>400 时, f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000, 即每月生产 300 台仪器时 ,利润最 大,最大利润为 25 000 元. 8.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时, 所用时间是 10 年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 , 4 2 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 2
2

(1)求每年砍伐面积的百分比; (2) 到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解析: (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1), 1 1 则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1 1 ? 解得 x=1-? ?2?10. 2 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原 来的 ,则 a(1-x)m= a , 2 2 1? m ?1?1 m 1 即? ?2?10=?2?2,10=2,解得 m=5, 故到今年为止,该森林已砍伐了 5 年. 尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)某地区大力加强对环境 污染的治理力度,使地区环境污染指数逐年下降,自 2000 年开始,连续 6 年检测得到的数据如下表: 年份 2000 年 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年 2005 年 环境污 2.000 1.59 5 1.278 1.024 0.819 0.655 染指数 根据这些数据,建立适当的函数模型,预测 2011 年的环境污染指数.(精确到 0.1)(参考 数据:0.83=0.512,0.84=0.410,0.85=0.328,0.810=0.107) 解析: 设年份为自变量 x,且 2000 年为 0,2001 年为 1,?,2005 年为 5,环境污染 指数为 y.作出年份 x 与环境污染指数 y 的散点图(略). 由散点图可设函数模型为 y=a· bx. 取(0,2.000),(5,0.655)代入得 ? ? b0, ?2=a· ?a=2, ? ? ∴ ?0.655=a· ?b≈0.8. b5, ? ? ∴函数模型为 y=2×0.8x. 令 x=1 1,得 y=2×0.811≈0.2. 故预测 2011 年该地区的环境污染指 数约为 0.2.

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