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河南省商丘市第一高级中学2016届高三数学考前押题考试试题 理


商丘市第一高级中学 2016 届高考考前押题考试试卷 理科数学
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上(答题注意 事项见答题卡) ,在本试卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 R 是实数集, M ? {x | A.(1,2)

2 <1}, N ? { y | y ? x

x ? 1} ,则 N ? CR M ? (
C. ? D. [1,2] )

)

B. [0,2]

a+2i 2.已知 =b-i, (a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( i A.-1 B.1
2

C.2
?2 x

D.3 )

3. 已知 a>l, f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是( C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

B. ?2 ? x ? 1

4.O 为平面上的一个定点,A、B、C 是该平面上不共线的三点,若 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ABC 是 ( ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 B.以 BC 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形 5. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是 ( )

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2 )

6. 已知函数 f ? x ? ?

1 ,则y ? f ? x ? 的图象大致为( x ? ln x ?1

1

?? ? ? 7.已知函数 y ? 3 sin ?x (? ? 0) 的周期是 ? ,将函数 y ? 3 cos? ?x ? ? (? ? 0) 的图象沿 x 轴向右平移 个 2? 8 ? 单位,得到函数 y ? f ?x ? 的图象,则函数 f ? x ? ? ( )

? 4? 1 4 8.正项等比数列 ?a n ? 中,存在两项 am , an 使得 aman ? 4a1 ,且 a6 ? a5 ? 2a4 ,则 ? 的 m n
最小值是( A. ) B.2 C.

A. 3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 8?

B. 3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?

C. ?3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 8?

D. ?3sin ? 2 x ?

? ?

??

3 2

7 3

D.

25 6

? x ? 2 y ? ?2 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 2 y ? 3 ,若 x 2 ? 4 y 2 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A.

)

1 2

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

2? x ? 1( x ? 0) 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围为 10..函数 f ( x) ? ? ? ? f ( x ? 1) ( x ? 0)

( ) A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞) 11 . 已 知 函 数 f ( x) ( x ? R) 是 偶 函 数 , 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 x ? [ 0 , 2]时 , f ( x) ? 1? x , 则 方 程

f ( x) ?
A.8

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是 1? | x |
B.9

( C.10

) D.11

12.设 f ( x ) 的定义域为 D,若 f ( x ) 满足条件:① f ( x ) 是 D 上的单调函数;②存在 ? a, b? ? D, 使 f ( x ) 在

? a, b? 上的值域为 ? a, b? ,则称 f ( x) 为闭函数。现已知 f ( x) ?
围是 ( A. )

2x ?1 ? k 为闭函数,则实数 k 的取值范

?1 ? k ? ?

1 2

B. k ? 1

C.

1 ? k ?1 2

D. k ? ?1

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 13.设 x、 a 1 、 a 2 、y 成等差数列,x、 b1 、 b 2 、y 成等比数列,则
3 3 3

(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围是______. b1b2
3

14.观察下列等式 2 ? 3 ? 5,3 ? 7 ? 9 ? 11, 4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,5 ? 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29,?,若类 似上面各式方法将 m 分拆得到的等式右边最后一个数是 109 ,则正整数 m 等于______.. 15. 已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?
3

8 (m ? 0), l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左到右相交于点 2m ? 1

和 B D A, B , L2 与 函 数 y ? l o 2g 在 x 的 图 像 从 左 到 右 相 交 于 点 C , D, 记 线 段 A C

b x轴的投影长度分别为a,b.当m变化时, 的最小值为 ______. a
2

16.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点 P ? x, y ? 的轨迹方程是

y ? f ( x) ,则对函数 y ? f ( x) 有下列判断:①函数 y ? f ( x) 是偶函数;②对任意的 x ? R ,都有 y f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减; C 2 ? ?1 ④ ? f ( x )dx ? .其中判断正确的序号是 . 0 2 P
B

A

O

x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中,已知点 D 在边 BC上, 且
???? ???? 2 2 AB ? 3 2, BD ? 3 , AD ? AC ? 0, sin ?BAC ? , 3

A

(Ⅰ) 求 AD 长;

(Ⅱ) 求 cos C .

B

D

C

18.(本小题满分 12 分)为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举 办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下:双方各出 3 名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号 选手首先对垒,双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局 ,由第二号选手挑战上一局获胜的 选手,依次类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜,假若双方队员的实力旗鼓相当(即取 胜对手的概率彼此相等) . (1)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率; (2)记双方结束比赛的局数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

19.(本小题满分 12 分)

B1 B ? B1 A ? AB ? BC , ?B1 BC ? 90? , 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 为 AC 的中点,AB ? B1 D . A1
(Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求直线 B1 D 与平面 ACC1 A1 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? B1 D ? C 的余弦值.

B1

C1

A D B
C

20.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴 → → 负半轴于 Q 点,且 2F1F2+F2Q=0. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A,Q,F2 三点的圆恰好与直线 x- 3y-3=0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 的直线交椭圆于 M,N 两点,点 P(4,0),求△PMN 面积的最大值.
3

x a

2

y b

2

21(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

?

a ?1 ? 2a ? 1 (a ? 0) 。 x

(Ⅱ)若 f ( x) ≥ ln x 在[1,+∞ ) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:

? ln
k ?2

n

k ? 1 2 ? n ? n2 ? k ?1 2n(n ? 1)

22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程;

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) , M 为 C1 上的动点,点 P ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 ? ? 异于极点的交点为 B ,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A , 与 C2 的

23.( 本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 6 | ? | m ? x | (m ? R). (1)当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

4

商丘市第一高级中学 2016 届高考考前押题考试试卷 理科数学 参考答案 一、选择题: 1-5 BDABA 6-10 ABACC 二、填空题: 11-12 BA 15.

13. (-∞,0 ] ∪ [ 4,+∞) 14. 10 三、 解答题: 17.解:

8 2

16. ①②④

(1)因为 AD ? AC ? 0, 则 AD ? AC , 所以 sin ?BAC ? sin( 即 cos ?BAD ?

???? ??? ?

?
2

? ?BAD) ? cos ?BAD ,

2 2 . 在 ?ABD 中,由余弦定理可知, BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD. 即 3

AD2 ? 8 AD ? 15 ? 0,
解得 AD ? 5或AD ? 3. 因为 AB ? AD, 所以,AD ? 3. (2)在 ?ABD 中,由正弦定理可知, 又由 cos ?BAD ?

BD AB ? . sin ?BAD sin ?ADB

1 2 2 可知, sin ?BAD ? , 所以, 3 3

sin ?ADB ?

? AB sin ?BAD 6 .因为 ?ADB ? ?DAC ? C ? ? C ? 2 BD 3
6 . 3

所以 cos C ?

18.解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连接 OD , OB1 . 因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 , 所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .… 2 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC ,
O

z
B1

A1

C1

A D
C
5

所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B ,

y

B
x

所以 OD ? 平面 ABB1 A1 . 又 OD ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . ……………… 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OB, OD, OB1 两两垂直.以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴的方向, | OB | 为单 位长度 1,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 由题设知 B1 (0,0, 3 ) , D(0,1,0) , A( ?1,0,0) , C (1,2,0) , C1 (0,2, 3 ) . 则 B1 D ? (0,1,? 3) , AC ? (2,2,0) , CC1 ? (?1,0, 3) . 设平面 ACC1 A1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

m ? AC ? 0 ,m ? CC1 ? 0 ,即 x ? y ? 0 , ? x ? 3z ? 0 ,可取 m ? ( 3,? 3,1) .… 6 分
设直线 B1 D 与平面 ACC1 A1 所成角为 ? , 故 sin? ?

21 . 7

………………………… 7 分

(Ⅲ)由题设知 B(1,0,0) , 可取平面 BB1 D 的法向量 n1 ? ( 3, 3,1) , 平面 B1 DC 的法向量 n2 ? (? 3, 3,1) , 故 cos ? n1,n2 ? ? ………………………… 8 分 …………………… …… 9 分 ………………………… 11 分

1 , 7
1 . 7

所以二面角 B ? B1 D ? C 的余弦值为

………………………… 12 分

6

20.

(3)设直线 MN 的方程为:

x=my+1,代入 + =1 得
4 3 (3m +4)y +6 my-9=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 6m 9 ∴y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 , 3m +4 3m +4
7
2 2

x2 y2

|y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2 4 3· 3m +3 = . 2 3m +4 1 6 3· 3m +3 ∴S△PMN= |PF2|·|y2-y1|= , 2 2 3m +4 令 3m +3=λ ≥ 3, 6 3λ 6 3 6 3 9 ∴S△PMN= 2 = ≤ = , λ +1 1 1 2 λ + 3+ λ 3 9 ∴△PMN 面积的最大值为 ,此时 m=0. 2
2 2 2

2

21. 解: (1) f ( x) 的定义域为

?x x ? 0?,

a ? 1 ax2 ? 1 ? a f ?( x) ? a ? 2 ? (a ? 0) ,-----------------------------1 分 x x2
当 0 ? a ? 1 时, 当a

f ?( x) ? 0 恒成立,此时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 上是增函数;-----2 分
a ?1 a ?1 , x2 ? , a a

? 1 时,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?

列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

(??, x1 )

( x1 ,0)
_ 减

(0, x2 )
_ 减

( x2 ,??)

?


?


此时, f ( x) 的递增区间是 (??, x1 ) , ( x2 ,??) ;递减区间是 ( x1 ,0) , (0, x2 ) 。-------4 分 (2) g ( x ) = ax +

a ?1 ? 2a ? 1 ? ln x, x ? ?1,??? , x

1? a a( x ? 1)(x ? ) a ? 1 1 ax2 ? x ? (a ? 1) a -----6 分 则 g(1)=0,g’(x)= a- 2 - = = x x x2 x2 1 1? a 1)当 0<a< 时, ﹥1。 2 a 1? a 若 1<x< ,则 g’(x)<0,g(x)是减函数,所以 g(x)<g(1)=0 ,即 f(x)﹥㏑ x,故 f(x)≧ a
㏑ x 在[1,+∞)上不恒成立。----------------------7 分 2)当 a ?

1 1? a ? 1, 若 x ? 1 ,则 g’(x)>0,g(x)是增函数,所以 g(x)>g(1)=0,即 f(x)>lnx.故当 时, 2 a
8

x≧1 时,f(x) ? lnx. 综上所述,所求 a 的取值范围是 ? , +∞) 。------------------9 分

?1 ?2

(3) 在(2)中,令 a

?

1 1 1 ,可得不等式: ln x ? ( x ? )( x ? 1) (当且仅当 x ? 1 时等号成立) , 2 2 x
( ? )---------------10 分

进而可得当 ln x
n

2

1 ? x ? ( x ? 1) x

k ? 1 2 ? n ? n2 2 2 ? n ? n2 ln ? ? ln ? ? k ?1 n(n ? 1) k ?2 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) ? ln
令x?

n(n ? 1) n 2 ? n ? 2 ? 2 2n(n ? 1)

n(n ? 1) ? 1(n ? 2) ,代入不等式( ? )得: 2
故不等式得

ln

n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n2 ? n ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2n(n ? 1)

证。--------------------------------12 分

?x ? 2 cos ? ? x y ?2 22.答:(1)设 P ( x, y ) ,则由条件知 M ( , ) ,由于点 M 在 C1 上,所以 ? ,从而 C2 的参 2 2 ? y ? 4 ? 4 sin ? ? ?2 ?x ? 2 cos ? ? ?2 数方程为 ? ( ? 为参数) ,得 C2 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ? y ? 4 ? 4 sin ? ? ?2
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? ,射线 ? ? 的 极 径 为 ?1 ? 4 s i n ?

?

?

3

2 , 3 射线? ?

?
3

与 C2 的 交 点 B 的 极 径 为 ? 2 ? 8 s i n ?

?

3

与 C1 的交点 A

3

4 . 3所 以

AB ? ?2 ? ?1 ? 2 3 .
23.(1) {x | x ? 1} ; (2) [ ?13,1]

9


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