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2012年安徽省高考压轴卷数学文试卷_图文

绝密★启用前

2012 年安徽省高考压轴卷 数学文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 3 页,第Ⅱ 卷第 4 页至第 6 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色 ... 墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试 ......... .. 题卷、草稿纸上答题无效。 .. ........ 4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 ? 9 , a6 ? 11 ,则 S 9 等于( A.180 B.90 C.72 D.10 )

(m ? 3i ) 2 ?R 2.若 ,则实数 m 的值为( ) i
A. ? 2 3 B. ?
3 2
2

C. ? 3

D. ?

3 3
2

3.已知命题 p : ?x ? R, mx ? 1 ? 0 ;命题 q : 对 ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 ,若“ p ? q ”为假命 题,则实数 m 的取值范围是() A. m ? ?2 B. m ? 2 C. m ? ?2 或 m ? 2 D. ? 2 ? m ? 2

4.函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意实数 x 满足 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) . 当 l≤x≤2 时,函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 的单调递减区间是

A. [2k , 2k ? 1](k ? Z ) C. [2k , 2k ? 2](k ? Z ) 5. 已知 p ? 2 2, q ? 3, p 与 q 的夹角为 且 D 为 BC 的中点,则 AD ? (

B. [2k ? 1, 2k ](k ? Z ) D. [2k ? 2, 2k ](k ? Z )

? ?

?

? ?

?

????

??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? , 如下图所示, AB ? 5 p ? 2q, AC ? p ? 3q , 若 4
C



A.

15 2

B.

15 2

C.7

D.8 A

D B

6.已知 A , A2 是椭圆 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个端点,B 是它短轴的一个端点,如果 a 2 b2


???? ???? ? 2? ,则该椭圆的离心率的取值范围是( BA1 与 BA2 的夹角不小于 3
A. (0,

6 ] 3

B. (

6 ,1) 3

C. [

6 ,1) 3

D. [

3 ,1) 3

7.已知两圆 ?C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? 3 ? 0和?C1 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? 3 ? 0 都经过 点 A(2,—1) ,则同时经过点(D1,E1)和点(D2,E2)的直线方程为 A. 2 x ? y ? 2 ? 0 ( )

B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0

8.在样本的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 4 个小长方形的面积和的 A.80

1 ,且样本容量为 100,则中间一组的频数为( 4
B.0.8 C.20

) D.0.2

9. 如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点

AP P 所旋转过的弧 ? 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图像大致是

10.给出下列四个结论: ① ? 、 ? 为锐角, tan(? ? ? ) ? ?3 , tan ? ? 若

1 3? ,则 ? ? 2 ? ? ; 2 4

② 在△ ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则△ ABC 一定是钝角三角形;

③ 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) ; 4 m

④ a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P ,则焦点在 y 轴上且过点 P 的 当 抛物线的标准方程是 x ?
2

4 y .其中所有正确结论的个数是 3
C.3 D.4

A .1

B.2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.请阅读右边的算法流程图:若 a ?

2 (cos18? ? sin 18?) , 2 b ? 2 cos2 28? ? 1 , c ? 2 sin 16? cos 16?. 则输出的应该是

12.如图所示是一个几何体的三视图,根据图中标出的尺寸(单位:cm), 可得该几何体的表面积为________cm2.

?2 x ? y ? 0, ? 且z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b 的 13.若实数 x,y 满足 ? y ? x, ? y ? ? x ? b, ?
值为 14.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 4 在区间 ? ?1,1? 恰有一个极值点,则实数 a 的 取值范围为 15. 在等差数列 {an } 中,若任意两个不等的正整数 k , p ,都有 ak ? 2 p ? 1 ,

a p ? 2k ? 1,设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 k ? p ? m ,则 Sm ?

(结果用 m 表示) 。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的规定区域内. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a , b, c ,且 c ? 2, C ? 60?

a?b 的值; sin A ? sin B (2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。
(1)求

17. (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只老鼠做 试验,将这 200 只老鼠随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A (称为 A 组),另一组注 射药物 B (称为 B 组),则 A, B 两组老鼠皮肤疱疹面积(单位: mm2 )的频率分布表、频率分布直方 图分别如下:
注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 注射药物 B 后皮肤疱疹面积频率分布直方图 频率 组距

疱疹面积 频数

[60,65)
20

[65,70)
50

[70,75)
20

[75,80)
10

0.06 0.05 0.04 0.03

O

60 65 70 75 80 85 疱疹面 积

(1)为方便 A, B 两组试验对比,现都用分层抽样方法从 A, B 两组中各挑出 20 只老鼠,求 A B 两 、 组成肤疱疹面积同为 [60,65) 的这一区间应分别挑出几只? (2)在(Ⅰ)的条件下,将 A, B 两组挑出的皮肤疱疹面积同为 [60,65) 这一区间上的老鼠放在一起 观察,几天后,从中抽取两只抽血化验,求 B 组中至少有 1 只被抽中的概率.

18. (本小题满分 12 分)如图 1 所示, Rt?ABC 中,AC ? 6 ,BC ? 3 ,?ABC ? 90? ,CD 在 为 ?ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上, CE ? 4 .如图 2 所示,将 ?BCD 沿 CD 折起,使得 平面 BCD ? 平面 ACD ,连结 AB ,设点 F 是 AB 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BCD ; (2)若 EF // 平面 BDG ,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B ? DEG 的体 积.

图1

图2

19. (本小题满分 13 分)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2, 0) ,边 AB 所在直线的方程为

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 (?1,1) 在边 AD 所在的直线上,
(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l : (1 ? 2k ) x ? (1 ? k ) y ? 5 ? 4k ? 0(k ? R) ,求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外 接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程.

20.(本小题满分 13 分)设函数 y 都有 (1) 求 旳值;

是定义域在

上的单调函数,对于任意正数 x,

(2) —个各项均为正数的数列{an}满足 列 的前 n 项和,求数列 的通项公式.

,其中 Sn 是数

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ;

mx3 ? ax 2 ? (1 ? b 2 ) x, m, a, b ? R. 3

(2)当 m ? 1 时,若函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,求 z ? a ? b 的最小值; (3)当 a ? 1, b ?

2 时,函数 f ( x) 在 (2, ??) 上存在单调递增区间,求 m 的取值范围。

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A A C A C C D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11、b 12、 36

9 13、 4

14、 [1,5)

15 m 2

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由正弦定理可设

a b c 2 2 4 3 4 3 4 3 ,所以 a ? sin A, b ? sin B , ? ? ? ? ? 3 3 sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2 4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 ? 3 ? 所以 . sin A ? sin B sin A ? sin B 3 2 2 2 (2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C , 即 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab , 又 a ? b ? ab ,所以 (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ,
解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去)所以 S?ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

17. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)由 A 组频数分布表可知, A 组中 [60,65) 这一小组的频数为 20,………1 分 由 B 组频率分布直方图可知, B 组中 [60,65) 这一小组的频率为 1 ? (0.05 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? 5 ? 0.03 ? 5) ? 0.1 …………………3 分 所以这一小组频数为 100 ? 0.1 ? 10 ……………………4 分

20 20 ? 20 ? 4 , ?10 ? 2 …………………5 分 100 100 即 A B 两组中成肤疱疹面积同为 [60,65) 的这一区间应分别挑出 4 只、2 只………6 分 、 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, A, B 两组中 [60,65) 这一区间上挑出的老鼠分别有 4 只、2 只, 设编号分别为 1,2,3,4;5( B 组),6( B 组), …………………7 分
由于是分层抽样,所以 则从中抽取两只的所有基本事件如下 (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6); (2,3), (2,4), (2,5),(2,6); (3,4), (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6) 共有 15 个……………………………………8 分 显然事件 C ? { B 组中至少有 1 只被抽中}发生包含了以下 9 个基本事件, (1,5), (1,6); (2,5),(2,6); (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6)……………10 分 所以由古典概型知 9 3 ……………………12 分

P(C) ?

15

?

5

18(本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 13 分) 解: (1)由 l AB : x ? 3 y ? 6 ? 0 且 AD ? AB ,点 (?1,1) 在边 AD 所在的直线上

? AD 所在直线的方程是: y ? 1 ? ?3( x ? 1) 即 3x ? y ? 2 ? 0
得 A(0, ?2)

由?

? x ? 3y ? 6 ? 0 ?3x ? y ? 2 ? 0

? AP ? 4 ? 4 ? 2 2 ? 矩形 ABCD 的外接圆的方程是: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 (2)直线 l 的方程可化为: k (?2 x ? y ? 4) ? x ? y ? 5 ? 0 l 可看作是过直线 ?2 x ? y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 5 ? 0 的交点 (3, 2) 的直线系,即 l 恒过定点

Q(3, 2) 由 (3 ? 2)2 ? 22 ? 5 ? 8 知点 Q 在圆 P 内,所以 l 与圆 P 恒相交,
设 l 与圆 P 的交点为 M , N , MN ? 2 8 ? d (d 为 P 到 l 的距离)
2

设 PQ 与 l 的夹角为 ? ,则 d ? PQ ? sin ? ? 5 sin ? 当 ? ? 90 时, d 最大, MN 最短
0

此时 l 的斜率为 PQ 的斜率的负倒数: ? 即 l : x ? 2y ? 7 ? 0 20(本小题满分 13 分)

1 1 , l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 3) 2 2

21. (本小题满分 13 分)

? Ⅰ)解: f ( x) ? mx ? 2ax ? (1 ? b ) .
2 2

? 所以 f ( x) ≥ 0 在 R 上恒成立.
可用圆面的几何意义解得

(Ⅱ)因为函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,
z=a+b

b

2 2 2 2 则有 ? ? 4a ? 4(1 ? b ) ≤ 0 ,即 a ? b ≤ 1. 2 z ? a ? b 的最小值 ? 2 (Ⅲ)①当 m ? 0 时, f ?( x) ? mx ? 2 x ? 1 是开口向上 ? ? 的抛物线, 显然 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在子区间使得 f ( x) ? 0 , 所以 m 的取值范围是

o

a

(0, ? ?) .②当 m ? 0 时,显然成立.
2 ? ? ③当 m ? 0 时, f ( x) ? mx ? 2 x ? 1 是开口向下的抛物线,要使 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在子

m?0, ? m ? 0, 1 ? 1 ? ≥2, ? m ? ? ? 2, 1 ? m f ?( ? )? 0 , ? f ?(2) ? 0. ? m 区间使 f ( x) ? 0 ,应满足 或? 1 3 1 3 ? ≤m?0 ? ?m?? ( ? , 0) 2 ,所以 m 的取值范围是 4 解得 2 ,或 4 . 3 ( ? , ?? ) 则 m 的取值范围是 4 .


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