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广东省惠州市2018届高三第一次调研考试数学(理)试题(WORD版,含解析)

惠州市 2018 届高三第一次调研考试

数 学(理科)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求.

(1)已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {y | y ? 2x} ,则 M N ? ( )

A. (0, 2]

B. (0, 2)

C.[0, 2]

(2)已知 a 是实数, a ? i 是纯虚数,则 a =( 1? i

A. 1

B. ?1

) C. 2

D.[2, ??)
D. ? 2

(3)从 0,1,2,3,4 中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是( ) A.6 B.8 C.10 D.12

(4)已知定义域为 R 的偶函数 f (x) 在 (??, 0] 上是减函数,且 f (1) ? 2 ,则不等式 f (log2 x) ? 2 的
解集为( )

A. (2, ??)

B. (0, 1) (2, ??) 2

C. (0, 2 ) ( 2, ??) D. ( 2, ??) 2

?2x ? y ? 2 ? 0

(5)点

P?x,

y ?为不等式组

??3x ? y ??x ? 2 y

? ?

8 1

? ?

0 0

所表示的平面区域上的动点,则

y x

最小值为(



A. ? 1 2

B. ? 2 C. ? 3

D. ? 1 3

(6)设命题 p:若定义域为 R 的函数 f (x) 不是偶函数,则 ?x ? R , f (?x) ? f (x) . 命题 q:

f (x) ? x | x | 在 (??, 0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数.则下列判断错.误.的是(

)

A.p 为假

B. q 为真

C.p∨q 为真

D. p∧q 为假

(7) 已知函数 f (x) ? 3cos(?x ? ? )(? ? 0) 和 g(x) ? 2sin(2x ??) ?1 的图象的对称轴完全相同,若 3
x ?[0, ? ] ,则 f (x) 的取值范围是( ) 3

A. [?3, 3]

B.[? 3 ,3] 2

C.[?3, 3 3 ] 2

D.[?3, 3] 2

(8)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ? xyz 中的坐标分别是 (0, 0, 0), (1, 0,1), (0,1,1), (1 ,1, 0) , 2
绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为( )

(9)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图 及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及
一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用 2? 勾? 股 ? ?股— 勾?2 ? 4?

朱实 ? 黄实 ? 弦实,化简得:勾 ? 股 ? 弦 .设勾股形中勾股比为1 : 3 ,

若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的
? ? 图钉数大约为( ) 3 ? 1.732

A.866

B.500

C.300

D.134

(10)已知函数 y ? f ?x?的定义域为 R ,且满足下列三个条件:



对任意的 x1, x2

? ?4,8?,当 x1

?

x2 时,都有

f

?x1 ? ?
x1 ?

f ?x2 ?
x2

?

0 恒成立;

② f ?x ? 4? ? ? f ?x?③ y ? f ?x ? 4? 是偶函数;

若 a ? f ?6?,b ? f ?11?,c ? f ?2017 ?,则 a,b, c 的大小关系正确的是(

)

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b D. c ? b ? a

(11)已知三棱锥 S ? ABC , ?ABC 是直角三角形,其斜边 AB ? 8, SC ? 平面 ABC, SC ? 6 ,则

三棱锥的外接球的表面积为( )

A. 64?

B. 68?

C. 72?

D.100?

(12)已知 F1, F2

分别是双曲线

y2 a2

x2 ?
b2

? 1(a,b ? 0) 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线的一条渐

近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆内,则双曲线离心

率的取值范围是( )

A.(1, 2)

B.(2, +∞)

C. (1, 2)

D. ( 2, ? ?)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须作答。第22题、

第23题为选考题,考生根据要求作答。

二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(13)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的结果为



(14)二项式 (x ? 2 )6 展开式中的常数项是



x

? ? ? ? (15)已知正方形 ABCD 的中心为O 且其边长为 1,则 OD ? OA ? BA? BC ?



(16)已知 a , b , c 是 ?ABC 的三边, a ? 4 , b ? (4,6) , sin 2A ? sinC ,则 c 的取值范围

为.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分 12 分)

? ? 在公差不为 0 的等差数列 an 中, a1, a4 , a8 成等比数列.

(1)已知数列?an? 的前 10 项和为 45,求数列?an? 的通项公式;

(2)若 bn

?

1 an an ?1

,且数列?bn?的前 n

项和为 Tn

,若 Tn

?

1 9

?

1 n?9

,求数列?an? 的公差.

(18)(本小题满分 12 分)

已知圆柱 OO1底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的一个轴截面,动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧

面到达点 D,其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示.将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转

? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (Ⅰ)求曲线 ? 长度;

(Ⅱ)当 ?

?

? 2

时,求点 C1

到平面

APB

的距离;

(19)(本小题满分 12 分)

近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大,科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到

大幅提升.伴随着国内市场增速放缓,国内有实力企业纷纷进行海外布局,第二轮企业出海潮到来.

如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外共

设 30 多个分支机构,需要国内公司外派大量 70 后、80 后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员

工是否愿意被外派工作的态度,按分层抽样的方式从 70 后和 80 后的员工中随机调查了100 位,得

到数据如下表:

愿意被外派 不愿意被外派 合计

70 后

20

20

40

80 后

40

20

60

合计

60

40

100

(Ⅰ)根据调查的数据,是否有 90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”,并说明理由;

(Ⅱ)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动,拟安排 6 名参与调查的 70 后、 80 后员工

参加. 70 后员工中有愿意被外派的 3 人和不愿意被外派的 3 人报名参加,从中随机选出 3 人,记选到

愿意被外派的人数为 x ;80 后员工中有愿意被外派的 4 人和不愿意被外派的 2 人报名参加,从中随

机选出 3 人,记选到愿意被外派的人数为 y ,求 x ? y 的概率.

参考数据:

P(K 2 ? k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d ).

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(20)(本小题满分 12 分)

如图,椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的右顶点为

A(2, 0) ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点

A且

斜率为 1 的直线与 y 轴交于点 P , 2

与椭圆交于另一个点 B ,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)过点 P 且斜率大于 1 的直线与椭圆交于 M , N 两点 2
( | PM |?| PN | ),若 S?PAM : S?PBN ? ? ,求实数 ? 的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 2 ln x (其中 a 是实数).

(1)求 f (x) 的单调区间;

(2)若设

2(e

?

1) e

?

a

?

20 3

,且

f

(x)

有两个极值点

x1

,

x2 (x1

?

x2 )

,求

f

(x1)

?

f

(x2 )

取值范围.(其

中 e 为自然对数的底数).

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为

? ?? ? ?

x ? 2 ? 3t, 5 (t(
y ? ?2 ? 4 t.

t

为参数).以坐标原点为极点,以

x



??

5

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos? ? tan? .

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(Ⅱ)若

C1



C2

交于

A,B

两点,点

P

的极坐标为

? ??

2

2,

?

π 4

? ??

,求

1 |PA

|

?

|

1 PB

|

的值.

(23)(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x) ? 2x ?1 ? x ?1 , g(x) ? x ? a ? x ? a . (Ⅰ)解不等式 f (x) ? 9 ; (Ⅱ) ?x1 ? R,?x2 ? R ,使得 f (x1) ? g(x2 ) ,求实数 a 的取值范围.

惠州市 2018 届高三第一次调研考试

数学(理科)参考答案与评分标准

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 A A C B D C D B D B

D

A

1.【解析】A 解:依题意得 M ? [?1, 2] , N ? (0, ??)?M N ? (0, 2] .

? 2.【解析】设 a ? i =bi (b ? 0) ,则 a ? i=(1? i)bi= ? b ? bi 1? i

,所以

a ? ?b, b ? ?1,

解得 a =1,

选择 A

3.【解析】由题意,末尾是 0,2,4 末尾是 0 时,有 4 个;末尾是 2 时,有 3 个;末尾是 4 时,有 3 个,所以共有 4+3+3=10 个 故选 C.

4.【解析】B 解: f (x) 是 R 的偶函数,在 (??, 0] 上是减函数,所以 f (x) 在[0, ??) 上是增函数,

所 以 f ( l2 o?x g? ) f ? 2f ( | 2 (l x?1o ) g f ?|| l)2 x ?o g( ?1 l |)2ox ?1g

log2

x ? ?1 ? x ? 2 或 0 ?

x?

1. 2

答案 B.

?2x ? y ? 2 ? 0 5.【解析】D 如图所示,不等式组 ??3x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域为图中阴
??x ? 2 y ? 1 ? 0

影部分.由

?3x ? y ??x ? 2y

? ?

8 1

? ?

0 0

可得

?x

? ?

y

? ?

3 ,故 ?1

A?3,?1?



y x

的几何意义为直

线 OP 的 斜 率 , 故 当 点 P 与 点 A 重 合 时 直 线 OP 的 斜 率 的 最 小 , 此 时

kOP

?

?

1 3



或1

6.【解析】C 解:函数 f (x) 不是偶函数, 仍然可 ?x,使f (-x) ? f (x) , p 为假;

f

(x)

?

x

|

x

|?

??x2 (x

? ?? ?

x

2

(x

? ?

0) 0)

在 R 上都是增函数, q 为假; 以 p∨q 为假,选 C.

7.【解析】因为函数 f(x)和 g(x)的图象的对称轴完全相同,故 f(x)和 g(x)的周期相同,所以? =2,

f (x) ? 3cos(2x ? ? ) ,由 x ?[0, ? ] ,得 2x ? ? ?[? ,? ] ,根据余弦函数的单调性,当 2x ? ? ? ? ,

3

3

33

3



x

?

? 3

时,f

(x)min= ?3 ,当 2x

?

? 3

?

? 3

,即

x

?0

时,f

(x)max=

3 2

,所以

f

(x)的取值范围是 [?3,

3], 2

选择 D.
8【解析】B 满足条件的四面体如左图,依题意投影到 yOz 平面为正投影,所以左(侧)视方向如图
所示,所以得到左视图效果如右图,故答案选 B.

9 【解析】D 设勾为 a ,则股为 3a , ∴ 弦为 2a ,小正方形的边长为 3a ? a .所以图中大

? ? 正方形的面积为 4a 2 ,小正方形面积为 3 ?1 2 a2 ,所以小正方形与大正方形的面积比为

? ?2 3 ?1 ?1? 4

3 2

∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为

????1 ?

3 2

????

?1000

?

134



10 【 解 析 】 B 由 ① 知 函 数 f ?x? 在 区 间 ?4,8? 上 为 单 调 递 增 函 数 ; 由 ② 知 f ?x ? 8? ? ? f ?x ? 4? ? f ?x? ,即函数 f ?x? 的周期为8 ,所以 c ? f ?2017 ? ? f ?252 ? 8 ?1? ? f ?1?, b ? f ?11? ? f ?3? ;由③可知 f ?x? 的图象关于直线 x ? 4 对称,所以 b ? f ?11? ? f ?3? ? f ?5? , c ? f ?1? ? f ?7? ;因为函数 f ?x? 在区间 ?4,8? 上为单调递增函数,所以 f ?5? ? f ?6? ? f ?7? ,即
b?a?c

11.【解析】D 本题考查空间几何体的表面积.三棱锥

所在长方体的外接球,即三棱锥所在的

外接球;所以三棱锥的外接球的直径

,即三棱锥的外接球的半径 ;所以三

棱锥的外接球的表面积

.选 D.

12【解析】A

如图

1,不妨设

F1 (0,

c),

F2

(0,

?c)

,则过

F1

与渐近线

y

?

a b

x

平行的直线为

y

?

a b

x

?

c



联立

? ? ? ?

y y

? ?

a b ?

x a

? c, x,

解得

? ? ? ?

x y

? ?

? c

bc 2a ,

,



M

(?

bc 2a

,

c) 2

?b

?2

因 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 x2 ? y2 ? c2 内,

故 (? bc )2 ? ( c )2 ? c2 ,化简得 b2 ? 3a2 , 2a 2
即 c2 ? a2 ? 3a2 ,解得 c ? 2 ,又双曲线离心率 a
e ? c ? 1,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 选择 A. a

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 30

14.240

15. 1

16. (4 2,2 10 )

13.【解析】第一次,i=1,满足条件,i<6,i=1+2=3,S=6, 第二次,i=3,满足条件,i<6,i=3+2=5,S=6+10=16, 第三次,i=5,满足条件,i<6,i=5+2=7,S=16+14=30, 第四次,i=7,不满足条件 i<6,程序终止, 输出 S=30,故答案为:30

(x ?
14.【解析】二项式

2 x

)6 展开式的通项公式为 Tr ?1

?

C6r

2r

6? 3 r
x2

,令 6 ?

3r 2

? 0 ,求得 r

?

4,

(x ? a )6

所以二项式

x 展开式中的常数项是 C64 ×24=240.

? ? ? ? 15.【解析】 OD ? OA ? BA? BC ? AD? BD ?1? 2 ? cos45? ?1
16.【解析】由正弦定理 4 ? c ,? 4 ? c ,?c ? 8cosA , sin A sin C sin A sin 2A
由余弦定理16 ? b2 ? c2 ?16bccosA ,?16 ? b2 ? 64cos2 A ?16bcos2 A

cos2 A ? 16 ? b2 ? (4 ? b)(4 ? b) ? 4 ? b , c2 ? 64cos2 A ? 64 ? 4 ? b ? 16 ? 4b

64 ?16b 16(4 ? b) 16

16

由 b ? (4,6) , 32 ? c2 ? 40 ,? 4 2 ? c ? 2 10 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
17.(本小题满分 12 分)
解:(1)设数列{an } 的公差为 d( d ? 0 ), 由 a1, a4 , a8 成等比数列可得 a42 ? a1 ? a8 ,即 (a1 ? 3d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 7d ) ,得 a1 ? 9d …………4 分

由数列?an? 的前

10

项和为

45

得10a1

?

45d

?

45

,即 90d

?

45d

?

45,所以 d

?

1 3

, a1

?

3.

故数列{an } 的通项公式为: an

?3?

(n

? 1) ?

1 3

?

n

?8 3



…………8 分

(2)因为 bn

?

1 an an ?1

?

1( 1 d an

?

1 ), a n ?1









?bn?





n







Tn

?

1 d

?1

?( ?

a1

? 1 )?( 1

a2

a2

?

1 )???( 1

a3

an

?

1 an?1

? )? ?

?

11 (
d a1

?

1 ), an?1

即 Tn

?

1 d

1 ( a1

?

a1

1) ? nd

?

1 d

(1 9d

?

9d

1 ?

) nd

?

1 d2

(1 9

?

1 9?

) n

?

1 9

?

1 9?

n



因此 1 d2

? 1,解得公差 d

? ?1或1.

…………12 分

18.(本小题满分 12 分)

【解】(Ⅰ) ? 在侧面展开图中为 BD 的长,其中 AB = AD = π ,

∴ ? 的长为 2? ;

…………………………3 分

(Ⅱ)当? ? ? 时,建立如图所示的空间直角坐标系,……………………4 分 2

则有

A(0,

?1,

0)



B(0,1,

0)



P(?1,

0,

? 2

)



C1

(?1,

0,

?

)

,……………………6



?

AB

?

(0,

2, 0)



AP

?

(?1, 0,

? 2

)



OC1

?

(?1,

0,?

)

……………………8



?2y ? 0

设平面

ABP

的法向量为

n

?

(

x,

y,

z)

,则

? ????x

?

y

?

? 2

z

?

0

,…………9



取 z = 2 得 n ? (? , 0, 2) ,……………………10 分

所以点 C1 到平面 PAB 的距离为 d ? | OC1 n | ? ? ;……………………12 分

|n|

?2 ?4

注:本题也可以使用等积法求解.

19.(本小题满分 12 分)

【解析】(Ⅰ) K 2 ?

n(ad ? bc)2

100? (20 ? 20 ? 40 ? 20)2 ?

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

60? 40? 60? 40

? 400? 400?100 ? 2.778 ? 2.706 5760000

………4 分

所以有 90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”

…………5 分

(Ⅱ)“ x ? y ”包含:“ x ? 0, y ? 1”、 “ x ? 0, y ? 2 ”、 “ x ? 0, y ? 3 ”、 “ x ? 1, y ? 2 ”、

“ x ? 1, y ? 3”、 “ x ? 2, y ? 3”六个互斥事件

…………6 分

且 P(x

? 0, y

? 1) ?

C30C33 C63

?

C41C22 C63

?

4 , P(x 400

? 0, y

?

2) ?

C30C33 C63

?

C42C21 C63

?

12 400

P(x ? 0, y ? 3) ? C30C33 ? C43C20 ? 4 , P(x ? 1, y ? 2) ? C31C32 ? C42C21 ? 108

C63

C63 400

C63

C63 400

P(x ? 1, y ? 3) ?

C31C32 C63

?

C43C20 C63

?

36 , P(x ? 2, y 400

? 3) ?

C32C31 C63

?

C43C20 C63

?

36 400

所以: P(x ? y) ? 4 ?12 ? 4 ?108 ? 36 ? 36 ? 200 ? 1 .

400

400 2

…………12 分

20.(本小题满分 12 分)

【解析】(Ⅰ)因为

BF1

?

x

轴,得到点

B(?c,

?

b2 a

)



…………2 分

所以

?a ? 2

? ? ? ?

b2 a(a ?

c)

?

1 2

??a2 ? b2 ? c2

?

?a ? ?b ??c

?2 ? ?1

3

,所以椭圆 C 的方程是 x2 ? y2 ? 1. 43

…………5 分

(Ⅱ)因为 S?PAM

1 PA? PM ?sin ?APM ?2

? 2? PM

? ? ? PM

? ? (? ? 2)

……6 分

S?PBN 1 PB ? PN ?sin ?BPN 1? PN

PN 2

2

所以 PM

?

?? 2

PN

.由(Ⅰ)可知 P(0, ?1) ,设 MN

方程:

y

?

kx ?1, M (x1,

y1), N (x2,

y2 )



联立方程

? ? ? ??

y ? kx ?1 x2 ? y2 ? 43

得:
1

(4k

2

?

3) x 2

?

8kx

?8

?

0

.即得

? ??

x1

?

? ??

x1

?

x2

?

8k 4k 2 ?

3

?

x2

?

?8 4k 2 ?

3

(*)



PM

?

(x1,

y1

?1), PN

?

( x2 ,

y2

?1) ,有

x1

?

?

? 2

x2 ,

…………7 分

将 x1

?

?? 2

x2

代入(*)可得:

(2

?? ?

)2

?

16k 2 . 4k 2 ? 3

…………8 分

因为 k

?

1 2

,有 16k 2 4k 2 ? 3

?

16 ? (1, 4) ,

3 k2

?

4

…………9 分

则1 ? (2 ? ?)2 ? 4 且 ? ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 3 . (没考虑到 ? ? 2 扣 1 分) ………11 分 ?

综上所述,实数 ? 的取值范围为 (4, 4 ? 2 3) .

…………12 分

注:若考生直接以两个极端位置分析得出答案,只给结果 2 分.

21.(本小题满分 12 分)

(1) f (x) 的定义域为 (0,? ?) , f ?(x) ? 2x ? a ? 2 ? 2x2 ? ax ? 2 ,…….1 分

x

x

令 g(x) ? 2x2 ? ax ? 2 , ? ? a2 ?16 ,对称轴 x ? a , g(0) ? 2 , 4

1)当 ? ? a2 ?16 ≤0,即-4≤ a ≤4 时, f ?(x) ≥0

于是,函数 f (x) 的单调递增区间为 (0,? ?) ,无单调递减区间.……………………………………2



2)当 ? ? a2 ?16 >0,即 a ? ?4 或 a ? 4 时,

①若 a ? ?4 ,则 f ?(x) ? 0 恒成立

于是, f (x) 的单调递增区间为 (0,? ?) ,无减区间.……………………3 分

②若 a ? 4

令 f ?(x) ? 0 ,得 x1 ? a ?

a2 4

?16



x2

?

a

?

a2 ?16 , 4

当 x ? (0,x1) (x2,? ?) 时, f ?(x) ? 0 ,当 x ? (x1,x2 ) 时, f ?(x) ? 0 .

于是, f (x) 的单调递增区间为 (0,x1) 和 (x2,? ?) ,单调递减区间为 (x1,x2 ) .…………4 分

综上所述:当 a? 4 时, f (x) 的单调递增区间为 (0,? ?) ,无单调递减区间.

当 a ? 4 时, f (x) 的单调递增区间为 (0,x1) 和 (x2,? ?) ,单调递减区间为 (x1,x2 ) .

…………………………………………………………………………5 分

(2)由(1)知,若

f

(x)

有两个极值点,则 a

?

4 ,且

x1

?

x2

?

a 2

?

0 , x1x2

? 1 ,?0

?

x1

?1?

x2



2 x12

? ax1

?

2

?

0 ,a

?

2( x1

?

1 ) ,2(e ? x1

1) e

?

a

?

20 3

,e?

1 e

?

x1

?

1 x1

?

3?

1 3

,又 0

?

x1

? 1,

解得,

1 3

?

x1

?

1 e

……………………………………………7



于是, f (x1) ? f (x2 ) ? (x12 ? ax1 ? 2 ln x1) ? (x22 ? ax2 ? 2 ln x2 )

?

( x12

?

x22 ) ? a(x1

?

x2 ) ? 2(ln

x1

? ln

x2 )

?

( x1

?

x2 ) ?

a 2

? a(x1

?

x2 ) ? 2 ln

x1 x2

?

?( x1

?

1 x1

)

?

(

x1

?

1 ) ? 4 ln x1

x1

?

1 x12

?

x12

?

4 ln

x1 ……………………………………9



令 h(x)

?

1 x2

?

x2

?

4 ln

x

(1 2

?

x

?

1 ) ,则 h?(x) e

?

?2(x2 ?1)2 x3

? 0 恒成立,?h(x) 在 (1 , 1) 单调 3e

递减,?h(1) e

?

h(x) ?

h(1) ,即 e2 3

?1 e2

?4?

f

(x1) ?

f

(x2 ) ?

80 9

? 4ln 3 ,故

f

(x1) ?

f

(x2 ) 的取

值范围为 (e2

?

1 e2

? 4,80 9

?

4 ln 3) .…………………………………………………12



22.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 4x ? 3y ? 2 ? 0; ·············· 2 分 曲线 C2 的直角坐标方程为: y ? x2 . ··················· 5 分

(Ⅱ)

C1

的参数方程的标准形式为

? ?? ? ?

x ? 2 ? 3t, 5 (t
y ? ?2 ? 4 t.

为参数)代入

y

?

x2



??

5

9t2 ? 80t ?150 ? 0, ·························· 6 分

设 t1, t2



A、B

对应的参数,则 t1

? t2

?

80 9

,t1t2

?

50 3

?

0.

··········

7分

? 1 ? 1 ? | PA | ? | PB | ? | t1 ? t2 | ? 8 . ··············· 10 分 | PA | | PB | | PA | ? | PB | | t1t2 | 15

23.(本小题满分 10 分)

??3x, ?

x

?

1 2

,

解:(Ⅰ)

f

(x)

?

??2 ?

?

x,

?1

?

x

?

1 2

,

···················

2分

??3x, x ? 1.

??

f

(x)

?

9

等价于

??x ? 1 , ?2 ??3x ? 9



???1 ? ?? 2

? ?

x x

? ?

1 2 9

,或

?x? ???3x

?1, ?0

·············

3分

综上,原不等式的解集为{x | x ? 3或x ? ?3}. ················ 5 分

(Ⅱ) | x ? a | ? | x ? a |? 2 | a | . ····················· 7 分

由(Ⅰ)知 f (x) ? f (1) ? 3 . 22
所以 2 | a |? 3 , ··························· 9 分 2
实数 a 的取值范围是[? 3 , 3]. ····················· 10 分 44


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