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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.3


§ 9.3

圆的方程

1. 圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2. 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3. 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4. 圆的一般方程 D E? x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为? ?- 2 ,- 2 ?, 半径 r= D2+E2-4F . 2

5. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6. 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径. ( √ )

(2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y -y2)=0. ( √ )

a 1 (3)方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆心为(- ,-a),半径为 -3a2-4a+4 2 2 的圆. ( × )

(4)方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0,B=0,D2+E2 -4AF>0. 2. 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是 A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 答案 A 解析 因为点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1. 3. (2012· 辽宁)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是 A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 答案 C 解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C. 4. 已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为______________. 答案 (x-2)2+y2=10 ( ) B.0<a<1 D.a=± 1 ( √ ( ) )

解析 设圆心坐标为(a,0),易知 ?a-5?2+?-1?2= ?a-1?2+?-3?2,解得 a=2,∴圆 心为(2,0),半径为 10,∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 5. 若当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆取得最大面积时,则直线 y=(k-1)x+2 的 倾斜角 α=________. 答案 解析 3 π 4 1 r= k2+4-4k2≤1,当有最大半径时有最大面积,此时 k=0,r=1,∴直线方 2

3π 程为 y=-x+2,设倾斜角为 α,则由 tan α=-1 且 α∈[0,π)得 α= . 4

题型一 求圆的方程 例1 根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思维启迪 (1)设圆的一般方程,利用待定系数法求解.

(2)求圆心和半径,确定圆的标准方程. 解 (1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

将 P、Q 两点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?

① ② ③

又令 y=0,得 x2+Dx+F=0. 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36, 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0. 4x0-2 (2)方法一 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0 ∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二 设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, y =-4x , ? ??3-x ? +?-2-y ? =r , 根据已知条件得? |x +y -1| ? ? 2 =r,
0 0 0 2 0 2 2 0 0



?x0=1, ? 解得?y0=-4, ? ?r=2 2.
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 思维升华 求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有 两种方法: (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三 个性质: ①圆心在过切点且垂直切线的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上; ③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解. 与 x 轴相切, 圆心在直线 3x-y=0 上, 且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程为__________________________________________.

答案

(x-1)2+(y-3)2=9 或(x+1)2+(y+3)2=9

解析 设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2, |a-b| 则圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离为 , 2 |a-b| 2 ∴r2=( ) +( 7)2,即 2r2=(a-b)2+14. 2 ∵所求的圆与 x 轴相切,∴r2=b2. 又∵所求圆心在直线 3x-y=0 上,∴3a-b=0. 联立①②③,解得 a=1,b=3,r2=9 或 a=-1,b=-3,r2=9. 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9 或(x+1)2+(y+3)2=9. 题型二 与圆有关的最值问题 例2 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. y 思维启迪 显然实数 x,y 所确定的点在圆 x2+y2-4x+1=0 上运动,而 则可看成是圆 x 上的点与原点连线的斜率,y-x 可以转化为截距,x2+y2 可以看成是圆上点与原点距离 的平方. 解 (1)如图,方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3为半 ① ② ③

径的圆. y 设 =k,即 y=kx, x 则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最 大、最小值. 由 |2k-0|
2

= 3,解得 k2=3, k +1

∴kmax= 3,kmin=- 3. (也可由平面几何知识,得 OC=2,CP= 3,∠POC=60° ,直线 OP 的倾斜角为 60° , 直线 OP′的倾斜角为 120° ) (2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,截距 b 取最小值, 由点到直线的距离公式, 得 |2-0+b| = 3,即 b=-2± 6, 2

故(y-x)min=-2- 6.

(3)x2+y2 是圆上点与原点的距离的平方,故连接 OC, 与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则 (x2+y2)max=|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=|OB|2=(2- 3)2=7-4 3. 思维升华 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合 y-b 以及转化的数学思想,其中以下几类转化极为常见,要注意熟记:(1)形如 m= 的最 x-a 值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动 直线截距的最值问题;(3)形如 m=(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为两点间距离的 平方的最值问题. 已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,则△PAB 面积的最大值与最小值分别是 1 A.2, (4- 5) 2 C. 5,4- 5 答案 B 解析 如图,圆心(1,0)到直线 AB: 2x-y+2=0 的距离为 d= 4 , 5 4 4 +1,最小值是 -1, 5 5 1 1 B. (4+ 5), (4- 5) 2 2 1 1 D. ( 5+2), ( 5-2) 2 2 ( )

故圆上的点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 又|AB|= 5, 故△PAB 面积的最大值和最小值分别是 2+ 题型三 与圆有关的轨迹问题 例3

5 5 ,2- . 2 2

设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形

MONP,求点 P 的轨迹. 思维启迪 结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关系,用相关点法(代入法)解决. 解 x y? 如图所示, 设 P(x, y), N(x0, y0), 则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?, x0-3 y0+4? ? 2 , 2 ?.由于平行四边形的对角线互相

线段 MN 的中点坐标为? 平分, x x0-3 y y0+4 故 = , = . 2 2 2 2

? ?x0=x+3 从而? . ?y0=y-4 ?

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4, 9 12? ? 21 28? 但应除去两点? ?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 P 在直线 OM 上的情况). 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A, B 是圆上两动点,且满足∠APB=90° ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的 轨迹方程. 解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),连接 OR,PR, 则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 又 R 是弦 AB 的中点,所以在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2= 36-(x2+y2). 又|AR|=|PR|= ?x-4?2+y2, 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2), 即 x2+y2-4x-10=0. 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,点 Q 即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点, x+4 y+0 所以 x1= ,y1= ,代入方程 x2+y2-4x-10=0, 2 2 x+4 2 y 2 x+4 得( ) +( ) -4× -10=0, 2 2 2 整理得 x2+y2=56,此即为所求顶点 Q 的轨迹方程.

利用方程思想求解圆的问题 典例: (12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P, Q 两点, 且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 (1)求圆心及半径,关键是求 m.

(2)利用 OP⊥OQ,建立关于 m 的方程求解. (3)利用 x1x2+y1y2=0 和根与系数的关系或利用圆的几何性质. 规范解答 解 方法一 将 x=3-2y,

代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= . 5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 故 -27+4m 12+m + =0,解得 m=3, 5 5 [6 分] [9 分] [12 分] [4 分] [2 分]

1 ? 5 此时 Δ>0,圆心坐标为? ?-2,3?,半径 r=2. 方法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M, ∵O1M⊥PQ,∴kO1M=2. 1? ∴O1M 的方程为 y-3=2? ?x+2?, 即 y=2x+4.
?y=2x+4 ? 由方程组? . ?x+2y-3=0 ?

[2 分]

[4 分]

解得 M 的坐标为(-1,2). 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即 r2=5,|MQ|2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2. ∴ 1+?-6?2-4m ? 1 ?2 =?-2+1? +(3-2)2+5. 4

[6 分]

∴m=3. 1 ? 5 ∴半径为 ,圆心坐标为? ?-2,3?. 2 方法三 设过 P、Q 的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0. 由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上.

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∴m-3λ=0,即 m=3λ. ∴圆系方程可化为 x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0. 即 x2+(1+λ)x+y2+2(λ-3)y=0. 1+λ 2?3-λ?? ∴圆心 M?- ? 2 , 2 ?, 又圆心在 PQ 上. 1+λ ∴- +2(3-λ)-3=0, 2 ∴λ=1,∴m=3. 1 ? 5 ∴圆心坐标为? ?-2,3?,半径为2.

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温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了, 简化思路,简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求 m 值, 即三种解法围绕“列出 m 的方程”求 m 值. (3)本题的易错点: 不能正确构建关于 m 的方程, 找不到解决问题的突破口, 或计算错误.

方法与技巧 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法, 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 失误与防范 1. 求圆的方程需要三个独立条件, 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方 程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是( )

A.原点在圆上 C.原点在圆内 答案 B

B.原点在圆外 D.不确定

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a, 因为 0<a<1,所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即 ?0+a?2+?0+1?2> 2a,所以原点在圆外. 2. 若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限, 那么直线 x+ay+b=0 一定不经过( A.第一象限 C.第三象限 答案 D 3 a,- b?, 解析 圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心为? 2 ? ? 1 b 1 b 则 a<0,b>0.直线 y=- x- ,k=- >0,- >0, a a a a 直线不经过第四象限. 3. 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案 A 解析 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 4. 点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y),

)

B.第二象限 D.第四象限

(

)

B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

(

)

? ? ?2x=x0+4 ?x0=2x-4 则? ?? , ?2y=y0-2 ?y0=2y+2 ? ?
2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

1 2 5. 若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长,则 + 的最 a b

小值为 A.1 答案 D 解析 由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上, ∴2a+2b-2=0,整理得 a+b=1, 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ + a b a b a b ≥3+2 b 2a × =3+2 2, a b B.5 C.4 2 D.3+2 2

(

)

b 2a 当且仅当 = ,即 b=2- 2,a= 2-1 时,等号成立. a b 1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2. a b 二、填空题 6. 如果直线 l 将圆 C:(x-2)2+(y+3)2=13 平分,那么坐标原点 O 到直线 l 的最大距离为 ________. 答案 13

解析 由题意,知直线 l 过圆心 C(2,-3), 当直线 OC⊥l 时,坐标原点到直线 l 的距离最大, |OC|= 22+?-3?2= 13. 7. 若方程 x2+y2-2x+2my+2m2-6m+9=0 表示圆,则 m 的取值范围是________;当半 径最大时,圆的方程为________. 答案 2<m<4 (x-1)2+(y+3)2=1 解析 ∵原方程可化为(x-1)2+(y+m)2=-m2+6m-8, ∴r2=-m2+6m-8=-(m-2)(m-4)>0,∴2<m<4. 当 m=3 时,r 最大为 1,圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=1. 8. 已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,1)

解析 ∵圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1. 三、解答题 9. 一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程.



设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令 y=0,得 x2+Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0. 又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0. 1+9-D+3E+F=0. 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 10.已知圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆 C 的方程. 解 因为圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1), ① ② ③

1 所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为- =-6, 1 6 其方程为 y+1=-6(x-4),即 y=-6x+23. 5 5 13 又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线 y- =- (x- ), 2 7 2 即 5x+7y-50=0 上,
?y=-6x+23, ? 由? 解得圆心为(3,5), ? ?5x+7y-50=0

所以半径为 ?9-3?2+?6-5?2= 37, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37. B 组 专项能力提升 (时间:35 分钟) 1. (2012· 湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分 的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 A 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件. 圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, ∴过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x+y-2=0. 2. 光线从 A(1,1)出发, 经 y 轴反射到圆 C: x2+y2-10x-14y+70=0 的最短路程为________. 答案 6 2-2 解析 圆心坐标为 C(5,7),半径为 2,A(1,1)关于 y 轴的对称点为 A1(-1,1), ∴最短路程为|A1C|-2=6 2-2. B.y-1=0 D.x+3y-4=0 ( )

3. 设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点, 过点 P 作圆 C: x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线, 切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为________. 答案 3

解析 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1, 10 易知|PC|的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 =2, 5 而四边形 PACB 的面积等于 1 2S△PAC=2×( |PA|· |AC|) 2 =|PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 22-1= 3.
? ?x-2y≥0, 4. 已知 D 是由不等式组? 所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的弧 ?x+3y≥0 ?

长为________. 答案 π 2

解析 作出可行域 D 及圆 x2+y2=4,如图所示, 图中阴影部分所在圆心角 θ=α-β 所对的弧长即为所求. 1 1 1 1 易知图中两直线的斜率分别为 、- ,得 tan α= ,tan β=- , 2 3 2 3 1 1 + 2 3 tan θ=tan(α-β)= =1, 1 1 1- × 2 3 π π π 得 θ= ,得弧长 l=θ· R= ×2= (R 为圆的半径). 4 4 2 5. (2013· 课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 解 2 ,求圆 P 的方程. 2

(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.
2

则 y +2=r2,x2+3=r2. ∴y2+2=x2+3,即 y2-x2=1. ∴P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0), 则 |x0-y0| 2 = ,即|x0-y0|=1. 2 2

∴y0-x0=± 1,即 y0=x0± 1.
2 2 2 ①当 y0=x0+1 时,由 y2 0-x0=1 得(x0+1) -x0=1.

?x0=0, ? ∴? ∴r2=3. ?y0=1, ?

∴圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3.
2 2 2 ②当 y0=x0-1 时,由 y2 0-x0=1 得(x0-1) -x0=1.

? ?x0=0, ∴? ∴r2=3. ?y0=-1, ?

∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3. 综上所述,圆 P 的方程为 x2+(y± 1)2=3. 6. 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|, 且点 B 的纵坐标大于 0. → (1)求AB的坐标; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程. 解 → (1)设AB=(x,y),

→ → 由|AB|=2|OA|,AB· OA=0,
?x2+y2=100, ?x=6, ?x=-6, ? ? ? 得? 解得? 或? ?4x-3y=0, ?y=8 ?y=-8. ? ? ?

→ 若AB=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB>0 矛盾.
?x=-6, ? → 所以? 舍去.即AB=(6,8). ?y=-8 ?

(2)圆 x2-6x+y2+2y=0, 即(x-3)2+(y+1)2=( 10)2, 其圆心为 C(3,-1),半径 r= 10, 1 → → → ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),∴直线 OB 的方程为 y= x. 2 1 设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为(a,b), 2 b+1 ? ?a-3=-2, 则? b-1 1 a+3 ? 2 =2· 2 , ?
?a=1, ? 解得? ?b=3, ?

∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.


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