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湖北省部分重点中学2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含答案

2016 年秋季湖北省部分重点中学期末联考 高一数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? ? x x ? 3? , B ? ? x x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ? x 0 ? x ? 3? B. ? x x ? 0? ) C.第一或第二象限角 D.小于 180? ) D. R

C. ? x x ? 3?

2.已知 ? 是锐角,那么 2? 是( A.第一象限角 的正角

B.第二象限角

? ? 3.对于任意两个向量 a ,b ,下列说法正确的是( ? ? ? ? ? ? ? ? A.若 a ,b 满足 a ? b ,且 a 与 b 同向,则 a ? b

) B.当实数 ?=0 时,

?a ? 0
? ? ? ? C. a ? b ? a b ? ? ? ? D. a ? b ? a ? b

?

4.已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是( A. 1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 )



5.设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log 2 3 ,则 a ,b ,c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 6.已知 AB ? a ? 5b , BC ? ?2a ? 8b , CD ? ? a ? b ,且 A , B , D 三点共线,则 ? 的值为

?

?

( A.3

) B. ?3 C.2 D. ?2

7.某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到作业本再上学,为 了赶时间快速行驶,下图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离,则较符合该同 学走法的图是( )

1

A.

B.

C.

D.

?? ? ? 8.把函数 f ? x ? ? sin ? ?3x ? ? 的周期扩大为原来的 2 倍,再将其图象向右平移 个单位长 6 3 ? ?
度,则所得图象的解+析式为( )
?? ? ? 2? 3x ? A. y ? sin ? ? 6 x ? B. y ? cos 6 x C. y ? sin ? ? ? 2 ? ?6 ? ? 3 ? ? 3 ? D. y ? sin ? ? ? x ? ? 6 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 9.若 e1 ,e2 是夹角为 60? 的两个单位向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 ,则 a ,b 的夹角为



) B. 120?
? x2 ? x ? 2

A. 60?

C. 30?

D. 150?

10.设函数 f ? x ? ? 2 对于函数 f ? x ? ? 2

? f ? x ? ,f ? x ? ? K ? ,对于给定的正数 K ,定义函数 f K ? x ? ? ? ,若 ? ? K ,f ? x ? ? K

? x2 ? x ? 2

定义域内的任意 x ,恒有 f K ? x ? ? f ? x ? ,则( B. K 的最大值为 1

) D. K

A. K 的最小值为 2 2 的最小值为 1

C. K 的最大值为 2 2

??? ? ??? ? 11.如图,△ ABC 的外接圆的圆心为 O , AB ? 2 , AC ? 3 , BC ? 7 ,则 AO ? BC ? (



A.

3 2

B.

5 2

C. 2

D.3

?? 4? ? ? ? ? 4? ? 12.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 在 ? 0 , ? 上单调递增,在 ? ,2? ? 上单调递 6 3 3 ? ? ? ? ? ?
减,当 x ? ?? ,2? ? 时,不等式 m ? 3 ? f ? x ? ? m ? 3 恒成立,则实数 m 的取值范围为(
?1 ? A. ? , 1? ?2 ?



B. ? ?? ,? 2 ?

? 5 ? C. ? ? ,4 ? ? 2 ?
2

7? ? D. ? ?2 , ? 2? ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.点 C 在线段 AB 上,且
??? ? ??? ? ? ??? ? AC 5 ??? ? , AC ? ? AB , BC ? ? AB ,则 ? ? ? ? CB 2



14.某班共有 50 名学生,通过调查发现有 30 人同时在张老师和王老师的朋友圈,只有 1 人 不在任何一个老师的朋友圈, 且张老师的朋友圈比王老师的朋友圈多 7 人, 则张老师的朋友 圈有 人.
1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

15.已知 ? 为第四象限角,化简 cos ?



?log 5 x ? 3 ,? x ? 3? ? 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,若函数 F ? x ? ? f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c 有五个不同的零 3 , x ? 3 ? ? ? ?

点 x1 ,x2 , … ,x5 ,则 f ? x1 ? x2 ? … ? x5 ? ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x 3 ? 3x ? 27 , B ? ? x log 2 x ? 1? . (1)求 A ? ? CR B ? ; (2)已知集合 C ? ? x 1 ? x ? a? ,若 C ? A ? C ,求实数 a 的取值集合. 18. (本小题满分 12 分) 已知 f ? a ? ?
sin 2 ?? ? a ? ? cos ? 2? ? a ? ? tan ? ?? ? a ? sin ? ?? ? a ? ? tan ? ?a ? 3? ?

?

?



(1)化简 f ? a ? ; (2)若 f ? a ? ? (3)若 a ? ?
1 ? ? ,且 ? a ? ,求 cos a ? sin a 的值; 8 4 2

31? ,求 f ? a ? 的值. 3

19. (本小题满分 12 分)
? ? ? ?? ? ? 已知 a ? ? sin ? 2 x ? ? , 1? , b ? 3? ? ? ?

?

? ? 3 ,? 1 , f ? x ? ? a ? b .

?

(1)求 f ? x ? 的周期及单调减区间;

?? ? (2)已知 x ? ?0 , ? ,求 f ? x ? 的值域. 2? ?
3

20. (本小题满分 12 分) 设 a 是实数, f ? x ? ? a ?
2 ? x ? R? . 2 ?1
x

(1)证明: f ? x ? 是增函数; (2)是否存在实数 a ,使函数 f ? x ? 为奇函数? 21. (本小题满分 12 分) 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百台,需要新增加
1 投入 2.5 万元. 经调查, 市场一年对此产品的需求量为 500 台, 销售收入为 R ? t ? ? 6t ? t 2(万 2

元) , ? 0 ? t ? 5 ? ,其中 t 是产品售出的数量(单位:百台) . (1)把年利润 y 表示为年产量 x (单位:百台:的函数; (2)当年产量为多少时,工厂所获得年利润最大? 22. (本小题满分 12 分)
??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? ? 如图,在 △OAB 中, OC ? OA , OD ? OB , AD 与 BC 交于点 M ,设 OA ? a , OB ? b . 4 2

? ? ???? ? (1)用 a ,b 表示 OM ; ??? ? ??? (2)在线段 AC 上取一点 E ,在线段 BD 上取一点 F ,使 EF 过点 M ,设 OE ? pOA , ??? ? ??? ? 1 3 ? ? 1. OF ? qOB ,求证: 7 p 7q

2016~2017 学年度上学期 孝昌一中、应城一中、孝感一中三校期末联考

高一数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 D

4

二、填空题: 13.

3 7

14.43

15. cos ? ? sin ?

16. log 5 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分) 解:(1) A ? {x | 3 ? 3 x ? 27} ? {x | 1 ? x ? 3} ……………….1 分 ………………….2 分 ………………….4 分 ………………….5 分 ………………….7 分 ………………….9 分 ………………….10 分

B ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | x ? 2} ,? C R B ? {x x ? 2}
? A ? (C R B) ? {x 1 ? x ? 2}.
(2) ? C ? A ? C

?C ? A .

①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ; ②当 a ? 1 时, C ? A ,则 1 ? a ? 3 ;

3? 综合①②,可得 a 的取值范围是 ?? ?,
18、 (本小题满分 12 分) 解 : α . (1) 由 诱 导 公 式 …………….4 分

f(α ) =

sin α ·cos α ·tan α = sin α ·cos ?-sin α ??-tan α ?

2

1 (2)由 f(α )=sin α cos α = 可知 8 1 2 2 2 (cos α - sin α ) = cos α - 2sin α cos α + sin α = 1 - 2sin α cos α = 1 -2× = 8 3 . ……….6 分 4 又∵ 3 . 2 π π <α < , ∴cos α <sin α , 即 cos α - sin α <0.∴cos α - sin α = - 4 2 ………8 分

31π 5π ? 31π ?=cos?-31π ?·sin?-31π ? (3) ∵α =- =-6×2π + , ∴f?- ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 ? ? ? 5π ? 5π ? 5π 5π 1 ? 3? ? ? = cos ?-6×2π + ? ·sin ?-6×2π + ? = cos ·sin = · ?- ? = - 3 ? 3 ? 3 3 2 ? 2? ? ? 3 . 4 …….12 分

19、 (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ? a ? b ?

3 sin( 2 x ?

?
3

) ?1
5

…………………1 分

所以 f ( x) 的周期 T ? 令 2 k? ?

2? ?? . 2

…………………3 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12
…………………5 分

解得 k? ?

5? 11? ? x ? k? ? 12 12

?[ k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 为 f ( x) 的单调减区间. 12 12

…………………6 分

(2) 因为 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3 ……………9 分

所以 f ( x) min ?

3 ? (?

3 5 ) ? 1 ? ? . f ( x) max ? 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1. ……11 分 2 2
5 , 3 ? 1] 2

所以 f ( x) 的值域为 [?

………………12 分

20、 (本小题满分 12 分) 解:(1)证明:设 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= ∴f(x)在 R 上为增函数. (2) 存在 a=1,使 f ( x) 为奇函数 >0,即 f(x2)>f(x1). …………………………….. ……………………………..


6分 8分

2x 1 2 若 f ( x) 为奇函数,则 f(-x)=a- -x =a- , 2 +1 1+ 2x 2 -f(x)=-a+ x ,由 f(-x)=-f(x), 2 +1 得 a- 2x 1 2 , x=-a+ x 1+2 2 +1


…………………………….10 分

∴(a-1)(2x+1)=0 恒成立, ∴a=1. …………………………….. 12 分

(也可先由 f (0) ? 0 得到 a=1,将 a=1 代入解+析式,再证明 f ( x) 为奇函数.) 21、 (本小题满分 12 分) 解: (1)当 0 ? x ? 5 时 f ( x) ? 6 x ?

1 2 1 x ? 0.5 ? 2.5 x ? ? x 2 ? 3.5 x ? 0.5 2 2

…………3 分

当 x ? 5 时 f ( x) ? 6 ? 5 ? ? 52 ? 0.5 ? 2.5 x ? 17 ? 2.5 x

1 2

…………5 分

6

? 1 2 ?? x ? 3.5 x ? 0.5 (0 ? x ? 5) 即 y ? f ( x) ? ? 2 ( x ? 5) ? ?17 ? 2.5 x
(2)当 0 ? x ? 5 时 f ( x) ? ? ( x 2 ? 7 x ? 1) ? ? ( x ? ) 2 ? ∴当 x ? 3.5 ? (0.5] 时, f ( x) max ?

…………6 分

1 2

1 2

7 2

45 8
………………8 分

45 ? 5.625 8

当 x ? 5 时, f ( x) 为 (5, ??) 上的减函数, 则 f ( x) ? f (5) ? 17 ? 2.5 ? 5 ? 4.5 ….10 分 又 5.625 ? 4.5 ∴ f ( x) max ? f (3.5) ? 5.625 ……….11 分 …………12 分

故当年产量为 350 台时,工厂所获年利润最大. 22、 (本小题满分 12 分) → → → 1 (1)解 设OM=ma+nb,则AM=(m-1)a+nb,AD=-a+ b. 2 → → m-1 n ∵点 A、M、D 共线,∴AM与AD共线,∴ = ,∴m+2n=1.① -1 1 2 → → → → 1 ? 1? CM=OM-OC=?m- ?a+nb,CB=- a+b. 4 ? 4? 1 → → m- 4 n ∵点 C、M、B 共线,∴CM与CB共线,∴ = , ∴4m+n=1.② 1 1 - 4 → 1 3 1 3 联立①②可得 m= ,n= ,∴OM= a+ b. 7 7 7 7

…………3 分

…………6 分

…………8 分

→ → 1 ? 3 ? (2)证明 EM=? -p?a+ b,EF=-pa+qb, ?7 ? 7 1 3 → → -p 7 7 ∵EF与EM共线, ∴ = , -p q 1 3 1 3 ∴ q-pq=- p,即 + =1. 7 7 7p 7q ……………12 分

7


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