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湖南省张家界市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(b卷)


湖南省张家界市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(B 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A{1,2},B{2,﹣1,0},则 A∩B 是() A.{2} B.{﹣1} C.{﹣1,2} D.{0,2} 2. (5 分)函数 y= A.{x|x<2} 的定义域是() B.{x|x>2} C.{x|x≠2} D.{x|x≠0}

3. (5 分)已知角 α 的终边过点 P(3,4) ,则 tanα 的值是() A.﹣ B.﹣ C .1 D.

4. (5 分)已知向量 =(x,3) , =(3,﹣1) ,且 ⊥ ,则 x 等于() A.﹣1 B.﹣9 C .9 D.1

5. (5 分)下列函数中,偶函数是() A.y=x
3

B.y=x
x

2

C.y=x

﹣3

D.

6. (5 分)若指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点(4,16) ,则 f(1)=() A.4 B.2 C .1 D.0 7. (5 分)要得到函数 y=sin(x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位 )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

8. (5 分)如果| |=| |=1, 与 的夹角为 θ, ? = ,则 θ=() A.90° B.30° = ( C.60° + D.120°

9. (5 分)已知 O 是平面上任意一点,且 A.三等分点 B.中点

) ,则点 C 是 AB 的() D.无法判断

C.四等分点

10. (5 分)函数 y=f(x)是定义在 R 上的减函数, 且 f(1)=0,则满足 f(lgx)<0 的解集为() A.(0,1) B.(0, ) C.(10,+∞) D.(1,+∞)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. (5 分)求值:lg5+lg2=. 12. (5 分)sin135°=.

13. (5 分)比较大小:3

3

(填“>”或“<”) .

14. (5 分)

=.

15. (5 分)下列四个语句中,有一个语句是错误的,这个错误的语句序号为. ①若 ﹣ = ,则 = ②若 ? =0,则 = 或 = ③若 k∈R,k = ,则 k=0 或 = .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|2<x<4},B={x|3x﹣7>8﹣2x},求: (1)集合 B 及 A∪B; (2)?R(A∪B) . 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin(2x+ (1)写出函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求函数 f(x)的最大值. )+1,x∈R,

18. (12 分)已知向量 =(2,1) , =(1,1) , =(5,2) , =λ + (λ 为常数) . (1)求 + ; (2)若 与 平行,求实数 λ 的值.

19. (13 分)已知向量 =(sinx,1) , (cosx,0) ,x∈R. (1)当 x= 时,求向量 + 的坐标;
2

(2)若函数 f(x)=| + | ﹣m,f(0)=0,求实数 m 的值.

20. (13 分)已知某产品生产成本 C 关于产量 x 的函数关系式为 C=15x+30,销售单价 p 关于产量 x 的函 数关系式为 p=55﹣x(销售收入=销售单价 x 产量,利润=销售收入﹣生产成本) . (1)写出销售收入 f(x)关于产量 x 的函数关系式(需注明 x 的范围) ; (2)产量 x 为何值时,利润最大? 21. (13 分)函数 f(x)=x﹣ (λ 为常数) ,若 x=1 是 f(x)的一个零点.

(1)求 λ 的值; (2)若 g(x)=x﹣f(x) ,用单调性定义证明函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)若函数 h(x)= ,求 h 的值.

湖南省张家界市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(B 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A{1,2},B{2,﹣1,0},则 A∩B 是() A.{2} B.{﹣1} C.{﹣1,2} D.{0,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A{1,2},B{2,﹣1,0}, ∴A∩B={2}, 故选:A 点评: 本题考查了交集及其运算,是基础的会考题型. 2. (5 分)函数 y= A.{x|x<2} 的定义域是() B.{x|x>2} C.{x|x≠2} D.{x|x≠0}

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分母不为 0,从而得到函数的定义域. 解答: 解:由题意得:x﹣2≠0,解得:x≠2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的定义域问题,是一道基础题. 3. (5 分)已知角 α 的终边过点 P(3,4) ,则 tanα 的值是()

A.﹣

B. ﹣

C. 1

D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由题意可得 x=3,y=4,由任意角的三角函数的定义可得 tanα= = ,运算求得结果. 解答: 解:由题意可得 x=3,y=4,由任意角的三角函数的定义可得 tanα= = , 故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

4. (5 分)已知向量 =(x, 3) , =(3,﹣1) ,且 ⊥ ,则 x 等于() A.﹣1 B. ﹣9 C. 9 D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直的性质以及向量的数量积的坐标表示得到关于 x 的方程解之. 解答: 解:因为向量 =(x,3) , =(3,﹣1) ,且 ⊥ , 所以 ? =3 x﹣3=0,解得 x=1; 故选 D. 点评: 本题考查了向量垂直的性质;如果两个向量垂直,那么它们的数量积为 0. 5. (5 分)下列函数中,偶函数是() A.y=x
3

B.y=x

2

C.y=x

﹣3

D.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质 及应用. 分析: 运用奇偶性的定义,求出定义域判断是否关于原点对称,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可 得到偶函数的函数. 3 解答: 解:对于 A.定义域为 R,f(﹣x)=﹣x =﹣f(x) ,则为奇函数; 2 对于 B.定义域为 R,f(﹣x)=(﹣x) =f(x) ,则为偶函数; ﹣3 对于 C.定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=(﹣x) =﹣f(x) ,则为奇函数; 对于 D.定义域为 R,f(﹣x)= =﹣f(x) ,则为奇函数.

故选:B. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题. 6. (5 分)若指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点(4,16) ,则 f(1)=() A.4 B. 2 C. 1 D.0 考点: 指数函数的单调性与特殊点.
x

专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据指数函数过点(4,16)求出 a 的值,再代入计算即可 解答: 解:指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点(4,16) , 4 ∴16=a , 解得 a=2, ∴f(x)=2 , 1 ∴f(1)=2 =2 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题
x x

7. (5 分)要得到函数 y=sin(x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位

)的图象,只需将函数 y=sinx 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 可根据“左加右减,上加下减”的平移原则判断即可. 解 答: 解:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可知:函数 y=sinx 的图象向右平移 可得到 y=sin(x﹣ )的图象, 个长度单位即

故选 B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,重点考查学生对“左加右减,上加下减”的平移原则 的掌握,属于基础题.

8. (5 分)如果| |=| |=1, 与 的夹角为 θ, ? = ,则 θ=() A.90° B.30° C.60° D.120°

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量数量积的定义变形解答. 解答: 解:因为| |=| |=1, 与 的夹角为 θ,所以 ? = =| || |cosθ,所以 cosθ= ,所以 θ=60°; 故选 C. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用,熟练公式是关键.

9. (5 分)已知 O 是平面上任意一点,且 A.三等分点 B.中点

= (

+

) ,则点 C 是 AB 的() D.无法判断

C.四等分点

考点: 向量的三角形法则. 专题: 平面向量及应用.

分析: 利用向量的平行四边形法则及其性质即可得出. 解答: 解:∵ = ( + ) ,∴点 C 是 AB 的中点.

故选:B. 点评: 本题考查了向量的平行四边形法则及其性质,属于基础题. 10. (5 分)函数 y=f(x)是定义在 R 上的减函数,且 f(1)=0,则满足 f(lgx)<0 的解集为() A.(0,1) B.(0, ) C.(10,+∞) D.(1,+∞)

考点: 函数单调性的性质;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先对函数关系式进行转化,进一步利用函数的单调性求出结果. 解答: 解:已知函数 f(1)=0 则:f(lgx)<0 转化为:f(lgx)<f(1) 由于函数 y=f(x)是定义在 R 上的减函数, 所以:lgx>1 则:x>10 所以函数的解集为:x∈(10,+∞) 故选:C 点评: 本题考查的知识要点:解不等式的应用,函数单调性的应用,属于基础题型. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. (5 分)求值:lg5+lg2=1. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:lg2+lg5=lg10=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题.

12. (5 分)sin135°=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 运用特殊角的三角函数值,和诱导公式即可化简求值. 解答: 解:sin135°=sin(180°﹣45°)=sin45 故答案为: . .

点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值,和诱导公式化简求值,属于基础题.

13. (5 分)比较大小:3

<3

(填“>”或“<”) .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性即可求出 解答: 解:因为 y=3 为增函数, < , 所以 3 <3 ,
x

故答案为:< 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题

14. (5 分)

=1.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 由两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求值. 解答: 解: =tan45°=1.

故答案为:1. 点评: 本题主要考查了两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值,属于基础题. 15. (5 分)下列四个语句中,有一个语句是错误的,这个错误的语句序号为. ①若 ﹣ = ,则 = ②若 ? =0,则 = 或 = ③若 k∈R,k = ,则 k=0 或 = . 考点: 平面向量数量积的运算;向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则解答. 解答: 解:对于①,若 ﹣ = ,则 = 正确; 对于②,若 ? =0,则 = 或 = 或者 ;故②错误;

对于③,若 k∈R,k = ,则 k=0 或 = 正确. 故答案为:② 点评: 本题考查了向量的运算,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|2<x<4},B={x|3x﹣7>8﹣2x},求:

(1)集合 B 及 A∪B; (2)?R(A∪B) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出 B 中不等式的解集确定出 B,求出 A 与 B 的并集即可; (2)由 A 与 B,求出两集合的并集,找出并集的补集即可. 解答: 解: (1)由 B 中不等式移项合并得:5x>15, 解得:x>3,即 B={x|x>3}, ∵A={ x|2<x<4}, ∴A∪B={x|2<x<4}; (2)∵A={x|2<x<4 },B={x|x>3}, ∴A∪B={x|2<x<4}, 则?R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥4}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. )+1,x∈R,

17. (12 分)已知函数 f(x)= sin(2x+ (1)写出函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求函数 f(x)的最大值.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由正弦函数的周期公式即可直接求值. (2)当 x∈时先求得 2x+ 解答: 解: (1)∵T= 的范围,从而根据正弦函数的单调性即可求函数 f(x)的最大值. ,

∴f(x)的最小正周期为 π…. (6 分) (2)当 x∈时,2x+ ∴x= 时,sin(2x+ ∈…(9 分) )=1,函数 f(x)有最大值 2…. (12 分)

点评: 本题主要考查了正弦函数的周期性和单调性,属于基本知识的考查.

18. (12 分)已知向量 =(2,1) , =(1,1) , =(5,2) , =λ + (λ 为常数) . (1)求 + ; (2)若 与 平行,求实数 λ 的值. 考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量加法的坐标运算,即可得到; (2)由向量共线的坐标表示,解方程,即可得到结论.

解答: 解: (1)由向量 =(2,1) , =(1,1) ,则 + =(3,2) ; (2)由 =(1,1) , =(5,2) , =λ + , 则 =(λ+5,λ+2) , 又 =(2,1) , 若 与 平行,则 λ+5=2(λ+2) , 解得,λ=1. 即实数 λ 的值为 1. 点评: 本题考查向量的加法的坐标运算,考查向量共线的坐标表示,考查运算能力,属于基础题.

19. (13 分)已知向量 =(sinx,1) , (cosx,0) ,x∈R. (1)当 x= 时,求向量 + 的坐标;
2

(2)若函数 f(x)=| + | ﹣m,f(0)=0,求实数 m 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)由特殊角的三角函数值,化简向量 a,b,再由向量加法的坐标运算即可得到; (2)运用向量加法的坐标运算和模的公式,计算即可得到 m. 解答: 解: (1)向量 =(sinx,1) , (cosx,0) , 当 x= 时, =( ,1) ;
2 2

,1) , =(

,0) ,

则 + =(

(2)函数 f(x)=| + | ﹣m=(sinx+cosx) +1﹣m =sin x+cos x+2sinxcosx+1﹣m =2+sin2x﹣m, 由 f(0)=0,则 2+sin0﹣m=2﹣m=0, 解得,m=2. 则实数 m 的值为 2. 点评: 本题考查向量加法的坐标运算,考查向量的模的求法,考查三角函数的化简及运算能力,属于基 础题. 20. (13 分)已知某产品生产成本 C 关于产量 x 的函数关系式为 C=15x+30,销售单价 p 关于产量 x 的函 数关系式为 p=55﹣x(销售收入=销售单价 x 产量,利润=销售收入﹣生产成本) . (1)写出销售收入 f(x)关于产量 x 的函数关系式(需注明 x 的范围) ; (2)产量 x 为何值时,利润最大?
2 2

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件即可写出销售收入 f(x)关于产量 x 的函数关系式; (2)根据一元二次函数的最值性质即可得到结论. 解答: 解: (1)由题意知 f(x)=xp=x(55﹣x) , (0<x<55) . (2)利润 y=x(55﹣x)﹣(15x+30)=﹣x +40x﹣30=﹣(x﹣20) +370, 当 x=20 时,函数 f(x)的最大值为 370. 故为了获得最大利润,产量应定为 20 时,利润最大. 点评: 本题主要考查函数的应用问题,利用一元二次函数的图象和性质是解决本题的关键.
2 2

21. (13 分)函数 f(x)=x﹣

(λ 为常数) ,若 x=1 是 f(x)的一个零点.

(1)求 λ 的值; (2)若 g(x)=x﹣f(x) ,用单调性定义证明函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)若函数 h(x)= ,求 h 的值.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 x=1 是 f(x)的一个零点,f(1)=0,求出 λ 的值; (2)求出 g(x)的解析式,用单调性的定义证明 g(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)λ=1 时,求出函数 h(x)的解析式,再计算 h 的值. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x﹣ 且 x=1 是 f(x)的一个零点, ∴f(1)=1﹣λ=0, 解得 λ=1;…(4 分) (2)∵g(x)=x﹣f(x)=x﹣(x﹣ )= ,…(5 分) 任取 x1、x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2, ∴g(x1)﹣g(x2)= ﹣ = , (λ 为常数) ,

又∵0<x1<x2, ∴x2﹣x1>0,x1x2>0, ∴g(x1)﹣g(x2)>0, 即 g(x1)>g(x2) , ∴函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数;…(8 分) (3)∵λ=1 时,函数 h(x)= ∴h( )=log2 =﹣2;…(11 分) h=h=3 = .…(13 分)
﹣2

,…(9 分)

点评: 不同考查了函数的零点以及利用定义证明函数的单调性,求分段函数的函数值问题,是综合性题 目.


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