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高考新课标文科数学-第八章平面解析几何第7讲


第八章 平面解析几何

第7讲

抛物线

第八章 平面解析几何

1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;

相等 (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离__________ ; 不在 (3)定点__________ 定直线上.

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第八章 平面解析几何

2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离

图形

顶点
对称轴 焦点 y= 0

O(0,0)
p p p p (0, ) (0,- ) ( ,0) (- ,0) F_________ F_________ F _______ F __________ 2 2 2 2
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x=0

第八章 平面解析几何

标准 方程

y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离 1 e=__________
p x= 2 p p y= - y= 2 2 y≥0,x∈ x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≤0,x∈R R

离心率 p 准线 x=- 2 方程 范围

开口 向右 方向 焦半径 |PF| p (其中 = x0+2 P(x0,y0))

向左
|PF| p = -x0+ 2

向上
|PF| p = y0+2

向下
|PF| p - y + = 0 2
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第八章 平面解析几何

[做一做] 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线 的方程是( C ) A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x

解析:由抛物线准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右, 故抛物线方程为 y2=8x.
2.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( B ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)

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第八章 平面解析几何

1.辨明两个易误点 (1)抛物线的定义中易忽视 “定点不在定直线上” 这一条件, 当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂 直的直线. (2)抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其 几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义.

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第八章 平面解析几何

2.与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据) 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= . 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). sin θ 1 1 2 (3) + 为定值 . p |AF| |BF|

(4)以 AB 为直径的圆与准线相切. (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.
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第八章 平面解析几何

[做一做] 3.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=x 的焦点 5 为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0,则 x0=( C ) 4 A.4 C.1 B.2 D.8

1 ? ? 解析: 如图, F?4,0?, 过 A 作 AA′⊥准线 l, ∴|AF|=|AA′|, p 5 1 ∴ x0=x0+ =x0+ , 4 2 4 ∴x0=1.

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第八章 平面解析几何

4.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心
2=4x y 的轨迹方程为________.

解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距 离与到直线 x=-1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动 圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x.

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第八章 平面解析几何

考点一 考点二 考点三

抛物线的定义及其应用 抛物线的标准方程及性质(高频考点) 直线与抛物线的位置关系

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第八章 平面解析几何

考点一

抛物线的定义及其应用

(1)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C → → 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( C ) 7 5 A. B. 2 2 C.3 D.2

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第八章 平面解析几何

(2)(2015· 长春市调研)已知直线 l1: 4x-3y+6=0 和直线 l2: x=-1,则抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是( B ) 3 5 A. 5 11 C. 5 B.2 D.3

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第八章 平面解析几何

[解析]

→ → (1)∵FP=4FQ,

|PQ| 3 → → ∴|FP|=4|FQ|,∴ = . |PF| 4 如图,过 Q 作 QQ′⊥l,垂足为 Q′, 设 l 与 x 轴的交点为 A,则|AF|=4, |PQ| |QQ′| 3 ∴ = = , |PF| |AF| 4 ∴|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3, 故选 C.
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第八章 平面解析几何

(2)由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线 的焦点 F 为(1,0),则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值即为焦点 F 到直 |4-0+6| 线 l1:4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是 =2. 5 [规律方法] 利用抛物线的定义解决此类问题, 应灵活地运

用 抛 物 线 上 的 点 到 焦点的 距 离 与 到 准 线 距 离的等 价 转 化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解 决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.

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第八章 平面解析几何

1.(1)(2015· 云南省统一检测)设经过抛物线 C 的 焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,那么抛物线 C 的 准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( B ) A.相离 B.相切 C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心 (2)(2015· 浙江杭州模拟)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点, 7 点 P 到准线的距离为 d, 且点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A( , 2 4),则|PA|+|PM|的最小值是( C ) 7 A. B.4 2 9 C. D.5 2
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第八章 平面解析几何

解析:(1)设圆心为 M,过点 A、B、M 作准线 l 的垂线, 1 垂足分别为 A1、B1、M1,则|MM1|= (|AA1|+|BB1|).由抛 2 物线定义可知 |BF| = |BB1| , |AF| = |AA1| ,所以 |AB| = |BB1| 1 +|AA1|,|MM1|= |AB|,即圆心 M 到准线的距离等于圆的 2 半径,故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

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第八章 平面解析几何

1 1 (2)抛物线焦点 F( ,0),准线 x=- ,如图,延长 PM 交 2 2 准线于 N,由抛物线定义得|PF|=|PN|, ∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5, 而 1 1 9 |MN|= ,∴|PA|+|PM|≥5- = ,当且仅当 A,P,F 三 2 2 2 点共线时,取“=”号,此时,点 P 位于抛物线上,∴|PA| 9 +|PM|的最小值为 . 2

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第八章 平面解析几何

考点二

抛物线的标准方程及性质(高频考点)

抛物线的标准方程及性质是高考的热点,考查时多以选择 题、填空题形式出现,个别高考题有一定难度,高考对该 内容的考查主要有以下三个命题角度: (1)求抛物线方程; (2)由已知求参数 p; (3)与其它知识交汇求解综合问题.

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第八章 平面解析几何

(1)(2015· 昆明三中、玉溪一中统考 ) 抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点为 F, O 为坐标原点, M 为抛物线上一点, 且|MF|=4|OF|,△MFO 的面积为 4 3,则抛物线方程为 ( B ) A.y2=6x B.y2=8x 2 2 15 C.y =16x D.y = x 2 x2 y2 (2)(2015· 山东德州模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)分别交于 O,A,B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的 面积为 3,则 p=( B ) 3 A.1 B. 2 C.2 D.3
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第八章 平面解析几何

p [解析] (1)依题意,设 M(x,y),|OF|= ,所以|MF|=2p, 2 p 3p x+ =2p,x= ,y= 3p,又△MFO 的面积为 4 3,所 2 2 1 p 以 × × 3p=4 3, 解得 p=4, 所以抛物线方程为 y2=8x. 2 2 b (2)双曲线的渐近线方程为 y=± x, a 因为双曲线的离心率为 2,所以 b2 b 1+ 2=2, = 3. a a

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第八章 平面解析几何

? ? ?y= 3x, ?x=0 由? 2 解得? 或? ? ?y =2px, ?y=0 ?

2p x= , 3 2 3p y= . 3

1 2 3p 2 p 由曲线的对称性及△AOB 的面积得,2× × × = 3, 2 3 3 9 3 3 解得 p = ,p= (p=- 舍去).故选 B. 4 2 2
2

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第八章 平面解析几何

[规律方法] (1)求抛物线的标准方程的方法: ①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件确定 p 值即可. ②因为抛物线方程有四种标准形式, 因此求抛物线方程时, 需先定位,再定量. (2)确定及应用抛物线性质的技巧: ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关 键是将抛物线方程化成标准方程. ②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.

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第八章 平面解析几何

2.(1)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( C ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 解析:(1)设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N. p ? ? p x + 0 2 y0?. ,0?,∴N 点的坐标为? 由 y2=2px,F? ?2 ? ? 2 ,2?
p p 由抛物线的定义知,x0+ =5,∴x0=5- . 2 2
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第八章 平面解析几何

∴y0=

p? |MF| 5 25 ? 2p?5-2?.∵|AN|= = ,∴|AN|2= . 2 2 4

2 ?x0+p?2 y0 25 ? ? 2 - 2 ∴? ? +? 2 ? = 4 . ? 2 ? 2 p p ?5- + ? ? p? ?2 ? ? 2 2? ? 2p?5-2? ? 25 即 + = . 4 4 ? -2? 2 ? ? p? ? 2p?5-2? 2



-2=0.整理得 p -10p+16=0. 2 解得 p=2 或 p=8. ∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x.
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第八章 平面解析几何

(2)抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写 出它的焦点坐标与准线方程.
解:由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则|MA|=|AN|,且 AN= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-( 5)2=2, ∴N( 5,±2).

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第八章 平面解析几何

5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± , 2 5 5 2 故抛物线的方程为 x = y 或 x =- y. 2 2
2

5? 5 5 ? 抛物线 x = y 的焦点坐标为?0,8?,准线方程为 y=- . 2 8
2

5? 5 5 ? 抛物线 x =- y 的焦点坐标为?0,-8?, 准线方程为 y= . 2 8
2

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第八章 平面解析几何

考点三

直线与抛物线的位置关系

(1)(2014· 高考辽宁卷)已知点 A(-2, 3)在抛物线 C: y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( D ) 1 2 A. B. 2 3 3 4 C. D. 4 3 (2)(2014· 高考四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, → → B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA· OB=2(其中 O 为 坐标原点), 则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( B ) A.2 B.3 17 2 C. D. 10 8
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第八章 平面解析几何

p [解析] (1)抛物线 y =2px 的准线为直线 x=- , 而点 A(- 2 p 2,3)在准线上,所以- =-2,即 p=4,从而 C:y2=8x, 2 焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2= k 2 k 8x,得 y -y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ =1-4× (2k+3) 8 8 1 =0,所以 k=-2 或 k= . 2
2

1 1 因为切点在第一象限,所以 k= .将 k= 代入①中,得 y 2 2 =8,再代入 y2=8x 中得 x=8,所以点 B 的坐标为(8,8), 8 4 所以直线 BF 的斜率为 = . 6 3
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第八章 平面解析几何

(2)设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图), → → A(x1,y1),B(x2,y2),∵OA·OB=2, ∴x1x2+y1y2=2.
2 又 y2 = x , y 1 1 2=x2,∴y1y2=-2. 2 ? y ? =x, 联立? 得 y2-ny-m=0, ? ?x=ny+m,

∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0).
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第八章 平面解析几何

又 S△ABO=S△AMO+S△BMO 1 1 = |OM||y1|+ |OM||y2|=y1-y2, 2 2 1 1 S△AFO= |OF|·|y1|= y1, 2 8 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1 8 9 2 = y1+ ≥2 8 y1 9 2 y · =3, 8 1 y1

4 当且仅当 y1= 时,等号成立. 3
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第八章 平面解析几何

[规律方法] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、 双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物 线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式 |AB|= x1 +x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲 线的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程,但涉 及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不 求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.

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第八章 平面解析几何

3.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l, 使得直线 l 5 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若 5 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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第八章 平面解析几何

解:(1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p×1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,
? ?y=-2x+t, 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? ?y =4x,

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,

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第八章 平面解析几何

1 所以Δ =4+8t≥0,解得 t≥- . 2 5 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= , 5 |-t| 5 可得 = , 5 5 解得 t=± 1. 1 1 ? ? ? 因为-1??-2,+∞?,1∈?-2,+∞? ?, 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.
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第八章 平面解析几何

考题溯源——抛物线方程的应用
(2012· 高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥, 当水 面在 l 时, 拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m. 水位下降 1 m 后,

2 6 水面宽________m .

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第八章 平面解析几何

[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py, 得 p=1. ∴x2=-2y. 当水面下降 1 m, 得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x2=-2y,得 x2 0=6,∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m.

[考题溯源] 本考题就是教材人教 A 版选修 11 P64 习题 A 组 T8 原题.

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第八章 平面解析几何

某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已 知上部呈抛物线形,跨度为 20 米,拱顶距水面 6 米,桥墩 高出水面 4 米,现有一货船欲过此桥孔,该货船水下宽度 不超过 18 米,目前吃水线上部分中央船体高 5 米,宽 16 米, 且该货船在现在状况下还可多装 1 000 吨货物, 但每多 装 150 吨货物,船体吃水线就要上升 0.04 米,若不考虑 水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过 该桥孔,为什么?
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第八章 平面解析几何

解:建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2, 由题意知点 A(10,-2)在抛物线上,代入方程求解,得 a 1 1 2 =- ,方程即为 y=- x . 50 50 让船沿正中央航行,船宽 16 米, 1 而当 x=8 时,y=- ×82=-1.28, 50 此时抛物线上的点 B 距离水面-1.28+6=4.72(米),又 船体水面以上高度为 5 米,所以无法通过;又 5-4.72= 0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050 吨,故至少 应再装 1 050 吨货物才能通过,而现在只能多装 1 000 吨, 故无法通过,只能等到水位下降.
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