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高中数学同角三角函数的基本关系考点解析及例题辅导


同角三角函数的基本关系
高考要求
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1 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三
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角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式
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2 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明
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知识点归纳
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1 倒数关系: sin ? ? csc? ? 1 , cos? ? sec? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1
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2 商数关系:
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sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? cos ? sin ?
2 2 2

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3 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ?
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2

2

2

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题型讲解

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例 1 化简 1 ? sin 440
2

?

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2 ? ? 2 ? 解:原式 ? 1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80 ?

cos 2 80? ? cos80?

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例 2 化简 1 ? 2sin 40 cos 40
? 2 ? 2

?

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解:原式 ? sin 40 ? cos 40 ? 2sin 40 cos 40
? ?

?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40?

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例3

已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合 1 ? sin ? 1 ? sin ?
(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? cos 2 ? cos 2 ?

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解:∵

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

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=

|1 ? sin ? | |1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? = = ? | cos ? | | cos ? | | cos ? | | cos ? |

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又∵

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?



2 sin ? 2sin ? ? ?0, | cos ? | cos ?

即得 sin ? ? 0 或 | cos ? |? ? cos ? ? 0

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所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ?

?
2

? ? ? 2k? ?

3? , k ? Z} 2

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例 4 已知: tan ? ? 3 ,求

2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

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解:∵ tan ? ? 3 , ∴原式 ?

?2cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3tan ? ? ?7 4cos ? ? sin ? 4 ? tan ?

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点评:第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的 cos? , 得到一个只含 tan ? 的教简单的三角函数式 变式训练:已知: tan(? ? ? ) ? ? 解: tan(? ? ? ) ? tan ? ? ? 原式 ? sin ? cos ? ?
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1 ,求 sin(? ? 7? ) cos(? ? 5? ) 的值 2

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1 , 2
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sin ? cos ? tan ? 2 ? ?? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

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点评: 同样应用上题的技巧, sin ? cos ? 看成是一个分母为1 的三角函数式, 把 注意结合 “口 诀”及 sin ? ? cos ? 的运用
2 2
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例 5 已知 sin ? ? ?

3 ,且 ? 是第四象限角,求 tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )] 的值 5

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解: tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )]
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? tan ?[cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ? tan ? (? cos ? ? sin ? )

? tan ? sin ? ? tan ? cos? ? sin ? (tan ? ? 1)
由已知得: cos ? ? ∴原式 ?

4 3 , tan ? ? ? , 5 4

21 20

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点评:关键在于抓住 ? 是第四象限角,判断 cos ? ,sin ? 的正负号,利用同角三角函数关系 式得出结论
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变式训练:将例 5 中的“ ? 是第四象限角”条件去掉,结果又怎样? 解:原式 ? sin ? (tan ? ? 1) , ∵ sin ? 为负值,∴ ? 是第三、四象限角

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当 ? 是第三象限角时, cos ? ? ? , tan ? ? ∴原式 ?

4 5

3 4

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当 ? 是第四象限角时,即为上例

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点评:抓住已知条件判断 ? 角所在象限,利用分类讨论的思想,同上题类似做法,得出结论
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例 6 证明:

2?cos? ? sin ? ? cos? sin ? ? ? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? 1 ? cos? A C 只要证 A? D=B? C, ? , B D

分析: 证明此恒等式可采取常用方法, 也可以运用分析法, 即要证 从而将分式化为整式
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证法一:右边=

cos? ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ?

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=

?cos? ? sin? ??1 ? cos? ? sin? ?
1 ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?

2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? 2?1 ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? ? 2 1 ? sin ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin ? cos? ?

=

2?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? 左边 ?1 ? sin? ? cos? ?

证法二:要证等式,即为

2?cos? ? sin ? ? ?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? ?1 ? sin? ??1 ? cos? ? 1 ? sin ? ? cos?
只要证 2( 1? sin? ) 1? c ( o s 即证:

? )= ?1 ? sin ? ? cos? ?

2

2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?
? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? ? 2 cos? ? 2 sin? cos? ,
即 1= sin ? ? cos ? ,显然成立,
2 2

故原式得证

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点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔细观察题目的特征,灵活、恰 当地选择公式,如“求证

tan? ? cot ? ? cot? cot ? ”利用倒数关系比常规的“化切为弦” tan ? ? cot?
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要简洁得多 (2)同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数关系
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例 7 已知 tan? ? 2, 求下列各式的值

(1)

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 2 sin ? ? 3 cos? , (2) , 4 sin ? ? 9 cos? 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?
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(3) 4 sin ? ? 3 sin ? cos? ? 5 cos ?
2 2

分析一:据 tan ? ? 2, ,首先确定 ? 所在的象限,再由 ? 所在的象限和同角间的三角函数关 系来确定 sin ? 与 cos ? 的值,最后代入即可
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解析一:由 tan? ? 2, ? 为第一或三象限 知角

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当 ? 为第一象限时,由 tan

? ? 2 有,sin ? = 2 5 5 , ? ? cos
2 5 ? 3? 5 2 5 4? ? 9? 5 2?
2

5 , 5

2 sin ? ? 3 cos? 所以(1) = 4 sin ? ? 9 cos?

5 5 ? ?1 , 5 5
2

?2 5? ? 5? ? ? ? 2?? ? 5 ? ? 3? ? 5 ? 2 2 2 sin ? ? 3 cos ? ? ? ? ? ?5 (2) = 2 2 2 2 7 4 sin ? ? 9 cos ? ?2 5? ? 5? ? ? 9? ? 4?? ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ?

?2 5? ? 5? 2 5 5 ? ? 3? (3) 4 sin ? ? 3 sin? cos? ? 5 cos ? =4 ? ? ? ? 5 ? ? ? =1 ? 5 ? ? 5 ? 5 5 ? ? ? ?
2 2

2

2

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当 ? 为第三象限时,由 tan ? =2,有 sin ? = ?

2 5 5 , ? ?? cos , 5 5

? 2 5? ? ? ? 3? ?? 2??? ? ? 5 ? 2 sin ? ? 3 cos? ? ? ? 所以(1) = 4 sin ? ? 9 cos? ? 2 5? ? ? ? 9??? 4??? ? ? 5 ? ? ? ?

5? ? 5 ? ? 5? ? 5 ? ?

? ?1 ,

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? 2 5? ? 5? ? ? 3? ?? ? 2??? ? ? 5 ? 5 ? 2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? ? ? ? ? 5, (2) = 2 2 2 2 7 4 sin ? ? 9 cos ? ? 2 5? ? 5? ? ? 9? ? ? 4??? ? ? 5 ? 5 ? ? ? ? ?

2

2

? 2 5? ? 5? 2 5 5 ? ? 3? (3) 4 sin ? ? 3 sin? cos? ? 5 cos ? =4 ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? =1 ? 5 ? ? 5? 5 5 ? ? ? ?
2 2

2

2

综上有(1)

2 sin ? ? 3 cos? =-1, 4 sin ? ? 9 cos?

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 5 (2) = , 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ? 7
(3) 4 sin ? ? 3 sin ? cos? ? 5 cos ? =1
2 2

分析二:要注意到分式的分子与分母均是关于 sin ?,与cos a 的一次齐式,其中第(3)问 要 将 分 母 看 成 是 1= sin a ? cos a , 所 以 可 以 将 分 子 分 母 同 时 除 以
2 2

cos a?显然cos a ? 0?,然后整体代入tan a ? 2的值即可。
解法二: (1)

2 sin ? ? 3 cos? 2 tan a ? 3 2 ? 2 ? 3 = ? ? ?1. 4 sin ? ? 9 cos? 4 tan a ? 9 4 ? 2 ? 9
2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 2 tan 2 a ? 3 2 ? 4 ? 3 5 ? ? . = 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ? 4 tan 2 a ? 9 4 ? 4 ? 9 7 4 sin 2 a ? 3 sin a cos a ? 5 cos2 a sin 2 a ? cos2 a

(2)

(3) 4 sin 2 ? ? 3 sin? cos? ? 5 cos2 ? =

=

4 tan 2 a ? 3 tan a ? 5 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? 1. 4 ?1 tan 2 a ? 1

cos 点评:这是一组在已知 tan a ? m的条件下,求关于sin a、 a的 齐次式的问题,解这类
问题有两个方法,一是直接求出 sin a和cos a 的值,再代入求解,如本题解法一,但这种方

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法较繁琐 二是将所求式转化为只含 tan a 的代数式, 再代入求解, 但应用此法时要注意两点:
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(1)一定是关于 sin a和cos a 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式; (2)因为

cos a ? 0,可用cosn a?n ? N ?除之 ,这样可以将所求式化为关于 tan a 的表达式,从而可
以整体代入 tan a ? m 的值进行求解
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tan 例 8 已知 cos a ? b b ? 1 ,求 sin a, a的值

?

?

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分析:由于三角函数的值不确定,所以需要对角的范围进行讨论,并逐一求解

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b 解:因为 cos a ? b, ? 1 ,所以,
(1)当 b=0 时,角 a的终边在y轴上, 若角 a的终边在y轴的非负半轴上时, a ? 1 tan a不存在 sin ,

?

?

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若角 a的终边在y轴的非正半轴上时, a ? ?1 tan a不存在 sin ,

,且b ? 0时,则角a为象限角 (2)当 b ? 1

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sin a 1 ? b2 sin tan ? 若 a为第一或第二象限时, a ? 1 ? cos a ? 1 ? b , a ? cos a b
2 2

sin tan 若a为第三或四象限时, a ? ? 1 ? cos 2 a ? ? 1 ? b2, a ?
特别提示: 本题易错解为: 因为 cos? ? b,而 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? b , a ? tan
2 2 2

sin a 1 ? b2 ?? cos a b

sin ? , cos?
1? b2 ; b

sin tan 所以(1) 当?为第一象限时, ? ? 1 ? b , ? ?
2

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sin tan (2) 当?为第二象限时, ? ? 1 ? b , ? ? ?
2

1? b2 ; b 1? b2 ; b 1? b2 b

sin tan (3) 当?为第三象限时, ? ? ? 1 ? b , ? ?
2

sin tan (4) 当?为第四象限时, ? ? ? 1 ? b , ? ? ?
2

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其错误的原因在于没有重视条件 b ? 1 ,认为 b 为正值,同时也 b=0 时,角 a 的终边在 y 轴上,此时 tan ? 不存在,所以在解答讨论时,应注意条件的限制,如函数本身对答角的 范围要求,在各个象限的符号等 例 9 已知 tan? ? 求(1)
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2,
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cos? ? sin? 2 2 ; (2) sin ? ? sin? . cos? ? 2 cos ? 的值 cos? ? sin?

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sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? 1?
(2)

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 ? cos ? 2 cos ? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 2 cos ?
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点评:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就 会使解题过程简化
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例 10 化简 (1 ? cot ? ? csc ?)(1 ? tan ? ?sec ?) 解:原式= (1 ?

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cos ? 1 sin ? 1 ? )(1 ? ? ) sin ? sin ? cos ? cos ?

sin ? ? cos ? ? 1 cos ? ? sin ? ? 1 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 1 ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ? ? ? ? ?2 sin ? cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
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点评:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含三角函数的种类最少; (2)能求值(指准确值)尽量求值; (3)不含特殊角的三角函数值
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1 已知 ? 是第二象限角,则
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sin ? 1 ? cos ?
2

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?

2 1 ? sin 2 ? ? cos ?

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2 若 ? 是三角形的内角,且 sin ? ? cos ? ?
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3 ,则此三角形一定是( ) 4
D 钝角三角形
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A 等边三角形
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B 直角三角形
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C 锐角三角形
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3 若 sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? ?1 ,则角 ? 的取值范围是
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2

2

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4 求证: (1)
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1 ? sec ? ? tan ? 1 ? sin ? ; ? 1 ? sec ? ? tan ? cos ?
2 2 2 2
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(2) (1 ? sin A)(sec A ? 1) ? sin A(csc A ? cot A)
2

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5 已知 sin ? ?
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m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ,其中 ? ? ? ? ,求满足条件的实数 m 的取值的 m?5 m?5 2

集合

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6 已知 sin ? ? sin ? ? 1 ,求 3cos ? ? cos ? ? 2sin ? ? 1 的值
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2

2

4

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7 如果 sinθ = m,|m|>1,180°<θ <270°,那么 tanθ 等于(
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A

m?3
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1? m2

B-
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m 1? m2

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m 1? m2

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1? m2 D- m
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8 若 sinθ =
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m?3 4 ? 2m , cosθ = ,其中θ 为第二象限的角,则 m 的取值范围是 ( ) m?5 m?5
B 3<m<9
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Am = 8
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C m=0 或 m=8
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D -5<m < 9
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9 设 sinθ 和 cosθ 是方程 2x2-( 3 +1)x+m=0 的两个根,求 m 及
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sin? cos? 的值 ? 1 ? cot? 1 ? tan?

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10 已知
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4 sin? ? 2 cos? 6 = , 5 cos? ? 3 sin? 11
2

求证: log

( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? lg sec2 ? +lg2

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练习答案: 1 -1
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2D
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3 [2k? ? ? , 2k? ?
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3? ](k ? Z ) 2

1 sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? ? 1 ? sin ? 4 (1)证明 左边= 1 sin ? cos ? ? 1 ? sin ? 1? ? cos ? cos ? 1?
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? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 2sin cos cos ? sin (cos ? sin ) 2 2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2cos2 ? 1 ? 1 ? 2sin cos cos ? sin (cos ? sin )(cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? 2cos ? sin 2 2 ? 1 ? sin ? ? 右边 ? ? ? cos ? cos 2 ? sin 2 2 2
2cos2
(2)左边= cos A?tan A ? cos A?
2 2 2

sin 2 A ? sin 2 A cos 2 A
2

右边= sin A(1 ? cot A ? cot A) ? sin A ,故左边=右边
2 2 2

5?
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?
2

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?? ??

?sin ? ? 0 ?? ?cos ? ? 0

?m ?3 ?m ? 5 ? 0 ? 即? ? 4 ? 2m ? 0 ? m?5 ?

(1) (2)

由(1)解得 m ? 3或m ? ?5 ,由(2)解得 m ? 2或m ? ?5

故m的取值范围为{m | m ? 3或m ? ?5} ? {m | m ? 2或m ? ?5} ? {m | m ? 3或m ? ?5}
sin ? ? sin 2 ? ? 1 得 cos2 ? ? sin ?
故 3cos2 ? ? cos4 ? ? 2sin ? ? 1 ? 3sin ? ? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? sin ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 7B 8B
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6

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9

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?sin ?、 ? 是 方 程 2 x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的 两 根 , 故 由 根 与 系 数 的 关 系 得 cos
3 ?1 m , sin ? ? cos ? ? ,则 2 2 3 3 ?1 2 4 ? 2 3 3 ) ? ? 1? ? m ? ? 2 4 2 2

sin ? ? cos ? ?

(sin ? ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? 1 ? m ? (

sin ? cos ? sin ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? cot ? 1 ? tan ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ?
sin 2 ? ? cos 2 ? 3 ?1 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? 2
10 由
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4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 6 ? ? ,解得 tan ? ? 2 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 11

lg sec2 ? ? lg 2 ? lg(1 ? tan 2 ? ) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? lg10 ? 1

log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 )2
? log 2 (3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 2 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? log 2 2 ? 1

?log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? lgsec2 ? ? lg 2

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