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柯西不等式的证明及相关应用


柯西不等式的证明及相关应用 摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优 美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 一、柯西(Cauchy)不等式: 最值 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?2 ? ?a12 ? a22 ??? an2 ??b12 ? b22 ??? bn2 ? ?ai , bi ? R, i ? 1,2?n? 等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 或 bi ? kai 时成立(k 为常数, i ? 1,2? n ) 现将它的证明介绍如下: 方法 1 证明:构造二次函数 2 2 2 f ( x) ? ?a1x ? b1 ? ? ?a2 x ? b2 ? ? ?? ?an x ? bn ? 2 2 2 2 2 = a1 ? a2 ??? an x2 ? 2?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?x ? b12 ? b2 ??? bn ? ? ? ? 由构造知 又 f ?x ? ? 0 恒成立 n ? an ?0 2 a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ?? ? 4?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? 4 a12 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn ?0 2 2 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? a1 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn 2 ? ?? ? ? ?? ? 当且仅当 ai x ? bi ? 0?i ? 1,2?n? 方法 2 证明:数学归纳法 左式= ? a1b1 ? 显然 当n ? 2时 2 即 a1 a2 ? ? b1 b2 ? an 时等号成立 bn (1) 当 n ? 1 时 右式= ? a1b1 ? 2 左式=右式 右式 ? a1 ? a2 2 2 ? 2 ??b 2 1 2 ? b2 ? ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? a22b12 ? a12b22 2 2 2 2 ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? 2a1a2b1b2 ? ? a1b2 ? a2b2 ? ? 左式 故 n ? 1, 2 时 不等式成立 (2)假设 n ? k ? k ??, k ? 2? 时,不等式成立 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? ak bk ? ? a1 ? a2 ??? ak b12 ? b2 ??? bk2 2 ? ?? ? 当 bi ? mai ,m 为常数, i ? 1,2? k 或 a1 ? a2 ? 1 ? ak ? 0 时等号成立 设 A= a1 ? a2 ? ? ? ak 2 2 2 2 B= b12 ? b2 ? ? ? bk2 C ? a1b 1? a b 2 ? 2 ? ak bk ? AB ? C 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? ak ?1 B ? bk ?1 ? AB ? Ab k ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1bk ?1 2 2 ? C 2 ? 2Cak ?1bk ?1 ? ak ?1bk ?1 ? ? C ? ak ?1bk ?1 ? 2 ? ? a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ? ak ? ak ?1 ?? b1 ? b2 ? 2 ? ?? ? ? bk2 ? bk2?1 ? ? ? a1b1 ?

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