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高中数学人教a版选修2-1课时作业:2.4.1 抛物线及其标准方程 含解析

第二章 2.4 课时作业 21 一、选择题 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( |a| A. 4 C.|a| |a| 2 |a| B. 2 D.- a 2 |a| 2 , ) 解析:因为 y2=ax,所以 p= 故选 B. 答案:B ,即该抛物线的焦点到其准线的距离为 2.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点 的距离是( A. 4 C. 8 ) B. 6 D. 12 p 4 解析:由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 2 2 4+2=6. 答案:B p 3.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a> ),则点 M 的横坐 2 标是( ) p B .a - 2 D.a-p p A.a+ 2 C.a+p 解析:由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 p p x=- 的距离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a- . 2 2 答案:B 4.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 ) p 解析:∵y2=2px 的焦点坐标为( ,0), 2 p p ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y+ ,将其代入 y2=2px 2 2 得 y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p, y1+y2 ∴ =p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. 2 答案:B 二、填空题 5.[2013· 北京高考]若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________, 准线方程为________. 解析:本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用.因为抛物线 y2=2px p p 的焦点坐标为( ,0),准线方程为 x=- ,抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0), 2 2 所以 p=2,准线方程为 x=-1. 答案:2 x=-1 6.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1),若线段 OA 的垂直平分线 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是__________. 解析:OA 的垂直平分线方程为 5 y=-2x+ , 2 5 令 y=0,得 x= , 4 5 ∴焦点 F 的坐标为( ,0). 4 5 ∴抛物线方程为 y2=5x,其准线方程为 x=- . 4 答案:x=- 5 4 7.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距 离等于 6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是__________.(要求填写合适条件的序 号) 解析:抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0) p 5 7 是 y2=10x 上一点,则|MF|=1+ =1+ = ≠6,所以③不满足;由于抛物线 2 2 2 5 5 y2=10x 的焦点为( ,0),过该焦点的直线方程为 y=k(x- ),若由原点向该直 2 2 线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k=-2,此时存在,所以④满足. 答案:②④ 三、解答题 8.[2014· 福建省厦门一中期中考试]已知动圆 M 与直线 y=2 相切,且与定 圆 C:x2+(y+3)2=1 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解:设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r, 则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等. 由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,以 y=3 为 准线的一条抛物线,其方程为 x2=-12y. 9.一辆卡车高 3 m,宽 1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示, 已知拱口 AB 宽恰好是拱高 CD 的 4 倍,若 AB 宽为 a m,求能使卡车通过的 a 的最小整数值. 解:以拱顶为原点,拱高所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,如右图, 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), a a 则点 B 的坐标为( ,- ). 2 4 由于点 B 在抛物线上, a a 所以( )2=-2p· (- ), 2 4 a p= . 2 所以抛物线方程为 x2=-ay. 将点 E(0.8,y)代入抛物线方程, 得 y=- 0.64 . a 所以点 E 到拱底 AB 的距离为 a a 0.64 -|y|= - >3. 4 4 a 解得 a>12.21. 因为 a 取整数, 所以 a 的最小整数值为 13.

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