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2019年-高等数学课件--第十二章微分方程12-9常系数非齐次线性微分方程-PPT精选文档_图文

第九节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x )?e?xP(x )型 m
二、 f(x)?e?x[P(x)co?sx l ?P(x)si? nx]型 n
三、小结 习题

一、f(x )? e?xP (x )型 m
y ??? p y ?? q ? y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y ??? p y ?? q? y 0 ,
通解结构 y?Y?y,
常见类型 Pm(x), Pm(x)e?x,
P m (x)e?xco ?xs , P m (x)e?xsi?n x,
难点 如何求特解? 方法 待定系数法.

? ?? 设非齐方程特解为 y?Q(x)e?x 代入原方程
Q ? ? ( x ) ? ( 2 ? p ) Q ? ( x ) ? ( 2 ? p ? q ) Q ( x ) ? P m ( x )
(1) 若?不是特征方程的根?2 ,?p??q?0,
可 Q (x 设 )? Q m (x ), y?Q m(x)e?x;
(2) 若?是特征方程的单根,
?2?p??q?0, 2??p?0,
可 Q (x 设 )? xm ( Q x ), y?xm Q (x)e?x;

(3) 若?是特征方程的重根,
?2?p??q?0, 2??p?0,
可 Q (x 设 )? x 2 Q m (x ),y?x2Q m (x)e?x.
综上讨论 ?0 ?不是根
设 y? x k e ?x Q m (x ),k ???1 ?是单根 ,
??2 ?是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数).

特别地 y???py??q? yA?xe

?
??2

?

A
p?

e?x ?q

,

y ???? ?

A xe?x
2?? p

? ??

Ax2e?x 2

?不是特征方程的根 ?是特征方程的单,根 ?是特征方程的重根

例1 求方 y??? 3 y?程 ? 2 y?x2x e 的.通解

解 特征方程 r2?3r?2?0,

特征根 r1?1, r2?2,
对应齐次方程通解 Y?C 1 ex?C 2 e2x,

?? ?2是单根, 设 y? x (A ? B x )e 2 x ,

代入方程,



2 A ? B ? x 2 A ? x ? ??? A

?

1 2

,

于y是 ?x(1x?1)e2x

?? B ? ? 1

2
原方程通解为

y? C 1 ex? C 2 e2 x?x (1 2x? 1 )e2 x.

? ? 二、f(x )? e ? x [ P l(x ) co x ? P n s (x ) si x ] 型n

? ? f( x )? e ? x [ P lco x ? P s n six ] n 利用欧拉公式

? e ?x [P le i? x? 2 e ? i? x? P ne i? x? 2 ie ? i? x]

? (P l? P n )e (?? i? )x? (P l? P n )e (?? i? )x

22 i

22 i

? P ( x ) e ( ? ? i ? ) x ? P ( x ) e ( ? ? i ? ) x ,

设 y ? ?? p y ?? q ? P y ( x ) e ( ? ? i ? ) x , y1?xkQ m e(?? i?)x,

设 y ? ?? p y ?? q ? P y ( x ) e ( ? ? i ? ) x , y2?xkQ m e(?? i?)x,
? y ? x k e ? x [ Q m e i ? x ? Q m e ? i ? x ]
? ? ? x k e ? x [ R m ( 1 ) ( x ) cx o ? R m ( 2 ) s ( x ) sx i ]n ,
其R 中 m (1)(x)R ,m (2)(x)是 m次多项 m ?m 式?la ,, n ?x

注意

k????10

??i?不是根 ??i?是单,根

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.

例2 求方 y???y? 程 4sixn 的.通解
解 对应齐方通解 Y ? C 1 cx o ? C s 2 sx i,n 作辅助方程 y???y?4eix, ???i 是单,根 故y* ?Axixe, 代入上式 2A? i4, ?A??2i, ? y * ? ? 2 ix ix ? 2 e x sx i? ( n 2 x cx o ) i, s
所求非齐方程特解为 y??2xco x,s(取虚部)
原方程通解为 y ? C 1 cx ? o C 2 s s x i ? 2 n x cx . os

例3 求方 y???y? 程 xco 2x的 s .通解
解 对应齐方通解 Y ? C 1 cx o ? C s 2 sx i,n 作辅助方程 y???y?x2e ix,

?? ?2i 不是特征方程,的根 设 y*?(A? x B )e2 ix ,代入辅助方程

?4Ai?3B? 0 ???3A?1

?A??1, B??4i,

3

9

?y*?(?1x?4i)e2ix, 39

?(?1x?4i)(c 2xo ?issi2x n ) 39

? ? 1 x c2 o x ? 4 s2 i x ? n ( 4 c2 o x ? 1 s x s2 i x ) i n ,

3

9 93

所求非齐方程特解为 y??1xco 2xs?4si2n x,

3

9 (取实部)

原方程通解为 y ? C 1 cx o ? C 2 s sx i? n 1 3 x c2 o x ? 9 4 s s2 ix .n
? ? 注意 A ?xc eo x ,A s?xs eix n

分别A是 (e??i?)x的实部和 . 虚部

例4 求方 y???y程 ?tax的 n 通 . 解
解 对应齐方通解 Y ? C 1 cx o ? C s 2 sx i,n 用常数变易法求非齐方程通解
设 y ? c 1 ( x ) cx o ? c 2 ( x s ) sx i ,n w(x)?1, ? ? ?c c1 2((x x))? ?s ?cixn o ? xl? sn C s2ex? ctaxn ?C 1,
原方程通解为 y ? C 1 c x ? o C 2 sx s ? i c n x ? l o s n x ? s e tx a c . n

三、小结 习题
(待定系数法)
(1)f(x)?e?xP m(x),(?可以)是复数
? ? y?xke?xQ m (x);
( 2 ) f ( x ) ? e ? x [ P l ( x ) cx o ? P n ( x ) s sx i ]n ,
? ? y ? x k e ? x [ R m ( 1 ) ( x ) cx o ? R m ( 2 ) ( s x ) sx i ]n ;
只含上式一项解法 作辅助方程,求特解, 取特解
的实部或虚部, 得原非齐方程特解.

习题12-9 1 求下列微分方程的通解:
( 1 )2 y ??? 5 y ?? 5 x 2 ? 2 x ? 1 ; ( 2 )y ? ?? 6 y ?? 9 y ? ( x ? 1 ) e 3 x ; (3)y???y?ex?co xs

[解答] [解答] [解答]

2 求下列各微分已方给程初满始足条件 : 的特
? ? ( 1 ) y ? ? ? y ? s 2 x i ? 0 , y n x ? ? 1 , y ? x ? ? 1 ;[解答]
( 2 )y ??? 1y ?0 ? 9 y ? e 2 x ,y x ? 0? 7 6 ,y ?x ? 0? 3 7 [解3 答]

3设函 ?(x)连 数,且 续满足

? ? ? ? ? (x )? e x?x t(t)d? txx(t)d,t

0

0

求?(x).

[解答]

习题解答
1 求下列微分方程的通解: ( 1 )2 y ??? 5 y ?? 5 x 2 ? 2 x ? 1 ;
解 特征方2r程 2?5是 r?0,解得 r1?0,r2??5 2.
因为 ? ?0是特征方程的 ,所以单特根 解可设为
y*?x (A2? xB? x C )?A3x ?B2x ?C,x 代入原方程后, 可解 A ?1 得 ,B ??3,C ?7.
3 5 25 所以通解是
y?C1?C2e?5 2?1 3x3?5 3x2?275 x. [返回习题]

习题解答
1 求下列微分方程的通解: ( 2 )y ? ?? 6 y ?? 9 y ? ( x ? 1 ) e 3 x ;
解 特征方 r2? 程 6r?是 9?0, 特征根 r1,2 ? 是 3.
因为? ?3是特征方程的二,所重以根 特解可设为
y*?x2(A? x B )e3x?(A3? xB2)x e3x, 代入原方程后, 可解A得 ?1,B?1.
62 所以通解是
y?(C 1?C 2x)e3x?x2(1 6x?1 2)e3x. [返回习题]

习题解答
1 求下列微分方程的通解: (3)y???y?ex?co xs
解 特征方程 r2?是 1?0,特征根 r1,2? 是 ?i.
对于y方 ???y程 ?ex,由于? ?1不是特征方程的根
所以特解可 y1*设 ?A为 xe, 代入原方程后, 可解得 A?1.
2 所以y解 1*?得 1 2ex.

习题解答
对于y??方 ?y?c 程 o x,s
由于 ??i??i是特征方程的 . 单根
所以特y2* 解 ?x(B 可 co x? 设 sC six 为 ) n, 代入原方程后 ,可解B得 ?0,C?1.
2 所以y2 解 *?1 2得 xsix n . 所以原方程的通解是
y?C1sin x?C2coxs?12xsin x.[返回习题]

习题解答
2 求下列各微分已方给程初满始足条件 : 的特
? ? ( 1 ) y ? ? ? y ? s 2 x i ? 0 , y n x ? ? 1 , y ? x ? ? 1 ;
解 特征方r程 2?是 1?0, 特征根 r1,2? 是 ?i.
由于 ??i??2不是特征方, 程的根
所以特解 y*?A 可 co2设 xs?Bs为 i2n x, 代入原方程后 ,可解 A? 得 0,B?1.
3 所以特 y*? 解 1si是 2n x.
3

习题解答

所以 y ? C 1 通 cx o ? C 2 s 解 sx i? n 1 3 s 是 2 ix .n 由yx???1, 得 C1??1.

由y?x???1,

得 C2

?

2. 3

所以所要求的特解是

y??coxs?2sinx?1sin2x.

3

3

[返回习题]

习题解答
2 求下列各微分已方给程初满始足条件 : 的 ( 2 )y ??? 1y ?0 ? 9 y ? e 2 x ,y x ? 0? 7 6 ,y ?x ? 0? 3 73
解 特征方 r2?程 1r0?是 9?0,
特征 r1? 根 1,r2? 是 9.
由于 ??2不是特征方程 , 的根
所以特解可y*设?A为e2x. 代入原方程后, 可解A 得??1.
7 所以求得y特 *??解 1e2为 x.
7

习题解答

所以 y? 通 C 1 ex? C 解 2 e9 x? 7 1 是 e2 x.

再由y

x?0

?

6, 7

得 C 1?C 2?1 ,

由 y?

x?0 ?

33, 7

得 C 1? 9 C 2?5 ,



以 C1 ?C2

?1. 2

故所要求的特解是

y?1ex ?1e9x ?1e2x. 22 7

[返回习题]

习题解答

3设函 ?(x)连 数,且 续满足

? ? ? ? ? (x )? e x?x t(t)d? txx(t)d,t

0

0

求?(x).

解 方程两边求导, 得??(x)?ex??0 x?(t)d.t
? ? 再求导, 得 ??????ex,且 (0 )? 1 ,?(0 )? 1 .

特征方程 r2?是 1?0, 特征根 r1,2? 是 ?i.
因为? ?1不是特征方程, 的根 所以特解可?设 *?为 Aex.

习题解答

代入原方程中, 可解得 A?1.

2

所以求得?特 *?解 1e2为 x.

2
? 故通 ? C 1 s解 x i? n C 2 c 是 x o ? 1 2 s e x

由?(0)?1,

得 C2

?

1 .
2

由 ??(0)?1,

得 C1

?

1. 2

所 ?(以 x )?1 (sx i? n co x?e sx).
2

[返回习题]


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