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景德镇市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

景德镇市民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是一个正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E 是棱 PA 的中点,则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

?x ? (?1) n sin ? 2n, x ? ? 2n, 2n ? 1? ? ? 2 2. 已知函数 f ( x) ? ? ( n ? N ),若数列 ?am ? 满足 ? x n ? 1 ?(?1) sin ? 2n ? 2, x ? ? 2n ? 1, 2n ? 2 ? ? ? 2 ) am ? f (m) (m ? N * ) ,数列 ?am ? 的前 m 项和为 S m ,则 S105 ? S96 ? ( A. 909 B. 910 C. 911 D. 912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 3. 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10x)>0 的解集为( A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} C.{x|x>﹣lg2} 4. 已知在△ABC 中,a= B.{x|﹣1<x<﹣lg2} ,b= ,B=60°,那么角 C 等于( ) ) )

D.{x|x<﹣lg2}

A.135° B.90° C.45° D.75° 5. 已知数列{an}是等比数列前 n 项和是 Sn,若 a2=2,a3=﹣4,则 S5 等于( A.8 B.﹣8 C.11 D.﹣11 )

6. 如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形 ,则该几何体体积为(

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A.

B.4

C.

D.2 ,且满足(t+1)x+(t+2)y+t=0,则参数 t 的取值范围为( C.﹣2≤t≤﹣ D.﹣2≤t<﹣ ,则 S2015 的值是( ) )

7. 若变量 x,y 满足: A.﹣2<t<﹣ B.﹣2<t≤﹣

8. 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an+ A. B.

C.2015 D.   9. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A. B.y=x2 C.y=﹣x|x| D.y=x﹣2 +x)=f(﹣x),则 f(



10.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f( A.2 或 0 ,则( B.0 ) C.﹣2 或 0 D.﹣2 或 2

)=(



11.如图所示,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点,若

=

+x

+y

A.x=﹣ 12.“4<k<6”是“方程

B.x=

C.x=﹣ 表示椭圆”的( )

D.x=

A.充要条件 B.充分不必要条件

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C.必要不充分条件  

D.既不充分也不必要条件

二、填空题
1 ,则 AC 的长为_________. 3 ?S ? 2 14.已知各项都不相等的等差数列 ?an ? ,满足 a2 n ? 2an ? 3 ,且 a6 ? a1 ? a21 ,则数列 ? nn 项中 ?1 ? ?2 ?
13.在 ?ABC 中, ?C ? 90 , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, sin ?BAM ?
?

的最大值为_________. 15.二面角 α﹣l﹣β 内一点 P 到平面 α,β 和棱 l 的距离之比为 1: 度. :2,则这个二面角的平面角是      

?y ? 2 ? 16.已知实数 x , y 满足 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,目标函数 z ? 3 x ? y ? a 的最大值为 4,则 a ? ______. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力. 17.曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切,则 a=________. 18.设 m 是实数,若 x∈R 时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,则 m 的取值范围是      .  

三、解答题
19.(本小题满分 16 分)
2 给出定义在 ?0,?? ? 上的两个函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? x ? a x .

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取最值.求的值;

2 (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x ) 在区间 ? 0,1? 上单调递减,求实数的取值范围;

(3)试确定函数 m( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 6 的零点个数,并说明理由.

20.已知 p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.  

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21.设点 P 的坐标为(x﹣3,y﹣2). (1)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现在从盒子中随机取出一张卡片,记下标号后把卡片 放回盒中,再从盒子中随机取出一张卡片记下标号,记先后两次抽取卡片的标号分别为 x、y,求点 P 在第二 象限的概率; (2)若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为 x、y,求点 P 在第三象限的概率.

22.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2) 是否存在一点 D, 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 若不存在,说明理由. ?若存在, 说明点 D 的位置,

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23.若已知  

,求 sinx 的值.

24.全集 U=R,若集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7}, (1)求 A∪B,(?UA)∩(?UB); (2)若集合 C={x|x>a},A?C,求 a 的取值范围.

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景德镇市民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),E(0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0), =(﹣2,0,1), =(2,2,0), 设异面直线 BE 与 AC 所成角为 θ, 则 cosθ= 故选:B. = = .

  2. 【答案】A. 【 解 析 】

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3. 【答案】D 【解析】解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|﹣1<x< }, 故可得 f(10x)>0 等价于﹣1<10x< , 由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10x>﹣1, 而 10x< 可化为 10x< ,即 10x<10﹣lg2,

由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选:D   4. 【答案】D 【解析】解:由正弦定理知 ∴sinA= ∵a<b, ∴A<B, ∴A=45°, ∴C=180°﹣A﹣B=75°, 故选:D.  
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= ,



=

×

=

5. 【答案】D 【解析】解:设{an}是等比数列的公比为 q, 因为 a2=2,a3=﹣4, 所以 q= = =﹣2,

所以 a1=﹣1, 根据 S5= 故选:D. 【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前 n 项的求和公式的能力,本题较易,属于基础题.   6. 【答案】C 【解析】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C   7. 【答案】C 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由(t+1)x+(t+2)y+t=0 得 t(x+y+1)+x+2y=0, 由 ,得 ,即(t+1)x+(t+2)y+t=0 过定点 M(﹣2,1), ,则棱锥的高 h= =2 =2 =3 ,2,底面边长为 2 =﹣11.

则由图象知 A,B 两点在直线两侧和在直线上即可, 即[2(t+2)+t][﹣2(t+1)+3(t+2)+t]≤0, 即(3t+4)(2t+4)≤0, 解得﹣2≤t≤﹣ , 即实数 t 的取值范围为是[﹣2,﹣ ], 故选:C.

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题.   8. 【答案】D 【解析】解:∵2Sn=an+ 当 n=2 时,2(1+a2)= 同理可得 猜想 验证:2Sn= = 因此满足 2Sn=an+ ∴ ∴Sn= ∴S2015= 故选:D. 【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用,考查了由特殊到一般的思想方 法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.   9. 【答案】D 【解析】解:函数 为非奇非偶函数,不满足条件; . . , . , . . …+ = , = ,∴ ,化为 ,解得 a1=1. =0,又 a2>0,解得 ,

函数 y=x2 为偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 函数 y=﹣x|x|为奇函数,不满足条件;

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函数 y=x﹣2 为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,满足条件; 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于 基础题.   10.【答案】D 【解析】解:由题意:函数 f(x)=2sin(ωx+φ), ∵ f( +x)=f(﹣x), = ,

可知函数的对称轴为 x= 根据三角函数的性质可知, 当 x= ∴ f(

时,函数取得最大值或者最小值. )=2 或﹣2

故选 D.   11.【答案】A 【解析】解:根据题意,得; = = = 又∵ + ﹣ = + ( + + +x , +y , + )

∴x=﹣ ,y= , 故选:A. 【点评】本题考查了空间向量的应用问题,是基础题目.   12.【答案】C 【解析】解:若方程 则 6﹣k>0,且 k﹣4>0,且 6﹣k≠k﹣4 解得 4<k<5 或 5<k<6 表示椭圆

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故“4<k<6”是“方程 故选 C

表示椭圆”的必要不充分条件

【点评】 本题考查的知识点是充要条件的定义, 椭圆的标准方程, 其中根据椭圆的标准方程及椭圆的简单性质, 构造不等式组,求出满足条件的参数 k 的取值范围,是解答本题的关键.  

二、填空题
13.【答案】 2 【解析】

考点:1、正弦定理及勾股定理;2 诱导公式及直角三角形的性质. 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质,属于难题,高考三角函数的 考查主要以三角恒等变形,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此 只要掌握基本的解题方法与技巧即可, 对于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正余弦定理以及 面积公式实现边角互化,求出相关的边和角的大小,有时也要考虑特殊三角形的特殊性质(如正三角形,直角 三角形等). 14.【答案】

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【解析】

考 点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列的前项和. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式 . 等差数列的通项公式及前项和公式 , 共涉及

a1 , an , d , n, S n 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而 a1 , d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 15.【答案】 75 度. 【解析】解:点 P 可能在二面角 α﹣l﹣β 内部,也可能在外部,应区别处理.当点 P 在二面角 α﹣l﹣β 的内部时,如

图,A、C、B、P 四点共面,∠ACB 为二面角的平面角,

由题设条件,点 P 到 α,β 和棱 l 的距离之比为 1: 故答案为:75.

2 可求∠ACP=30°,∠BCP=45°,∴∠ACB=75°. :

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题,考查分类讨论的数学思想,正确找出二面角的平面角是关 键.   16.【答案】 ?3 【解析】作出可行域如图所示:作直线 l0 : 3 x ? y ? 0 ,再作一组平行于 l0 的直线 l : 3 x ? y ? z ? a ,当直线

5 5 l 经过点 M ( , 2) 时, z ? a ? 3 x ? y 取得最大值,∴ ( z ? a ) max ? 3 ? ? 2 ? 7 ,所以 zmax ? 7 ? a ? 4 ,故 3 3

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a ? ?3 .

17.【答案】 【解析】由 y=x2+3x 得 y′=2x+3, ∴当 x=-1 时,y′=1, 则曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线方程为 y+2=x+1, 即 y=x-1,设直线 y=x-1 与曲线 y=ax+ln x 相切于点(x0,y0), 由 y=ax+ln x 得 y′=a+1(x>0), ∴

∴a=0. 答案:0

{

a+x0=1
y0=x0-1 y0=ax0+ln x0

1

)

x

,解之得 x0=1,y0=0,a=0.

18.【答案】 [0,2] . 【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得 0≤m≤2, 故答案为:[0,2]. 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想 ,属于基础题.  

三、解答题
19.【答案】(1) a ? 2 (2) a ≥ 2 (3)两个零点. 【解析】

(1) ? 0 ,解得 a ? 2 ,需 试题分析:(1) 开区间的最值在极值点取得,因此 f ( x) 在 x ? 1 处取极值,即 f ′

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( x)≤0 在区间 ? 0,1? 上恒成立,再利用变量分离转化为对应 验证(2) h( x) 在区间 ? 0,1? 上单调递减,转化为 h′
函数最值 : a≥

4 x2 4 x2 的最大值,根据分式函数求最值方法求得 F ? x ? ? 最大值 2(3)先利用导数研究函数 x ?1 x ?1 m? x ? 单调性:当 x ? ?0,1? 时,递减,当 x ? ?1,?? ? 时,递增;再考虑区间端点函数值的符号: m ?1? ? 0 ,

m (e?4 ) ? 0 , m(e4 ) ? 0 ,结合零点存在定理可得零点个数 a ( x) ? 2 x ? (1) ? 0 即: 2 ? a ? 0 , 试题解析:(1) f ′ 由已知, f ′ x 解得: a ? 2 经检验 a ? 2 满足题意
所以

a?2

………………………………………4 分

? ? 1 ?2 1 ? 1 ?2 因为 x ? ? 0,1? ,所以 ? ?1, ?? ? ,所以 ? ? ? ? ?? ? x ? ? x ? x ?min 所以 F ? x ?max ? 2 ,所以 a ≥ 2 ……………………………………10 分
2 (3)函数 m ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? 6 有两个零点.因为 m ? x ? ? x ? 2ln x ? x ? 2 x ? 6

所以 m′ ? x? ? 2x ?

当 x ? ?0,1? 时, m?? x ? ? 0 ,当 x ? ?1,?? ? 时, m?? x ? ? 0 所以 m ? x ?min ? m ?1? ? ?4 ? 0 ,
3

2 1 2 x2 ? 2 ? x ? x ?1? ? ? x x x

?

x ? 1 2x x ? 2x ? x ? 2 x

??

?

………12 分

……………………………………14 分
8 4 2

1 ? 2e ? e (2e ? 1) (1-e)(1+e+2e ) (e?4 ) ? ?0 m(e?2) = ?0 ,m 4 e8 e 4 m(e4 ) ? e( e4 ? 1) ? 2(e2 ? 7) ? 0 故由零点存在定理可知:

?4 4 函数 m? x ? 在 (e ,1) 存在一个零点,函数 m? x ? 在 (1, e ) 存在一个零点,

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所以函数 m ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? 6 有两个零点. 【思路点睛】

……………………………………16 分

考点:函数极值与最值,利用导数研究函数零点,利用导数研究函数单调性 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参 数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的 走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 20.【答案】 【解析】解:p: ∴(1)若 a= ,则 q: ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ∴ ,∴ ; ,q:a≤x≤a+1; ;

∴实数 x 的取值范围为



(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴ ,∴ ; .

∴实数 a 的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,以及充分不必要条件的概念.   21.【答案】 【解析】解:(1)由已知得,基本事件(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣1,﹣1),(﹣1,0) ,(﹣1,1),(0,﹣1),(0,0)(0,1)共 9 种…4(分) 设“点 P 在第二象限”为事件 A,事件 A 有(﹣2,1),(﹣1,1)共 2 种 则 P(A)= …6(分)

(2)设“点 P 在第三象限”为事件 B,则事件 B 满足

…8(分)



,作出不等式组对应的平面区域如图:

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则 P(B)=

=

…12(分)

  22.【答案】 【解析】(1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面 A1ACC1, 又∵AC?面 A1ACC1,∴AB⊥AC, 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, 则有 A(0,0,0),E(0,1, ),F( , ,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1), 设 D(x,y,z), 则 ∵ D(λ,0,1),所以 =(0,1, ),∴ ? =( = 且 λ∈,即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0), , ,﹣1), =0,所以 DF⊥AE; .

(2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下: 设面 DEF 的法向量为 =(x,y,z),则 ∵ =( , , ), =( ,﹣1), ,



,即



令 z=2(1﹣λ),则 =(3,1+2λ,2(1﹣λ)). 由题可知面 ABC 的法向量 =(0,0,1), ∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ,

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∴|cos< , >|= 解得 或

=

,即

=



(舍),所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求.

【点评】 本题考查空间中直线与直线的位置关系、 空间向量及其应用, 建立空间直角坐标系是解决问题的关键, 属中档题.   23.【答案】 【解析】解:∵ ∴sin( )=﹣ )﹣ =﹣ ]=sin( . ,∴ < =﹣ . )cos ﹣cos( )sin <2π,

∴sinx=sin[(x+ =﹣ ﹣

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式,属于基础题.   24.【答案】 【解析】解:(1)∵A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7}, ∴A∩B=[3,7];A∪B=(2,10);(CUA)∩(CUB)=(﹣∞,3)∪[10,+∞); (2)∵集合 C={x|x>a}, ∴若 A?C,则 a<3,即 a 的取值范围是{a|a<3}.  

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