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3.1.1 分数指数幂(11)


2 .2 指 数 函 数

某细胞分裂时 ,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个, 4 个分裂成 8 个,? ? ? ? ? ? 如果分裂一次需要 10 min, 那 么,1 个细胞1 h 后分裂成多少个细胞 ?
假设细胞分裂的次数为 x, 相应的细胞个数为 y, 则

y ? 2 x .当 x ? 6 时, y ? 26 ? 64,
即1 个细胞1 h 后分裂成64个细胞.

? 在上述例子中 , x 只能取正整数 .我们还知道 对于式子 2 x , x 取 负 整 数和0 也是有意义的 .那 么, x 能取分数甚至无理数吗 ?
为了解决上述问题 , 我们先来探讨分 数指数幂的意义 .

2 . 2 .1 分 数 指 数 幂

数学建构:
1.平方根与立方根. 如果一个数的平方等于a,那么这个数是a的一个平方根, 也就是说,如果x2=a,那么x就是a的一个平方根. 如果一个数的立方等于a,那么这个数是a的立方根, 也就是说,如果x3=a,那么x就是a的立方根. ……

数学建构:
2.n次方根.

一般地,如果一个实数x的满足xn=a(n>0,n?N*), 那么称x为a的n次实数方根. 当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根 是一个负数.这时,a的n次实数方根只有一个,记为 n a .
当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次实数方根是两个,它们互为相反数,正数 a 的正 n 次实数方根用符号 a表示,负的 n 次实数方根用符号- a表示, n 它们可以合并写成的形式± a(a>0). n n

0的n次实数方根等于0

数学建构:
3.根式及其性质.

我们把 n a 叫n次根式,n是根指数,a是被开方数.

a

数学应用:

数学应用:
例2.计算下列各式的值.

(1)

?

2 ?1 ? ? ?2 ? ? ? ?1? ? ?16 ? ? 8?1 ? 42 ? 24 ? ? ?32 ?
4 3 ?2

?

0

(2) 3 ? 2 2 ?

3

?1 ? 2 ?

3

?

4

?1 ? 2 ?

4

3 5 (3) 4 x 2 ? 12 x ? 9 ? 4 x 2 ? 20 x ? 25(? ≤ x ≤ ) 2 2

数学建构:
4.开方运算. 用乘方定义开方,同样用乘方运算完成开方运算.

数学应用:
练习:

(1)25的平方根是
(2)27的立方根是 (3)16的四次方根是


; ;

(4)-32的五次方根是
(5)a6的六次方根是 (6)0的n次方根是 ; .



数学应用:
练习: 下列说法:(1)正数的n次方根是正数;(2)负数的n次方根是负数; (3)0的n次方根是0;(4) 正确命题的序号).
n

a 是无理数.其中正确的是

(写出所有

数学应用:
练习: 对于a>0,b≠0,m,n?Z,以下说法:(1) am· an =amn; m b m n m + n m n m + n ? ? (2) (a ) =a ;(3) a · b = (ab) ;(4) = a? m · bm.其中正确的 ? ? ?a? 是 (写出所有正确命题的序号).

数学应用:
练习: 如果a,b是实数,则下列等式: (1)
3

a3 ? 3 b3 =a+b;

(2) ( a ? b )2=a+b+2 ab ; (3) 4 (a 2 ? b 2 ) 4=a2+b2; (4)
( a ? b ) 2 = a+ b.

其中一定成立的是

(写出所有正确命题的序号).

数学应用:
练习: 已知 x ?

1 1 y ? , ,求 2 3

x? y x? y

?

x? y x? y

的值.

小结:

乘方

开方



方根

根式

作业:
课本63页习题3.1(1)1.


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