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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学必修5【精品课件】3-4 基本不等式


3.4 基本不等式:

ab

≤ a+b 2

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1.记住基本不等式; 学习目标 2.会用基本不等式证明简单的不等式; 3.会用基本不等式求代数式的最值. 重点难点 重点:利用基本不等式求最值; 难点:求最值时代数式的变形.

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1.两个不等式
不等式 不等式 基本不等式 内容 a2+b2≥2ab(a,b∈R) ≤
+ 2

等号成立条件 “a=b”时取“=” “a=b”时取“=”

(a>0,b>0)

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预习交流 1
不等式 a2+b2≥2ab 和基本不等式 ≤ 同? 提示:不等式 a2+b2≥2ab 对任意实数 a,b 都成立; ≤ a,b 都是正实数.
+ 中要求 2 + 成立的条件有什么不 2

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2.基本不等式与最值 已知 x,y 都是正数, (1)若 x+y=s(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值. (2)若 xy=p(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值.

预习交流 2
两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗? 提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.如 sin x 与
4 ,x∈(0,π),两个都是正数,乘积为定值.但是由 0<sin sin 4 4

x≤1 知 sin x≠2,

所以 sin x+sin >2 sin· =4,等号不成立,取不到最小值. sin

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一、利用基本不等式证明不等式 活动与探究
1.a+ ≥2(a≠0)是否恒成立?利用基本不等式需具备的三个条件是 什么? 提示:只有 a>0 时,a+ ≥2,当 a<0 时,a+ ≤-2. 利用基本不等式需具备的三个条件是一正、二定、三相等.
1 1 1

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2.基本不等式 号成立”?

+ 2

≥ (a>0,b>0)中怎样理解“当且仅当 a=b 时等

提示:“当且仅当”等价于“有且只有”,其含义为: (1)由 a=b?
+ (2)由 2 + 2

= ;

= ? a=b.

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3.当 a>0,b>0
2 + 2
2

+ 时, 2

≥ ,所以

+ 2 ≥ab.又 2

≥ab,ab,

2 + 2 2 + , 之间的关系该怎样用不等号表示? 2 2

提示:ab≤

+ 2 2



2 + 2

2

.

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例 1 设 a,b,c 都是正数,求证: + 思路分析:观察可得, 与 而用基本不等式.




+ ≥a+b+c.

2 2 2 , 与 , 与 的积分别为 c ,a ,b ,从

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证明:∵ a,b,c 都是正数,∴ , a=b 时等号成立,

, 都是正数 . ∴ + ≥2c,当且仅当

+ ≥2a,当且仅当

b=c 时等号成立,
+ +

+ ≥2b,当

且仅当 a=c 时等号成立.三式相加,得 2
+ + ≥a+b+c.当且仅当

≥2(a+b+c),即

a=b=c 时等号成立.

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迁移与应用 1.已知 a,b,c 为不全相等的正实数.求证:a+b+c> + + . 证明:∵ a>0,b>0,c>0,∴ a+b≥2 >0,b+c≥2 >0,c+a≥2 >0. ∴ 2(a+b+c)≥2( + + ),即 a+b+c≥ + + . 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,故等号不成立. ∴ a+b+c> + + .

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2.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,求证: + + ≥9. 证明: + + =
1 1 1

1

1

1

++ ++ ++ + + +

=3+

+

+

+

+

≥3+2+2+2=9. 当且仅当 a=b=c= 时等号成立.
1 3

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(1)多次使用 a+b≥2 时,要注意等号能否成立.累加法是不等式 性质的应用,也是证明不等式的一种常用方法. (2)对不能直接使用基本不等式的证明,要重新组合,构造运用基本 不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为 1,要注意“1”的代换.

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二、利用基本不等式求最值 活动与探究
1.当 x<0 时,如何求 x+ 的最值? 提示:当 x<0 时,-x>0,- >0, 所以-x+ 1 1 1

≥2,即 x+ ≤-2.
1

1

当且仅当-x=- ,即 x=-1 时等号成立.

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2.若 x>1,怎样求 x+ 提示:∵ x>1,∴ x-1>0. ∴ (x-1)+ ∴ x+
1 ≥2. -1

1 的最值? -1

1 1 =x-1+ +1≥2+1=3, -1 -1 1 ,即 -1

当且仅当 x-1=

x=2 时等号成立.

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例 2(1)若 x>0,求 f(x)=4x+ 的最小值; (2)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; (3)已知 x>2,求 x+
4 的最小值; -2 1 9 3 2

9

(4)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. 思路分析:利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形 使其和或积为定值,再利用基本不等式求解.

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解:(1)∵ x>0,∴ 由基本不等式得 f(x)=4x+≥2 4· =2 36=12, 当且仅当 4x=,即 x=2时,f(x)=4x+取最小值 12. (2)∵ 0<x<2,∴ 3-2x>0. ∴ y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2
3 4 2+(3-2) 2
2

9

9

9

3

9

3

= .
9 2

9 2

当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时取“=”.∴ y 的最大值为 .

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(3)∵ x>2,∴ x-2>0.∴ x+ 当且仅当 x-2=
1 4 ,即 -2 9

4 4 =(x-2)+ +2≥2 -2 -2 4 取最小值 -2

(-2)· +2=6. 6.

4 -2

x=4 时,x+

(4)∵ x>0,y>0, + =1, ∴ x+y=(x+y)
1 9 +

=10+ +
9



9 ≥10+2

9=16.

当且仅当 =

9 1 且

+ =1 时等号成立.

即 x=4,y=12 时等号成立.∴ 当 x=4,y=12 时,x+y 有最小值 16.

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迁移与应用 1.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) 答案:D 解析:∵ 2 +2 =1≥2 ∴ x+y≤-2.
x y

).

B.[-2,0] D.(-∞,-2]

2 1 2 + ,∴ ≥2x+y,即 2x+y≤2-2. 2

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2.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= 答案:36 解析:由基本不等式可得 4x+ ≥2 4· =4 ,当且仅当 4x= 即 x= 时等号成立. 故 2 =3,a=36.
2



.

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在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求 定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰 当变形,合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号 成立的条件.

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三、利用基本不等式解决实际问题 活动与探究
例 3 如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面 可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.

(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时, 可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 思路分析:设每间虎笼长 x m,宽 y m,则问题是在 4x+6y=36 的前提 下求 xy 的最大值.

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解:(1)设每间虎笼长 x m,宽为 y m,则由条件知 4x+6y=36,即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. (方法一)由于 2x+3y≥2 2· 3=2 6, ∴ 2 6≤18,得 xy≤ 2 , 即 S≤ 2 ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立. 2 + 3 = 18, = 4.5, 由 解得 2 = 3, = 3. 故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大.
27 27

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(方法二)∵ 2x+3y=18,
1 1 2+3 2 ∴ S=xy= · (2x)· (3y)≤ · 6 6 2

=

81 6

=

27 .(以下同方法一) 2

(2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. ∵ 2x+3y≥2 2· 3=2 6=24,∴ l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.由 2 = 3, = 6, 解得 = 24, = 4.

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

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迁移与应用 1.某公司一年购买某种货物 400 t,每次都购买 x t,运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最 小,则 x= 答案:20 解析:每年购买 ∴ 总费用=
400 次.

t.

400 ×4+4x≥2 1 600 =4x,即

6 400=160, x=20 时等号成立.

当且仅当

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2.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至 少 10 层,每层 2 000 m2 的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每 平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平 均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 费用+平均购地费用,平均购地费用= 注:平均综合费用=平均建筑

购地总费用 建筑总面积

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解:设将楼房建为 x

2 160×104 层,则每平方米的平均购地费用为 2 000

=

10 800 .于是每平方米的平均综合费用 225

y=560+48x+

10 800 =560+48 225 ≥2

+

(x≥10),当 x+ 当且仅当 x=

225 取最小时,y

有最小值.∵ x>0,∴ x+

· =30,

225

225 ,即

x=15 时,上式等号成立.∴ 当 x=15 时,y 有最小值

2 000 元.因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小.

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利用基本不等式解决实际问题应遵循以下几点: (1)在理解题意的基础上,设变量一定要把求最大值或最小值的变 量定义为函数; (2)建立相应的函数解析式,将实际问题转化、抽象为函数的最大值 或最小值问题; (3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量的取值范围),求出函数 的最大值或最小值; (4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案,回答实际问题.

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1

2

3

4

5

1.设 x,y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值是( A.10 答案:D 解析:∵ 3x>0,3y>0, ∴ 3x+3y≥2 3 · 3 =2 3 + =2 35=18 3. B.6 3 C.4 6

). D.18 3

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1

2

3

4

5

2.如果 log3m+log3n=4,那么 m+n 的最小值是( A.4 3 答案:D B.4 C.9

). D.18

解析:∵ m>0,n>0,由 log3m+log3n=log3mn=4, ∴ mn=81.∴ m+n≥2 =18.

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1

2

3

4

5

3.已知第一象限的点(a,b)在直线 2x-3y-1=0 上,则 + 的最小值为( A.24 答案:B 解析:因为第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y-1=0 上, 所以有 2a+3b-1=0,a>0,b>0,即 2a+3b=1, 所以 + = 仅当 =
6 6 ,即 2 3 2 3 + 1

2

3

).

B.25

C.26

D.27

(2a+3b)=4+9+
2

6 6 6 6 + ≥13+2 · =25,当且 3

a=b=5时取等号,所以 + 的最小值为 25,选 B.

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1

2

3

4

5

4.设常数 a>0,若 为 答案: 5 , + ∞
1

2 9x+ ≥a+1

对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围

.

2 解析:∵ x>0,a>0,∴ 9x+ ≥6a,当且仅当

2 9x= ,即

x= 时取等号.
1

3

从而由原不等式对 x>0 恒成立得 6a≥a+1,∴ a≥5.

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1
1

2

3

4

5

5.设 x>0,则 y=3-3x-的最 答案:大 3-2 3
1

值为

.

解析:∵ x>0,∴ 3x+ ≥2 3. ∴ - 3 + ≤-2 3. ∴ y=3-3x- ≤3-2 3. 所以,y 有最大值 3-2 3,当且仅当 3x=时,即当 x= 3 时取“=”.
1 3 1 1


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