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2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高二(下)第二次质检数学试卷(文科)


2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学 校高二(下)第二次质检数学试卷(文科) 
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分) 1.(2014春?徐州期末)函数y=4sin(3x﹣ )的最小正周期为   . 考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为 ,计算求得结果. 解答: 解:函数y=4sin(3x﹣ )的最小正周期为 , 故答案为: . 点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 ,属于基础题   2.(2011?太原模拟)函数f(x)=lg(x+1)的定义域是 (﹣ 1,+∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 函数给出的是含对数式的复合函数,求其定义域,需保证真数 大于0. 解答: 解:由x+1>0,得x>﹣1,所以原函数的定义域为(﹣ 1,+∞).

故答案为(﹣1,+∞). 点评: 本题考查了函数定义域及其求法,解答的关键是保证构成函数 式的每一部分都有意义,属基础题.   3.(2014春?扬州期末)“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函 数”的 充分不必要 条件.(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充 分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据φ=0,得函数f(x)=sin(x+φ)=sinx,运用奇偶性定义判 断,再由函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数得出sinφ=0,即,φ=kπ, k∈z, 可以判断答案. 解答: 解:∵φ=0,∴函数f(x)=sin(x+φ)=sinx, f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sin(x)=﹣f(x) ∴f(x)为奇函数, ∵函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数, ∴sin(﹣x+φ)=﹣sin(x+φ) sinφcosx﹣cosφsinx=﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ sinφcosx=﹣cosxsinφ, 即sinφ=0,φ=kπ,k∈z, 根据充分必要条件的定义可判断: “φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要. 点评: 本题考查了函数的奇偶性的判断,充分必要条件的判断,属于 容易题.   4.(2014春?扬州期末)函数y=ex在x=1处的切线的斜率为 e . 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的综合应用. 求出原函数的导函数,得到函数y=ex在x=1处的导数,即函数 解:由y=ex,得y′=ex,

y=ex在x=1处的切线的斜率.

∴y′|x=1=e. 即函数y=ex在x=1处的切线的斜率为e. 故答案为:e. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,过曲线上某 点处的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.   5.(2014秋?零陵区校级期中)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点 (2, ),则f(4)的值等于 2 . 考点: 专题: 分析: 解答: ), 所以 ,解得a= . 函数的解析式为:f(x)= . f(4)= =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,基本知识的 考查.   6.(2014春?徐州期末)若cosθ=﹣ 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 求出幂函数的解析式,然后求解函数值即可. 解:幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,

,tanθ>0,则sinθ= ﹣  . 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 依题意,可得θ在第三象限,利用同角三角函数基本关系即可 求得sinθ的值. 解答: 解:∵cosθ=﹣ ,tanθ>0, ∴θ在第三象限, ∴sinθ=﹣ =﹣ , 故答案为:﹣ . 点评: 本题同角三角函数基本关系的运用,判断得到θ在第三象限是 关键,属于中档题.   7.(2014春?海安县校级期末)已知f(x﹣1)=x2﹣3x,则函数f(x) 的解析式f(x)= f(x)=x2﹣x﹣2 . 考点: 专题: 分析: 函数解析式的求解及常用方法. 计算题. 由已知中f(x﹣1)=x2﹣3x,我们可将式子右边凑配成a(x﹣

1)2+b(x﹣1)+c的形式,进而将(x﹣1)全部替换成x后,即可得到 答案. 解答: 解:∵f(x﹣1)=x2﹣3x =(x﹣1)2﹣(x﹣1)﹣2

∴f(x)=x2﹣x﹣2 故答案为:x2﹣x﹣2 点评: 本题考查的是函数解析式的求解及其常用方法,其中本题使用 的凑配法,是已知复合函数解析式及内函数的解析,求外函数解析式时 常用的方法,属于基础题.   8.(2014春?扬州期末)函数f(x)=sinx﹣cosx的值域为   . 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由f(x)=sinx﹣cosx= ,即可得出. 解答: 解:f(x)=sinx﹣cosx= = , ∵ ∈[﹣1,1]. ∴ . ∴函数f(x)=sinx﹣cosx的值域为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性,属于基 础题.   9.(2014秋?溧阳市期中)设a=0.32,b=20.3,c=log

2,则a,b,c的大小关系为 c>b>a (用“<”号连结) 考点: 专题: 分析: 解答: 对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解:∵0<a=0.32<1,2>b=20.3>1,c=log

2=2, ∴c>b>a. 故答案为:c>b>a. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.   10.(2015?甘肃一模)若tanθ+ =4,则sin2θ=   . 考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函 数关系代换,利用齐次式的方法化简,可求出所求. 解答: 解:若tanθ+ =4,则 sin2θ=2sinθcosθ= = =

= = , 故答案为 . 点评: 本题主要考查了二倍角公式,以及齐次式的应用,同时考查了 计算能力,属于中档题.   11.(2014春?海安县校级期末)方程lgx=x﹣5的大于1的根在区间(n, n+1),则正整数n= 5 . 考点: 函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将“方程lgx=x﹣5的根”转化为:“函数f(x)=lgx,y=x﹣5的交 点”,在同一坐标系内作出两函数的图象,由数形结合求解. 解答: 解:令:f(x)=lgx,y=x﹣5 由图象知,lgx=x﹣5的大于1的根x0>5 又∵f(5)>0,f(6)<1, 故x0∈(5,6), ∴n=5, 故答案为:5. 点评: 本题主要考查方程的根的求解转化为函数图象交点求解的能 力,函数,方程,不等式三者是密不可分的.属常考常新的问题,应熟 练掌握.   12.(2010?南通模拟)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最 大值与最小值之差为 ,则a= 4 . 考点: 专题: 分析: 对数函数的单调性与特殊点;函数的最值及其几何意义. 计算题. 利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值,利用条件建

立等量关系,解对数方程即可. 解答: 解:∵a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最 小值分别为loga2a,logaa=1, 它们的差为 , ∴ ,a=4, 故答案为4 点评: 本题考查了对数函数的单调性,以及函数最值及其几何意义, 属于基础题.   13.(2012?天津)已知函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是  (0,1)∪(1,4) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象,结合图象,可得实数k的取值范围. 解答: 解:y= = = 函数y=kx﹣2的图象恒过点(0,﹣2) 在同一个坐标系下画出函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象

结合图象可实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4) 故答案为:(0,1)∪(1,4) 点评: 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,同时考查了作图 能力和分类讨论的数学思想,属于基础题.   14.(2015?高安市校级一模)已知函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上 的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cosx﹣b2)≥f(sin2x﹣b ﹣3)恒成立,则实数b的取值范围是   . 考点: 专题: 分析: 函数单调性的性质. 计算题;函数的性质及应用. 根据函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于

一切实数x,不等式f(cosx﹣b2)≥f(sin2x﹣b﹣3)恒成立,可得cosx ﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4,即cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1,从而 可求实数b的取值范围. 解答: 解:∵函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对 于一切实数x,不等式f(cosx﹣b2)≥f(sin2x﹣b﹣3)恒成立, ∴cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4, ∴cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1,

∵cosx﹣sin2x=(cosx+ )2﹣ ∈[﹣ ,1],sin2x∈[0,1], ∴b2﹣b﹣3≤﹣ 且b﹣1≤0, ∴实数b的取值范围是 . 故答案为: . 点评: 本题考查函数单调性的性质,考查解不等式,转化为cosx﹣ b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4是关键.   二、解答题(本大题共6小题,共90分). 15.(2013春?扬州期末)已知α,β均为锐角,且cosα= ,tan(α﹣β)=﹣ . (1)求cos(α﹣β)的值; (2)求sinβ的值. 考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;两角和 与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据平方关系和α是锐角即可得出sinα,再利用基本关系式即

可得出tanα,利用两角和的正切公式即可得出tanβ,利用基本关系式可 得sinβ,cosβ,利用两角和的余弦公式展开即可得出. 解答: 解:(1)法一∵ , ,∴ = ,∴ = . ∵

,解得tanβ= . 联立

,解得

. ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

= . 法二:令α﹣β=θ,那么θ∈(﹣ ,0) 由tanθ= =﹣ 得:sinθ=﹣ cosθ ∴ cos2θ+cos2θ=1 ?cos(α﹣β)= (2)由(1)可得 . 点评: 本题中考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余 弦公式等基础知识与基本方法,属于基础题.   16.(2015春?睢宁县校级月考)已知f(x)=x2+2ax+2 (1)当a=﹣1时,求函数的最小值; (2)求a的取值范围,使得函数在区间[5,+∞]上为单调增函数; (3)试求函数在区间[1,2]上的最小值. 考点: 性. 专题: 分析: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调 导数的综合应用. (1)将a=﹣1代入,结合二次函数的性质,从而求出函数的最

小值; (2)先求出函数的导数,结合函数的单调性得到不等式,解出即可; (3)先求出函数的对称轴,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从 而求出函数的最小值. 解答: 解:(1)a=﹣1时,f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1, ∴f(x)的最小值是1; (2)f′(x)=2x+2a, 若函数在区间[5,+∞]上为单调增函数, 只需f′(x)=2x+2a≥0在[5,+∞)恒成立, 即a≥﹣x在[5,+∞)恒成立, ∴a≥﹣5; (3)函数f(x)的对称轴是:x=﹣a, ①当﹣a≤1,即a≥﹣1时,f(x)在[1,2]递增, f(x)最小值=f(1)=2a+3, ②当1≤﹣a≤2,即﹣2≤a≤﹣1时, f(x)最小值=f(﹣a)=﹣a2+2, ③﹣a≥2,即a≤﹣2时,f(x)在[1,2]递减, f(x)最小值=f(2)=4a+6. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性问题,考查导 数的应用,是一道中档题.   17.(2015春?睢宁县校级月考)已知函数f(x)=sinx﹣cosx,f′(x) 是f(x)的导函数. (1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最小正周期和最大值. (2)若f(x)=2f′(x),求 的值. 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用;三角函数的求值. 分析: (1)先求导,再根据三角函数的倍角公式,和差公式,化简 得到F(x)=1﹣ sin(2x+

),即可求出最小正周期和最大值; (2)由题意化简得到tanx=﹣3,化简 = ,再带值就计算. 解答: 解:(1)f′(x)=cosx+sinx, ∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)=(sinx﹣cosx)(cosx+sinx)+(sinx ﹣cosx)2, =(sin2x﹣cos2x)+(1﹣2sinxcosx), =1﹣cos2x﹣sin2x, =1﹣ sin(2x+ ), ∴函数F(x)最小正周期为π,最大值1+ ; (2)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx﹣cosx=2(cosx+sinx), 得到sinx+3cosx=0, 即tanx=﹣3, ∴ = = =﹣2. 点评: 本题考查二类导数的运算法则,和三角函数的和差公式,倍角 公式,属于中档题.   18.(16分)(2014春?扬州期末)如图,某市新体育公园的中心广场 平面图如图所示,在y轴左侧的观光道曲线段是函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π),x∈[﹣4,0]时的图象且最高点B(﹣1, 4),在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧. (1)试确定A,ω和φ的值; (2)现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO(单位:米),在点C

与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米),从D到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米).设∠DCO=θ(弧 度),试用θ来表示修建步行道的造价预算,并求造价预算的最大值? (注:只考虑步行道的长度,不考虑步行道的宽度)

考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点 法作图求出φ的值. (2)由题意可得 ,取CO中点F,求得圆弧段 造价预算为 万元,直线段CD造价预算为 万元,可得步行道造价预算 , . 再利用导数求出函数g(θ)的单调性,从而求得g(θ)的最大值. 解答: 解:(1)因为最高点B(﹣1,4),所以A=4; , 因为 . 代入点B(﹣1,4),可得 , 又

. (2)由(1)可知: ,得点C 即 , 取CO中点F,连结DF,因为弧CD为半圆弧,所以∠DFO=2θ, ∠CDO=90°, 即 ,则圆弧段 造价预算为 万元. Rt△CDO中, ,则直线段CD造价预算为 万元, 所以步行道造价预算 , . 由 得,当 时,g′(θ)=0, 当 时,g′(x)>0,即g(θ)在

上单调递增; 当 时,g′(x)<0,即g(θ)在 上单调递减 所以g(θ)在 时取极大值,也即造价预算最大值为( )万元. 点评: 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式, 利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.   19.(16分)(2011秋?苏州期末)已知函数 . (1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)求证: ; (3)已知a,b∈(﹣1,1),且 , ,求f(a),f(b)的值. 考点: 专题: 分析: 对数函数图象与性质的综合应用. 综合题. (1)由

可得函数的定义域(﹣1,1),关于原点对称,再由

= 可判断函数奇偶性 (2)分别计算 f(a)+f(b)与 可证 (3)由(2) 可得f(a)+f(b)=1 ,f(a)+f(b)=2结合奇函数的性质可得f(﹣b)=﹣f(b),从而可 求 解答: 解:(1)由 可得函数的定义域(﹣1,1),关于原点对称 ∵ = 故函数f(x)为奇函数 (2)∵f(a)+f(b)= =

=

= ∴

(3)∵ =1 ∴f(a)+f(b)=1 =2 ∴f(a)+f(﹣b)=2 ∵f(﹣b)=﹣f(b), ∴f(a)﹣f(b)=2,解得: 点评: 本题主要考查了对数函数的定义域的求解,函数的奇欧性的判 断及利用对数的基本运算性质证明等式,属于对数知识的综合应用.   20.(16分)(2013春?徐州期末)已知函数f(x)=ax3+bx2lnx,若 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x﹣2. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[ ,e]上的单调区间和最值; (3)若存在实数m∈[﹣2,2],函数g(x)=

x3﹣(2m+n)x在(1,e)上为单调减函数,求实数n的取值范围. 考点: 值. 专题: 分析: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最 导数的综合应用. (1)由题意利用导数的几何意义可得

,解得a,b即可. (2)利用导数的运算法则可得f′(x).令f′(x)=0,解得x. 分别解 出f′(x)>0与f′(x)<0,列出表格即可得出其单调区间及其最值.

(3)求出g′(x),由题意可知g(x)在(1,e)上为单调减函数,可 得:g′(x)≤0恒成立,即2m+n≥2x2lnx.于是 .可得n≥﹣2m+2e2.由存在实数m∈[﹣2,2],使得上式成立,可得 n≥(﹣2m+2e2)min,即可得出n的取值范围. 解答: 解:(1)f′(x)=3ax2+2bxlnx+bx,(x>0). ∵f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x﹣2, ∴

,解得 , ∴f(x)=2x2lnx. (2)由(1)可知:f′(x)=4xlnx+2x=2x(2lnx+1),令f′(x)=0,解 得 . x

f′(x) ﹣ 0 + f(x) 单调递减 极小值 由表格可知:f(x)在[ ,e]上的单调递增区间为

单调递增

,单调递减区间为 . 最小值为 =﹣ , 又 = ,f(e)=2e2,故最大值为2e2. (3) , 由题意可知g(x)在(1,e)上为单调减函数,∴g′(x)≤0恒成立, 即2x2lnx﹣(2m+n)≤0, ∴2m+n≥2x2lnx. ∴ . ∴n≥﹣2m+2e2. ∵存在实数m∈[﹣2,2],使得上式成立,∴n≥(﹣2m+2e2)min=﹣ 4+2e2, ∴n的取值范围是[﹣4+2e2,+∞). 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方 程、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能,属于难题.  


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