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广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——立体几何理科


广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——立体几何
一、选择题填空题 1、 (2009 广州一模) .一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm) 2 如图 3 所示,则该几何体的侧面积为_______cm . 80 5 5

5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

2

( 2009

广 东 三 校 一 模 ) 如 图 , 设 平 面 8 俯视图
? B

? ? ? ? EF , AB ? ? , CD ? ? ,垂足

图3

分别为 B , D ,若增加一个条件,就能推出 BD ? EF . 现有① AC ? ? ; ② AC 与 ? , ? 所成的角相等;
E

D

A

③ AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一条直线上;④ AC ∥ EF .
C ?

那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是 F A.1 个 B .2 个 C .3 个 D . 4 个. C 3、 (2009 东莞一模)如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图 是一个圆,那么几何体的侧面积为 A. C.
1 2
2 4

?

B. D.
?
4

2 2

?

?

A 4、 (2009 番禺一模) 一个几何体的三视图如右图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形, 俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ) .
2 3

A.12
3 2

B.

C. C

D.6

5、 (2009 汕头一模)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是 互相平行的两条直线; ②若平面α ∥平面β ,则平面α 内任意一条直线 m∥ 平面β ; ③若平面α 与平面β 的交线为 m,平面α 内的直线 n⊥直线 m,则直线 n⊥平面β ; ④若平面α 内的三点 A, B, C 到平面β 的距离相等,则α ∥β .

其中正确命题的个数为( )个。 A .0 B .1 C .2 D .3 B 6、 (2009 湛江一模)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图 如下图所示,则它的体积的最小值为 值为 . ,最大

10

(2 分) 1 6 (3 分). ,

主视图

俯视图

二、解答题 1、 (2009 广州一模)如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AB⊥AC,D、E、F 分别是棱 PA、PB、PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF∥平面 ABC; (2)若 PA=BC=2,当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时,求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值.. (本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力) 证明:∵D、E 分别是棱 PA、PB 的中点, P ∴DE 是△PAB 的中位线,∴DE∥AB, ∵DE ? 平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴DE∥平面 PAB, ……2 分 D F ∵DE∩DF=D,DE? 平面 DEF, E DF? 平面 DEF, A C ∴平面 DEF∥平面 ABC. ……4 分 (2)求三棱锥 P-ABC 的体积的最大值,给出如下两种解法: 解法 1:由已知 PA⊥平面 ABC, AC⊥AB,PA=BC=2, B ∴AB2 +AC2 =BC2=4, ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =
1 3 ? P A ? S? ABC ? 1 3 ? PA ? 1 2 ? AB ? AC

……6 分
? 1 6 ? 2 ? AB ? AC ? 1 3 ? AB ? AC
2 2

?

1 3

?

BC 2

2

?

2 3

.
2 3

2

当且仅当 AB=AC 时等号成立,V 取得最大值,其值为 解法 2:设 AB=x,在△ABC 中, A C ? ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =
? 1 3 x 4?x
2

,此时 AB=AC= 2 .
4?x
1 2
2

BC ? AB
2

2

?

(0<x<2),

1 3

? P A ? S? ABC ?

1 3

? PA ?

? AB ? AC

……6 分

?

1 3

4x ? x
2

4

?

1 3

? (x ? 2 ) ? 4 ,
2 2

∵ 0<x<2 , 0<x2<4 , ∴ 当 x2=2 , 即 x ? AB=AC= 2 .

2 时,V 取得最大值,其值为

2 3

,此时

……8 分

求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..,给出如下两种解法: 解法 1:作 DG⊥EF,垂足为 G,连接 AG, ∵PA⊥平面 ABC,平面 ABC∥平面 DEF,∴P A⊥平面 DEF, ∵EF? 平面 DEF,∴ P A⊥EF. ∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面 PAG,AG? 平面 PAG,∴EF⊥AG, ∴∠AGD 是二面角 A-EF-D 的平面角. ……10 分 在 Rt△EDF 中,DE=DF= P
EF ? 1 2
1 2 AB = 2 2



B C = 1 ,∴ D G ?

1 2

.

D E A G

F

在 Rt△ADG 中,
AG = AD + DG
2 2

?

1+

1 4

?

5 2



C
1 DG AG

B

∴?AGD =

?

2 5 2

?

5 5

.

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 5

.

……14 分

解法 2:分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),D(0,0,1),E(
??? ? 2 2 2 2 2 2 ??? ,, , F ? ( ? 0 1) E 2 2 2 2

,0,1),

F(0,

,1). ∴ A E ? (



,) . 0

……9 分 P D z

? 设 n ? ( x , y , z) 为平面 AEF 的法向量,
? ?n ? 则?? ?n ? ??? ? ?AE ? 0 , ??? ? EF ? 0

F

E A B x C y

? 2 x+z ? 0 ? 即? 2 ? 2 2 ? ? x+ y ? 0 ? ? 2 2

,令 x =

2

,则 y =

2

,z=-1,

? ∴ n ? ( 2, 2, 1 ) 为平面 AEF 的一个法向量.

?

……11 分

∵平面 DEF 的一个法向量为 D A ? (0,0, 1 ) , ?
? ???? ∴ c o s ? n,D A ? ? ? ???? n,D A ? ???? ? | n || D A | 1 ( 2 ) ? ( 2 ) ? ( ? 1) ? 1
2 2 2

????

?

5 5



……13 分 而 n 与 D A 所成角的大小等于二面角 A-EF-D 的平面角的大小.
5 5

?

????

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

.

……14 分

2、 (2009 广东三校一模)如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a ,
? ABC ? 60 ,平面 ACFE
?

? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上.

(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值. (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,? AB // CD ,
AD ? DC ? CB ? a , ? ABC ? 60 ? 四边形 ABCD 是等腰梯形,
?

M E

F

D A
F M

C B

且 ? DCA ? ? DAC ? 30 , ? DCB ? 120
?

?

?

E

? ? ACB ? ? DCB ? ? DCA ? 90 ? AC ? BC

2
C N



又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC , ? BC ? 平面 ACFE 4分 (Ⅱ)解法一、当 EM ?
3 3 a 时, AM // 平面 BDF ,

D

A

B

5分

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2
? EM ? 3 3 a ,而 EF ? AC ?

6分 7分 8分 9分

3 a ? EM : MF ? 1 : 2 ,

? MF // AN ,? 四边形 ANFM

是平行四边形,? AM // NF

又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF

解法二:当 EM ?

3 3

a 时, AM // 平面 BDF ,

由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA , CB , CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
3a 2 1 2

5分

则 C ( 0 ,0 ,0 ) , B ( 0 , a ,0 ) , A ( 3 a ,0 ,0 ) , D (

,?

a ,0 ) ,

z F

E
F ( 0 ,0 , a ) , E ( 3 a ,0 , a )
? AM ? 平面 BDF ,
? ? ?

? AM // 平面 BDF

? AM 与 FB 、 FD 共面,
? ? ?

D x A

C O B y

也等价于存在实数 m 、 n ,使 AM ? m FB ? n FD ,

?

?

?

?

?

?

?

设 EM ? t EF .? EF ? ( ? 3 a , 0 , 0 ) , EM ? ( ? 3 at , 0 , 0 ) ? AM ? AE ? EM ? ( ? 3 at , 0 , a )
?

又 FD ? (

3 2

a ,?

1 2

?

a , ? a ) , FB ? ( 0 , a , ? a ) ,

6分

从而要使得: ( ? 3 at , 0 , a ) ? m ( 0 , a , ? a ) ? n (
? 3 an ? ? 3 at ? 2 ? 1 1 ? 需 ? 0 ? ma ? an ,解得 t ? 3 2 ? ? a ? ? am ? an ? ?
? 当 EM ?

3 2

a ,?

1 2

a , ? a ) 成立,

8分

3 3

a 时, AM // 平面 BDF

9分

(Ⅲ)解法一、取 EF 中点 G , EB 中点 H ,连结 DG ,GH , DH
F

? DE ? DF ,? DG ? EF ? BC ? 平面 ACFE ? BC ? EF

G E

又? EF ? FC ,? EF ? FB ,又? GH // FB ,? EF ? GH
? BE
2

? DE

2

? DB

2

? ? DGH 是二面角 B ? EF ? D 的平面角.

6分
D C

H

在 ? BDE 中, DE ?

2 a , DB ?

3 a , BE ?

AE

2

? AB

2

?

5a
A B

? ? EDB ? 90 ,? DH ?

?

5 2

a.

7分

又 DG ?

5 2

a , GH ?

2 2

a .

8分

? 在 ? DGH 中,由余弦定理得 cos ? DGH

?

10 10

,

9分 z

即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为

10 10

. E

F

解法二:由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA , CB , CF 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则 C ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , a , 0 ) , A ( 3 a , 0 , 0 ) , D
3a 2 1 2
? ?

C O B x A y

D(

,?

a , 0 ) , F ( 0 , 0 , a ) , E ( 3 a , 0 , a ) 过 D 作 DG ? EF ,

垂足为 G . 令 FG ? ? FE ? ? ( 3 a , 0 , 0 ) ? ( 3 ? a , 0 , 0 ) ,
CG ? CF ? FG ? ( 3 a ? , 0 , a ) ,
? ? ? ?

?

?

?

DG ? CG ? CD ? ( 3 ? a ?

?

?

?

3 2

a,

1 2

a, a)

由 DG ? EF 得, DG ? EF ? 0 ,? ? ?

1 2

?

? DG ? ( 0 ,

1 2

?

a , a ) ,即 GD ? ( 0 , ?

1 2

a ,? a )

11 分

? BC ? AC , AC // EF , ? BC ? EF ,? BF ? EF
?

?

? 二面角 B ? EF ? D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角.
?

12 分

? FB ? ( 0 , a , ? a )
? ? ? ?

13 分
GD ? FB
? ?

cos ? GD , FB ??

?

10 10

GD ? FB

即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为

10 10

.

14 分

3、 (2009 东莞一模)如图,在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1中 , AD ? AA 1 ? 1, AB ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角

D 1 ? EC ? D 的大小为

?
4

。若存在,确定

点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解一: (1)证明:连结 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影。又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) 4分 (2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为
| AC
1

|?
?

x

2

? 4
? 2x ? 2
2

如图乙的最短路程为
| AC
1

( x ? 1) ? 1 ?
2

x

2

? x ?1
? x
2

? 2x ? 2 ? x
2

2

? 2? 2 ? x

? 4

?

x

? 4 ? 2

2? x ? 2

………………9 分

(3)假设存在,平面 DEC 的法向量 n 1 ? ( 0 , 0 ,1) , D 1 C ? ( 0 , 2 , ? 1) 设平面 D1EC 的法向量 n 2 ? ( x , y , z ) ,则 ? x ? ( 2 ? a ) y ?
? n 2 ? ( 2 ? a ,1, 2 ) …………………12 分

?z ? 2 y

由题意得: cos ? n 1 , n 2 ?? 解得: a ? 2 ?
即当点 E 离 B 为

2 (2 ? a ) ? 1 ? 2
2 2 2

?

2 2

3或 a ? 2 ?

3

(舍去)
?
4 . ………14 分

3时 , 二面角 D 1 ? ED ? D 的大小为

4、 (2009 番禺一模)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是边长为 a 的正方形,侧面 P A D ? 底 面 ABCD , 且 PA ? PD ?
2 2 A D ,若 E 、 F 分别为线段 P C 、 B D 的中点.
P E C D

(1) 求证:直线 E F // 平面 P A D ; (2) 求证:平面 P D C ? 平面 P A D ; (3) 求二面角 B ? P D ? C 的正切值. .(1) 证 明 : 连 结 A C E F // P A

, 在

?CPA


F

……2 分

且 P A ? 平面 P A D , E F ? 平面 A
? EF // 平面 PAD …………………………………………………………………………………………………….4 分

PAD
B

(2)证明:因为面 P A D ? 面 A B C D 所以, C D ? 平面 P A D
2 2

平面 P A D ? 面 A B C D ? A D

CD ? AD

? C D ? P A ………………………………………………………………………6 分

又 PA ? PD ?

A D ,所以 ? P A D 是等腰直角三角形,且 ? APD ?

?
2

即 P A ? P D …………………………………………………………………………………………………………………….8 分 C D? P ?D ,且 C D 、 P D ? 面 A B C D D
? PA ? 面 PDC

又 PA ? 面 PAD

面 P A D ? 面 P D C ……………………………………………………………..10 分
P E M C D

(3)解:设 P D 的中点为 M ,连结 E M , M F ,则 E M ? P D 由(Ⅱ)知 E F ? 面 P D C , E F ? P D PD ? 面 EFM PD ? M F ? E M F 是二面角 B ? P D ? C 的平面角……………………………………….12 分
R t ? F E M 中, E F ?

1 2

PA ?

2 4

a

EM ?

1 2

CD ?

1 2

a
A

F B

2 tan ? E M F ? EF EM ? 4 1 2

a ? a

2 2

故所求二面角的正切为

2 2

……14 分

另解:如图,取 A D 的中点 O , 连结 O P , O F . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 P A D ? 底面 A B C D , 平 面 P A D ? 平 面 A B C D ? A D , ∴? P O ? 平 面 A B C D ,

z P

E

D O

C

而 O , F 分别为 A D , B D 的中点,∴ O F // A B ,又 A B C D 是正方 形,故 O F ? A D . ∵ PA ? PD ?
2 2 A D ,∴ P A ? P D , O P ? O A ?
a 2
x

F A B

y

.

以 O 为 原 点 , 直 线 O A, O F , O P 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 线 坐 标 系 , 则 有
A( a 2 a a a a a , 0 ,, F 00 ,) , 0 ) , D ( ? , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , ) , B ( , a , 0 ) , C ( ? , a , 0 ) . ( 2 2 2 2 2

a a a , , ). 4 2 4 ???? ??? ? a a a (1)易知平面 P A D 的法向量为 O F ? ( 0 , , 0 ) 而 E F ? ( , 0 , ? ) , 2 4 4 ???? ??? ? a a a 且 O F ? E F ? ( 0 , , 0 ) ? ( , 0 , ? ) ? 0 , ∴ E F //平面 P A D . 2 4 4

∵ E 为 P C 的中点, ∴ E ( ?

(2)∵ P A ? ( , 0 , ?

??? ?

a

a

???? ) , C D ? (0 , a , 0 )

∴ P A ? C D ? ( , 0, ?

??? ???? ?

a

a 2

) ? (0, a , 0 ) ? 0 ,

2 2 2 ??? ? ???? ∴ P A ? C D ,从而 P A ? C D ,又 P A ? P D , P D ? C D ? D ,

∴ P A ? 平 面 P D C ,而 P A ? 平 面 P A D ,
??? ? a

∴平面 P D C ? 平面 P A D
a

(3)由(2)知平面 P D C 的法向量为 P A ? ( , 0 , ?

). 2 2 ???? ? a a ???? 设平面 P B D 的法向量为 n ? ( x , y , z ) .∵ D P ? ( , 0 , ), B D ? ( ? a , a , 0 ) , 2 2
a ? a ? ???? ? ???? ? ?x? 0?y ? ?z ? 0 ∴由 n ? D P ? 0, n ? B D ? 0 可得 ? 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ? 1 , 2 ??a ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ?
? ??? ? ? ??? ? ? n ? PA 故 n ? (1,1, ? 1) ,∴ c o s ? n , P A ? ? ? ??? ? ? n PA a 2 2
6 3 2 2

? 3

6 3

,

a?

即二面角 B ? P D ? C 的余弦值为

,二面角 B ? P D ? C 的正切值为

.

5 、 2009 江 门 一 模 ) 如 图 5 , 直 四 棱 柱 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中 , D ? AA 1 ? B 是 直 二 面 角 , (
D ? CC
1

? B 是 45 二面角,侧面 A A1 D 1 D // 侧 面 B C C 1 B1 A1 AB ? AD ? AA 1 ? 2 . , D
0

1

⑴求三棱锥 C ? B 1 C 1 D 1 的体积; ⑵求证 B 1 D 1 ? 平面 CDD 1 C 1 ; ⑶求二面角 C 1 ? B1 D 1 ? C 的平面角的余弦值.

B1
A D

C1

图5 ⑴ ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是 直 四 棱 柱 , 所 以 ? BAD 、 ? BCD 分 别 是 二 面 角 D ? AA 1 ? B 、
D ? CC ? B 的平面角, ? BAD ? 90 , ? BCD ? 45 -------1 分,
0 0

B

C

1

又因为 AA 1 D 1 D // BCC 1 B 1 ,所以 AD // BC -------2 分 在上底面 A1 B 1 C 1 D 1 中,作 D 1 E ? B 1 C 1 ,垂足为 E ,则 A1 B 1 ED 1 是边长为 2 的正方形,
C 1 E ? D 1 E ? 2 -------3 分,所以三棱锥 C ? B 1 C 1 D 1 的体积

V ?

1 3

? S ?B C
1

1 D1

? CC

1

?

1 3

?

1 2

? B 1 C 1 ? D 1 E ? CC

1

?

8 3

-------5 分

⑵在三角形 B 1 C 1 D 1 中, B 1 D 1 ? 2 2 、 C 1 D 1 ? 2 2 、 B 1 C 1 ? 4 -------6 分
B1C 1
2

? B 1 D 1 ? C 1 D 1 ,所以 B 1 D 1 ? C 1 D 1 -------7 分

2

2

又因为 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是直四棱柱, CC 1 ? A1 B 1 C 1 D 1 ,从而 CC 1 ? B 1 D 1 ----8 分 因为 CC 1 ? C 1 D 1 ? C 1 ,所以 B 1 D 1 ? 平面 CDD 1 C 1 -------9 分 ⑶由⑴知, A 为原点,AB 、AD 、AA 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系-------10 以 分,依题意 C ( 2 , 4 , 0 ) 、 B 1 ( 2 , 0 , 2 ) 、 C 1 ( 2 , 4 , 2 ) 、 D 1 ( 0 , 2 , 2 ) ---11 分
?? ? n1 ? 设平面 B 1 CD 1 的一个法向量为 n 1 ? ( a , b , c ) ,依题意 ? ?? ? n1 ? ???? ? B1C ? 4 b ? 2 c ? 0 ????? ? B1 D ? 2 a ? 2 b ? 0

----12 分,设 b ? 1 ,得 n1 ? (1 ,

??

? 1 , 2 ) ----13 分,平面 B 1 CC 1 的一个法向量为 n 2 ? (1 , 0 , 0 ) ,

?? ?? ? n1 ? n 2 3 3 ?? ? ? c o s ? ? ?? ,所以二面角 C 1 ? B1 D 1 ? C 的平面角的余弦值为 -------14 分 12 12 | n1 | ? | n 2 |

6、 (2009 汕头一模)如图,己知?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB =600,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且
AE AC ? AF AD ? ? ( 0 ? ? ? 1)

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC: (2)若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°,求 ? 的值. (1)证明:因为 AB⊥平面 ABCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所 以 , CD ⊥ 平 面 ABC,………………………………………………3 分 又 在 △ ACD 中 , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且
AE AC ? AF AD ? ? ( 0 ? ? ? 1)

所以,EF∥CD,总有 EF⊥平面 ABC:EF ? 平面 BEF, 所以,不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC…………………………6 分 (2)解:作 BQ∥CD,则 BQ⊥平面 ABC, 所以,BQ⊥BC,BQ⊥BE, 又 BQ 与 CD、EF 共面,所以,平面 BEF∩平面 BCD=BQ, 所以,∠CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60°, 所以,cos60°=
BM BE ? 1 2



所以,2BM=BE 又
AE AC EM AB CE AC ? ? ,所以,

①…………………………9 分
CE AC

=1- ? ,

在?ABC 内作 EM⊥BC 交 BC 于 M, 由
?

=1- ? ,

又在?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1, 所以,BD= 2 ,又在 Rt?ABD 中,∠AD B= 600, 所以,AB= 6 ,所以,EM= 6 (1- ? ) 又
BM BC ? AE AC
2

② ③

= ? ,且 BC=1,所以,BM= ?

由①②③得:4 ? 2=6(1- ? )2+ ?
2

? -4 ? +2=0, ? =2- 2 或 ? =2+ 2 (舍去) ? =2- 2 。。。。。 。。。。。14 分

故当若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°时, 7、 (2009 深圳一模)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; C (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ? 【解】 (Ⅰ)证明:? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,
? CB ? 平面 ABEF
D B
?

. O H ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , A ? AF ? 平面 CBF . ? AF ? 平面 ADF ,? 平面 DAF ? 平面 CBF . …………………4 分 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF ,? FB 为 AB 在 平面 CBF 上的射影, 因此, ? ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ………………………5 分 ? AB // EF ,? 四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .
AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

.

E

F

M

AB ? EF 2

?

1 2



在 Rt ? AFB 中,根据射影定理 AF
sin ? ABF ? AF AB ? 1 2

2

? AH ? AB ,得 AF ? 1 .………………………7 分
?

,? ? ABF ? 30 .
?

? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 .

…………………8 分

(Ⅲ)(解法一)过点 A 作 AM ? EF ,交 EF 的延长线于点 M ,连 DM .

根据(Ⅰ)的证明, DA ? 平面 ABEF ,则 DM ? EF ,
? ? DMA 为二面角 D ? FE ? B 的平面角, ? DMA ? 60 .…………………9 分
?

在 Rt ? AFH 中,? AH ? 又? 四边形 AMFH

1 2

, AF ? 1 ,? FH ?
3 2

3 2



………………… 10 分

为矩形, ? MA ? FH ?
3 2 ? 3 ? 3 2



? AD ? MA ? tan ? DMA ?


?

因此,当 AD 的长为

3 2

时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 .

…………………12 分
z
C

(解法二)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系(如图) 设 AD ? t ( t ? 0 ) ,则点 D 的坐标为 (1, 0 , t ) 在 Rt ? AFH 中,? AH ?
1 2
D B E
O H

, AF ? 1 ,? FH ?

3 2


x

y
F

A

M

? 点 F 的坐标为 (

1 2

,

3 2

, 0 ) ,点 E 的坐标为 ( ?

1 2

,

3 2

,0 ) ,

? DF ? ( ?

1 2

,

3 2

, ? t ) , DE ? (

3 2

,

3 2

,? t )

设平面 DEF 的法向量为 n 1 ? ( x , y , z ) ,则 n 1 ? DF ? 0 , n 1 ? DE ? 0 .
?? ? 即? ?? ?
1 2

x? x?

3 2

y ? tz ? 0 , 3

令z ?
y ? tz ? 0 .

3 ,解得 x ? 0 , y ? 2 t

3 2

2
3)

? n1 ? (0 , 2 t ,

…………………10 分
?

取平面 BEF 的一个法向量为 n 2 ? ( 0 , 0 , 1) ,依题意 n 1 与 n 2 的夹角为 60
? cos 60
?

?

n1 ? n 2 n1 ? n 2

,即

1 2

?

0? 0? 4t
2

3

, 解得 t ? ?

3 2
?

(负值舍去)

? 3 ?1

因此,当 AD 的长为

3 2

时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 .

…………………12 分


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