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【北师大版】2017年高中数学必修2精品讲学案:1.6-垂直关系(含答案)

第 1 课时 垂直关系的判定 [核心必知] 1.直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直,那么该 直线与此平面垂直 3.二面角及其平面角 (1)半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作 半平面. (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二 面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. (3)二面角的记法. 如图,记作:二面角 αABβ. 图形语言 符号语言 (4)二面角的平面角. 以二面角的棱上任一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射 线所成的角叫作二面角的平面角,其中平面角是直角的二面角叫作直二面角. 如图二面角 α-l-β,若有 ①O∈l. ②OA α,OB ③OA⊥l,OB⊥l. 则∠AOB 就叫作二面角 α-l-β 的平面角. 4.两个平面互相垂直 (1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这 两个平面互相垂直. (2)两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线,则这两个平面互 相垂直 图形语言 符号语言 β. [问题思考] 1.若一条直线与平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直吗?为什么? 提示:不一定垂直.例如,a1∥a2∥a3∥?,且 a1,a2? α,l 与这组平行直线垂直.有 可能直线 l 在这个平面内或与平面斜交. 2.在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线? 提示:(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视,因为它体现了“直线与平面 垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想. (2)两条相交直线可以确定这个平面,虽然两条平行直线也可以确定这个平面,但由于 平行线的传递性,直线垂直 于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直.如图: a α,b α,a∥b,l⊥a,l⊥b,但 l 不垂直于 α. 3.如图所示的是一块三角形纸片,过顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD,DC 与桌面接触),折痕 AD 与桌面垂直吗? 提示:不一定垂直,只有当 AD⊥BC 时,AD 才与桌面所在的平面垂直. ?讲一讲 1.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2, BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点.证明:PC⊥平面 BEF. [尝试解答] 证明:如图,连接 PE,EC, 在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中,PA=AB=CD, AE=DE, ∴PE=CE,即△PEC 是等腰三角形. 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC. 又 BP= AP2+AB2=2 2=BC,F 是 PC 的中点,∴BF⊥PC. 又 BF∩EF=F,∴PC⊥平面 BEF. (1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理,要注意定理中 的两个关键条件:①面内的两条相交直线;②都垂直. (2)要证明线面垂直,先证线线垂直,而证线线垂直,通常又借助线面垂直,它们是相 互转化的. ?练一练 1.如图,Rt△ABC 所在平面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 证明:(1)∵SA=SC,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中,AD=DC=BD. 又∵SB=SA,SD=SD, ∴△ADS≌△BDS. ∴SD⊥BD. 又 AC∩BD=D, ∴SD⊥平面 ABC. (2)∵BA=BC,D 为 AC 中点, ∴BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥平面 ABC, ∴SD⊥BD. 于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线. ∴BD⊥平面 SAC. ?讲一讲 2.如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC=60° , ∠BSC=90° . 求证:平面 ABC⊥平面 BSC. [尝试解答] 证明:法一:取 BC 的中点 D, 连接 AD、SD. ∵∠ASB=∠ASC=60° ,且 SA=SB=SC,∴AS=AB=AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS 是正三角形,△BSC 为等腰直角三角形,∴BD=SD. ∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2. 由勾股定理的逆定理,知 AD⊥SD. 又∵SD∩BC=D,∴AD⊥平面 BSC. 又 AD 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BSC. 法二:同法一证得 AD⊥BC,SD⊥BC, 则∠ADS 即为二面角 ABCS 的平面角. ∵∠BSC=90° ,令 SA=1,则 SD= 2 2 ,AD= ,∴SD2+AD2=SA2. 2 2 ∴∠ADS=90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC. 常用的两个平面互相垂直的判定方法: (1)定义法,即证明这两个平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理,即一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直; (3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面. 对于判定定理,可简述为“线面垂直,则面面垂直”. ?练一练 2.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点,求证:平面 CA1D ⊥平面 AA1B1B. 证明:∵AC=BC,点 D 是 AB 的中点,∴CD⊥AB. 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,B1B⊥平面 ABC, 又 CD 平面 ABC, ∴CD⊥B1B. 又∵AB∩B1B=B, ∴CD⊥平面 AA1B1B. 又∵CD 平面 CA1D, ∴平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 在矩形 ABCD

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