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甘肃省天水市第三中学2016届高三上学期第四次检测考试数学(文)试题

天水市三中 2015—2016 学年高三级第四次检测考试 数学试题(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? {4,5, 7,9}, B ? {3, 4, 7,8,9} ,全集 U ? A ? B ,则集合 CU ( A ? B) 中的元素共 有 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 )

2.下列几何体各自的三视图,其中有且仅有两个三视图完全相同的是(

A.①②

B.②④
x

C.①③

D.①④

3.已知 m ? R , “函数 y ? 2 ? m ? 1 有零点”是“函数 y ? log m x 在 上为减函数” (0, +?) 的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时, n ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

5.设等比数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? 0, q ? 1 ,且 a3 ? a5 ? 20, a2a6 ? 64 ,则 S 6 = ( A.63 ) B.48 C.42 D.36

? y?2 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ) ?x ? y ? 1 ?

A. 12 7.设 a ? 2 0.1 , b ? lg A. b ? c ? a

B. 11

C. 3

D. ? 1 )

5 9 , c ? log 3 ,则 a , b, c 的大小关系是( 2 10
C. b ? a ? c

B. a ? c ? b

D. a ? b ? c


8.已知 m , n 表示两条不同直线, ? , ? 表示两个不同平面,下列说法正确的是 A.若 n ? ? , m ? n ,则 m ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? , 则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ∥ ? D.若 ? ∥ ? , n ? ? ,则 n ∥ ? 9. 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则异面直线 A AA1 ? 2 AB , 1B 与 AD 1 所成角的余弦值为( A. ) B.



D1
C. ) ”的否命题是假命题 ,则“ ”是 “

1 5

2 5

3 5

D.

4 5

A1

C1
B1

10.下列说法中,正确的是( A.命题“若 B.设 ,则

D A
B

C

为两不同平面,直线

” 成立的充分不必要条件 ”

C.命题“存在 D.已知 11.把函数 右平移 A. ,则“

”的否定是“对任意 ”是“ ”的充分不必要条件

图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变,再将图象向 ) D. (0, 0)

个单位,那么所得图象的一个对称中心为( B. C.

12 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f

?

? 1? x? 1? ? ? f ?? x, 当 x ? ? 0, ? 时 , ? 2?


? 3? ,则 f ? x ? 在区间 ?1, ? 内是( f? x ? ?1 ? ? l o 2g? x ? 2?
A.减函数且 f ? x ? ? 0 C.增函数且 f ? x ? ? 0 B.减函数且 f ? x ? ? 0 D.增函数且 f ? x ? ? 0

第Ⅱ卷 本卷包括填空题和解答题两部分。考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.设函数 f ( x) ? ?

? x 2+2 ( x ? 2), ?2 x

( x ? 2),

若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x0 =___

.

14.若 | a |? 1 , | b |? 15.已知 x>0,y>0,且

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 (a ? b ) ? a ,则 a 与 b 的夹角是

. .

2 1 ? =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

16.给出下列四个命题: ①当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ?

1 ?2; ln x

② ?ABC 中, sin A ? sin B 当且仅当 A ? B ; ③已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 1 对称. 其中正确命题的序号为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .
?

将 菱 形 A B C D沿 对 角 线 AC 折 起 , 得 到 三 棱 锥 B ? ACD , 点 M 是 棱 BC 的 中 点 ,

DM ? 3 2 .
B A O D C O D C B M A

(1)求 证 : OM // 平 面 ABD ;

(2)求 三 棱 锥 M ? A B D 的体积.

18. (本小题满分 12 分)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a4 ? 9, a3 ? a7 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求证:

1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? . S1 S2 S3 Sn 4

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , PA ? 平面A B C D ,

AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60? ,且 PA ? AB ? BC ,E 是 PC 的中点.

(1)证明: CD ? AE ;

(2)证明: PD ? 平面ABE ;

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1).求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期;

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R. , 2 2

(2)设 ?ABC的内角A, B, C 的对边分别 a, b, c 且 c ? 3, f (C ) ? 0, 若 sin B ? 2 sin A, 求 : 边a,边b的值.

21. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前项和为 S n ,且 S n ? 2 ?

1 , 2n ?1

?bn ? 为等差数列,且 a1 ? b1 , a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值.

数学参考答案(文) 1.A 2.B 3.B 13. ? 6 或 4 4.A 5.A 6.B 7.D 8.D 9.D 10.B 11.D 12.A

14.

? 4

15.-4<M<2 16.②③

17.试题解析: (1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD . (2)三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由题意, OM ? OD ? 3 ,
? 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM .

又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,即 OD ? 平面 ABM 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

1 1 3 9 3 BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? S = 2 2 2 , ?ABM 的面积为 ?ABM 2

所求体积等于 .

VM ? ABD =VD? ABM

1 9 3 ? S?ABM ? OD ? ?3 2 .

18.试题解析:(1)∵等差数列 {an } , a4 ? 9 , a3 ? a7 ? 22 , ∴ ?

?a1 ? 3d ? 9 ?a ? 3 ?? 1 ? an ? 2n ? 1(n ? N * ) ; ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 , ?2a1 ? 8d ? 22 ?d ? 2
(a1 ? an ) ? n (3 ? 2n ? 1) ? n 1 1 1 1 1 ? ? n(n ? 2) ,∴ ? ? ( ? ), 2 2 Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

Sn ?



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ??? ? (1 ? ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? ? ? )? . S1 S2 S3 Sn 2 3 2 4 n n+2 2 2 n ?1 n ? 2 4

19.(1) PA ? CD .∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE .

(Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA .

∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC .
由(1)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD .

∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD .
又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE . 20.解: (1)? f ( x) ?

3 1 ? cos 1 ? sin 2 x - ? sin (2 x - ) - 1 , 2 2 2 6

? f ( x)的最大值为 0.
(2)由(1)知 f (C ) ? sin (2C ?

?
6

) ? 1 ? 0, 则 sin (2C ? ? 2C ?

?
6

) ? 1.

?? ? 0 ? C ? ? ,? 0 ? 2C ? 2?, ? 2C ?

?
6

?
6

?

?
6

?

?
2

,? C ?

?
3

11? , 6

.

? sin B ? 2 sin A,?

a 1 ? ,① b 2

2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b - 2ab cos

?
3

, 即 a 2 ? b 2 - ab ? 9, ②

由①②解得 a ? 3, b ? 2 3.

21. (1) 当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 1. 当 n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ? 此式对 n ? 1 也成立. ? a n ? 从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n ?1



1 2 n ?1

(n ? N * ) .

a1 ? 2 .又因为 ?bn ? 为等差数列, a2

? 公差 d ? 2 ,?bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .
( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知

cn ?

2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 1 2 n ?1







Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 .①

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n .②
①-②得:

? Tn ? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n
? 1? 2 2(1 ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 2 n?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n .

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .
22.试题解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0,??). f '( x) ? x ? 由 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, 则 f '(2) ?

a x2 ? a ? . x x

4?a 3 1 x2 ?1 ? , a ? 1. 此时 f ( x) ? x 2 ? ln x, f '( x) ? . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 2 2 2 x

f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:
x
( 0,1 ) — 1 0

(1, ??)
+

f ?( x)

f ( x)



1 2



所以, f ( x) 的单调递减区间是( 0,1 ) ,单调递增区间是 (1, ??) (Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a. ①若

a ?1 即 , 0 ?a?
1 ; 2

x ? ) 在 1 , (1, e) 上 , f ' (

0 , f ( x) 在 [1, e] 上 单 调 递 增 ,

f ( x) min ? f (1) ?

2 ② 若 1 ? a ? e,即 1 在 ?a? e ,( 1, a ) 上 , f '(x )? 0, f ( x) 单 调 递 减; 在 ( a , e) 上 ,

1 f '(x ) ? 0, f ( x) 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x) min ? f ( a ) ? a(1 ? ln a) ; 2
③ 若

( ? ) a ?e 即 , a ? 2e 在 , (1, e) 上 , f ' x

0 f ( x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 , ,

1 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? a. 2
综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) min ?

1 1 ; 当 1 ? a ? e2 时, f ( x) min ? a (1 ? ln a ); 2 2

2 当 a ? e 时, f ( x) min ?

1 2 e ? a. 2


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