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2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt


§2.3 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概念与性质

一些常用的连续型随机变量

1

连续型随机变量

一、连续型随机变量的概念与性质
定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x),存在 非负函数 f (x),使得对于任意实数 x,有
F ( x) ? ?
x ??

f (t )dt,

则称 X 为连续型随机变量,其中函数 f (x) 称为X 的 概率密度函数,简称概率密度. 记为 :X~ f(x) ,其图象称为密度曲线。 说明: 连续型随机变量的分布函数为连续函数。

2

连续型随机变量

概率密度 f(x) 具有以下性质:
1. f ( x ) ? 0.
? ??

2. ?

f ( x )dx ? 1.

前两个条件是概率密度的 充分必要条件
f (x)

3. P{ x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 )

? ? f ( x )dx. ( x1 ? x 2 ) 1
x1

x2

f (x)

0
X落在 (x1,x2]上概率是概 率密度在(x1,x2]上的定积分 值。

x

0 x1

x2 x

3

连续型随机变量

4. 对于一切使 ( x )连续的点 ,均有 F ?( x ) ? f ( x ). f x
F(x ? 事实上,?x ) ? F ( x ) ? lim ?x lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x
x ? ?x

f ( t )dt

f (? ) ? ?x ? lim ? lim f (? ) ? f ( x ) ?x ?0 ?x ?0 ?x

?x

既有 F ?( x ) ? f ( x ). 5.设X是连续型随机变量, 则对任意的实数a, 有 注意:连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机 变量分布律的性质非常相似,但是密度函数不是概 P?X ? a? ? 0 率!

4

连续型随机变量

说明:

由上述性质可知,对于连续型随机变量,我们关心它 在某一点取值的问题没有太大的意义;我们所关心的是

P {a ? x ? b }

? P {a ? x ? b } ? P {a ? x ? b }

它在某一区间上取值的问题. ? b} ? P {a ? x

若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任
意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限 区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为

P?X ? G? ? ? f ? x ?dx
G

此公式非常重要!

5

连续型随机变量

例1 设 X 是连续型随机变量,其密度函数为 ?c ?4 x ? 2 x 2 ? 0 ? x ? 2 f ?x? ? ? 0 其它 ?

P?X ? G? ? ? f ?x ?dx
G

求:⑴常数c; ⑵ P?X ? 1? .
⑴ 由密度函数的性质, 有 ⑵ P?X ? 1? ? ? f ? x ?dx
得 1?
??

??



??

? f ? x ?dx ? 1

? f ? x ?dx3 ?4 x ? 2 x ?dx ?? 8 8? ? c ? ? c ?4 x 3 ? 2 x ?dx ? c ? 2 x ? 2 ?3
2 2
??
2

??

1

1

2

2

2

?

0

?

c?

2 3 ? 2x ? x ? ? 8? 3 ?1 3

?

2 3? x ? 3 ?0

2

1 8 ? 2
6

连续型随机变量

? 0 ? 例2 某电子元件的寿命 X(小时)是以 f ? x ? ? ? 100 ? x2 ?

x ? 100 x ? 100

为密度函数的连续型随机变量.求 5 个同类型的元件在使用的 前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 检验 5 个元件的使用寿命可以看 作是在做一个5重Bernoulli试验 解 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}

则 P ? A? ? P?X ? 150? ?

150

??

? f ? x ?dx ? ?

150

100

100 1 dx ? 2 x 3

设Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元件数,则

Y ~ B( 5, 1 / 3 ). P{Y ? 2} 故所求概率为
? 1? ? 2? 2 ? C 5 ? ? ? ? ? ? ? 80 ? 3 ? ? 3 ? 243
7
2 3

连续型随机变量

0? x?1 ? x ? 例3 设随机变量X的密度函数为f ? x ? ? ? 2 ? x 1 ? x ? 2 ? 0 其它 ? 试求 X 的分布函数.
F 解 当 x ? 0时, ? x ? ? ? f ?t ?dt
??
x ?? 0

x

?0
x

f ( x) ? 0

当 0 ? x ? 1时,F ? x ? ? ? f ?t ?dt

f ( x) ? x
0

?

x2 ? ? tdt ? 2 0

?? x

? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt

8

连续型随机变量

例 3(续)

当1 ? x ? 2时, F ? x ? ? 量 X dt 综上所述,可得随机变f ?t ?的分布函数 ?
??
0

x

0 f ?t ?dt ? x ? ?t ?dt ? f ?t ?dt ? ?2 ? f0 ? ? ? x ?? 1 0 0 1 x ? x ?1 ? ? 2 tdt ? ?2 ? t ?dt ? ? 1 x 2 ? 2 x ? 1 F ?x? ? ? ?? ? x2 2 ?? ? 20 ? 1 11 ? x ? 2 x x ? 2 当x ? 2时, F ? x ? ? ? f ?t ?dt 2 ? x ? 1 ? ??

1

x

0 ? x ? 1 ?? ? x 0 1 2 ? f ? x ? ? ?2 ? x 1 ? x ? 2 ? tdt ? ?2 ? t ?dt ? 1 ? ? ? 0 0 1 其它 ?

?

? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt
1 2

0

1

2

x

9

连续型随机变量

? Ax ? 1 0 ? x ? 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f ? x ? ? ? 其他 ? 0

求1) A值. 2)X的分布函数. 3)P{1.5<X<2.5}

??? 解 3) P由密度函数的性质, 有.5? ? F ?1.5? ? 0.0625 f ( x )dx ? 1 1 1) ? .5 ? X ? 2.5? ? F ?2 1 2 2.5 P? ? 1 dx ? 1 ? 2 A ? 2 dx 0 A ? ? 2 1 或 ?0 ( Ax.5 ? )X ? 2.5???1.5 f? x ?? 1 ??.0625 2) X的分布函数
x ? ???0dx ? x?0 x 1 ? 0 F ? x ? ? ? ? 0dx ? ? ( ? x ? 1)dx 0 ? x ? 2 ?? 0 2 ? x?2 1 ? ?

??

10

连续型随机变量

二、一些常用的连续型随机变量
1. 均 匀 分 布
? 1 定义 若随机变量X的密度函数为 f ? x ? ? ? b ? a ? ? 0 ? a? x?b 其它

则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布.记作 X ~ U [a , b] X的分布函数为:
F (x)

? 0 ?x?a F ?x? ? ? ?b ? a ? 1

x?a a? x?b b? x
a

1

0

b

x

11

分布函数随机变量

显然, ⑴ 对任意的x,有 f ? x ? ? 0 ;
??



??

? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx
?? b a b

a

b

??

?

1 ? b ? a dx a

? 1.
是密度函数.



? 1 ? f ?x ? ? ? b ? a ? 0 ?

a? x?b 其它

12

连续型随机变量

均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.

既有:P{c ? X ? c ? l } ? ?
??
c?l c

c ?l

c

f ( x )dx
X X 0 l b x

1 l dx ? . b?a b?a

a

l

此时可认为随机变量X在区间[a,b]上取值是等可能的.

13

连续型随机变量

例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘 客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量.试求 该乘客候车时间不超过5分钟的概率. 乘客到达此站的时间是 7:00 解: 设该乘客于7时X 分到达此站, X 服从区间[0,30] 到7:30之间的均匀随机变量

上的均匀分布.其密度函数为
?1 ? 0 ? x ? 30 f ? x ? ? ? 30 ?0 其它 ?

令:B={候车时间不超过5分钟 },则 P ?B ? ? P? ? X ? 15?? P?25 ? X ? 30? 10 15 30 1 1 1 ? ? dx ? ? dx ? 30 30 3 10 25
14

连续型随机变量

例 6 设随机变量 服从区间 ? 1, 3?上的均匀分布, ? Y
2 试求方程 4 x ? 4Y x ? (Y ? 2) ? 0 有实根的概率.

解 随机变量Y的密度函数为:

设:A ? 方程4 x 2 ? 4Y x ? (Y ? 2) ? 0有实根
则P ? A? ? P ?4Y ? ? 4 ? 4 ? (Y ? 2) ? 0
2

?

?1 ? f ? y? ? ? 4 ?0 ?

?1 ? y ? 3 其它

?

?

?

? P?Y ? ?1或? 2? ??0 ? ?Y ? 1??Y Y ? 2
? 1 1 0dx ? ? dx ? ?? 4 4 ? 2
?1 3

15

连续型随机变量

?? e ? ?x x ? 0 定义 若随机变量X的密度函数为 f ? x ? ? ? x?0 ? 0 其中? ? 0为常数,则称随机变量 服从参数为 的指数分布. ?

2.指 数 分 布

X 记为: ~ E ( ? )
x?0 ? 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布,如: 其分布函数为 F ? x ? ? ? 1 ? e ?? x x ? 0 ? 服务时间,某消耗品的寿命,放射性元素的衰变期等,

指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。

16

连续型随机变量

例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
x ? 1 λ=1/10的指数分布 ? ? e 10 x ? 0 解 X的密度函数为 f ? x ? ? ? 10 ? 0 x?0 ? 令:B={ 等待时间为10~20分钟 },则

P ?B ? ? P?10 ? X ? 20 ? ?

? ?e

x ? 10

20

? e .2325 ?2 0?1 ? e ?
10

1 ? 10 e 10

20

?

x 10

dx

17

连续型随机变量

3.正 态 分 布 (1) 概率密度函数
如果连续型随机变量X的概率密度函数为

f ?x? ?

1 2? ?

? x ? ? ?2 ?

e

2? 2

?? ? ? x ? ? ??

(其中(-∞<μ<+∞,σ>0),则称随机变量X服从参数为μ,σ2的 正态分布,由称高斯分布.记为:X~N(μ,σ2)

f (x)

0

?
18

x

连续型随机变量

特别是,当μ=0,σ2=1时称正态分布为标准正态分 布.记为:N(0,1) 标准正态分布的概率密度函数为:

? ?x? ?
其图形如右

1 2?

e

x2 ? 2

?? ? ? x ? ???

f (x)

0

x
19

连续型随机变量

?? ??

密度函数的验证
只验证 ? f ? x ?dx ?
?? ??

? ? ? x ?dx ?
2

1 2?

?? ??

?

x2 ? e 2 dx

?1

1 2? ?

?? ? ? x?? ? 2? 2 ??

?e

dx ? 1

作变换:u ?
则有 1 2? ?
??
??

x??

?
2? 2

, 则 du ?
1 2?

dx

?
2

??

?e

? x ? ? ?2 ?

dx ?

? ? ? 1 ?? x ? ? ? ? ? 2? ? ? ??

?e
??

dx

?

见高等 数学 (下) 二重积 ( 分

??

?e

x2 ? 2

?

dx ? 2? )

1 2?

??

?e

u2 ? 2

du ? 1

20

连续型随机变量

由正态分布密度函数的图形知:
(1) 曲线关于直线x=μ对称,这表明:对任意的h>0,有

P?? ? h ? X ? ? ? ? P?? ? X ? ? ? h ?
(2) 当x=μ时, f(x)取到最大值
f ?? ? ? 1 2? ?

x离? 越远, ? x ?的值就越小.这表明, f 对于同样长度 离? 越远时,随机变量 落在该区间中的概率就 . X 越小 f (x)

0 ? ?h ? ??h
21

x

连续型随机变量

(3) 曲线y=f(x)在x=μ+σ , x=μ-σ 时处有拐点;曲线以x轴为 渐近线.
(4) 若σ固定,改变μ的值,则y=f(x)的图形沿x轴平行移动,但图 形的形状不改变. (5) 若μ 固定,改变σ 的值,当σ 越小,则y=f(x)的图形越陡,即 1 X落在μ值附近的概率越大;反之,当σ 越大,则y=f(x)的图形 f ( x )的最大值为 f ?? ? ? 越平缓,表明X取值越分散. 2? ?

y ? f ? x ?图形的位置完全由参数所确定 ?

f (x)

0

?

x
22

连续型随机变量

(2)分布函数 若 X ~ N ??, ? 2 ?,则其分布函数为
F ? x ? ? ? f ?t ?dt ?
?? x

1 2? ?

??

?e

x

?

( t ? ? )2 2? 2

dt

?? ? ? x ? ? ??

若 X ~ N ?0, 1? ,则其分布函数为
? ? x ? ? ? ? ?t ?dt ?
?? x

1 2?

??

?e

x

t2 ? 2

dt

?? ? ? x ? ???

且有

?( ? x ) ? 1 ? ?( x )

23

分布函数随机变量

证明:由公式有,
? ?? x ? ? ? ? ?t ?dt ?
?? ?x

1 2?

?x

??

?e

t2 ? 2

dt

作变换t =-μ,dt = -dμ得
? ?? x ? ? ?
?

? (x)

1 2?
1 2?

?? ??

?e

x

u2 ? 2

du

?e
x

u2 ? 2

du
u2 ? 2

-x 0
du ? 1 ? ?? x ?

x

x

? 1?

1 2?

??

?e

x

24

连续型随机变量

说明 (1) P?a ? X ? b? ? ??b ? ? ??a ?

?1 ? ?? x ? x ? 0 (2) 对于任何实数x,有 ?? x ? ? ?0.5 x?0 ? ?? ? x ? x?0 ?

P?X ? b?? ??b? ? ??? b? ? 2??b? ? 1

当0≤x≤4 时,从附表直接只查Φ(x). 当-4≤x≤0 时,Φ(x)=1-Φ(-x). 当x>4 时,Φ(x)=1;当-4<x时,Φ(x)=0.

25

连续型随机变量

(3) 标准正态分布与正态分布的关系
1. 设X ~ N ? , ? ,则Y ?
2

? X ?? FY ? y ? ? P? ? y? ? P{ Y ? y} ?
1 2? ?
u2 ? 2
? ?? y

?

?

X ??

~ N ( 0, 1 )

? P{ X ? ? ? ?y}
?
??

?

?t ? ? ?2 ?

e

2? 2

dt

FY ? y ? ?
作变换u ?

1 2?
?
t??

??

?e

y

du ? ? ? y ?
dt

,则 du ?

?
26

连续型随机变量

? x??? 2. FX ( x ) ? ?? ? ? ? ?

FX ( x ) ? P{ X ? x} X ?? x?? x?? ) ? P{ ? } ? ?( ? ? ?
故对任意的a ? b, 有
P{a ? X ? b} ? ?( b-? a??

该公式给出了一般正态分 布分布函数值的求法

?

) ? ?(

?

).

27

连续型随机变量

1 ?x??? 3. f X ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? 该公式给出了一般正态
1 fX ( x) ? e 2? ?
( x ? ? )2 ? 2? 2

分布概率函数值的求法

?

1

?

1 e 2?

1 ( x ? ? )2 ? ? 2 ?2

1 ?x??? ? ?? ? ? ? ? ?

28

连续型随机变量

例8 设随机变量 X~N(0,1) ,试求: (1) P{1≤X<2};
⑵ P?? 1 ? X ? 2? .

⑴ P? ? X ? 2? ? ? ?2? ? ? ?1? 1 解: ? 0.97725? 0.84134 ? 0.13591 ⑵ P?? 1 ? X ? 2? ? ? ?2? ? ? ?? 1?
? ? ?2? ? ?1 ? ? ?1??
? 0..81859 ? 1 ? 0.84134 0 97725

29

连续型随机变量

例9 设随机变量X~N(2,9) 试求:(1) P{1≤X<5};
⑵ P ?X ? 2 ? 6? ;⑶ P ?X ? 0? .
⑵ PP ?? X ? 5? 6? F (1 ) ? F (1)? 2 ? 6? ⑴ ?1 X ? 2 ? ? ? 5 ? P ? X



?(11? P??? 4(?X ???? 6? ? ? ? ? 1 ? ?5??2P? 6 ? 1 ? 2 ) 8? ?1? ? ? ?? ) ?? X 2 ? ? 3 ? 8 ? 2 ? 3 ? ? 4 ? 2 ?? ? 3 ? ? 1 ? ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ?? ? ? ?1? ???? ? ??1 ? ? ?
? 47064 ? 0.1 ? ?? ?2? 0. ?? 2?? ? 0.84134?? ?62930? 1

? 3?

? 2 ? ?1 ? ? ?2??

? 2 ? ?1 ? 0.97725? ? 0.0455

30

连续型随机变量

⑶ P?X ? 0? ? 1 ? P?X ? 0?
? 0?2? ? 1 ?? ? ? ? 3 ?

X~N(2,9)

? ? 2 ?? ? 2? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0.7486 ? 3? ? 3 ?? ?

31

连续型随机变量

设 X ~ N (0 , 1), 若 z? 满足条件

P?X ? z? ? ? ? ,0 ? ? ? 1,
则称点z? 为标准正态分布的上 分位点。 ?

查表可知 z0.05 ? 1.645 z0.005 ? 2.575

注:

z1-? ? ? z? ,

? (x )

z0.95 ? ?1.645
z0.995 ? ?2.575
?

z1??

0

z? x
32

连续型随机变量

?

规则(3 ? 标准差规则)

设 X ~ N ( ? , ? 2 ), 则
P ?? ? ? x ? ? ? ? ? ? P ?x ? ? ? ? ?? 0.628 P ?? 2? ? x ? ? ? 2? ? ? P ?x ? ? ? 2? ?? 0.9545 P ?? 3? ? x ? ? ? 3? ? ? P ?x ? ? ? 3? ?? 0.9973

表明:随机变量 落在 ? ? 3?,? ? 3? ]的可能性 X [

达到99.73%。
33

连续型随机变量

4*. Γ -分布.
如果连续型随机变量 的密度函数为 X
? ? r r ?1 ? ? x ? x e f ? x ? ? ? ? ?r ? ? 0 ? x?0 x?0

?其中r ? 0 , ? 0为参数? ?
? 则称随机变量 服从参数为r, ? ?的? ? 分布. X
记作: X ~ ??r, ? ?
34

连续型随机变量

Γ- 函 数

广义积分? x r ?1e ? x dx r ? 0)是以r为参变量的函数 ( , 定义:
0

??

称此函数为 ? 函数。记为: (r ). ? ?

?0 ? ? 函数的定义域:, ? ??.
? ? 函数的性质: . ??r ? 1? ? r ??r ?. 1
?? 0

特别是, 为自然数,则 ?n? ? ?n ? 1? . ?1? ? ? e ? x dx ? 1, n ? ! ?

2. ??r ? ? ? x r ?1e ? x dx ( 令x ? u2 ) 0
??

? 2? u
0

??

2 r ?1 ? u2

e

du

?1? ? ?? ? ? ? . ? 2?

35

连续型随机变量

?? e ? ?x 如果 r ? 1 ,则由? ?1? ? 1,得 f ? x ? ? ? ? 0
这正是参数为 的指数分布. ?

说明:

x?0 x?0

指数分布是 ? 分布的一个特例. ?
如果r ? n,由??n? ? ?n ? 1? !得
? ?n ? x n ? 1 e ? ?x f ? x ? ? ? ?n ? 1?! ? 0 ? x?0 x?0

我们称此分布为排队论中的n阶Erlang (爱尔朗)分布,
36

连续型随机变量

n 1 如果r ? , ? ? ,其中n为自然数,则有 2 2
n x ?1 ? ? 1 x2 e 2 ? n ? f ? x ? ? ? 2 2 ?? n ? ? ? ? ? 2? ? 0 ?

x?0 x?0

?2 记作? 2?n?. 它 我们称此分布为自由度为n的 --分布,
为数理统计中常见的统计量之一,

37

连续型随机变量

小结: 1 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。

特别是

P?X ? G? ? ? f ? x ?dx
G

2 均匀分布的定义及性质。

3 指数分布的定义。
4 正态分布的密度函数及几何性质。

5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。
6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。
38

连续型随机变量

作业:
P57,20,16,21(12),23,25,26,2 9

39


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返回主目录 §4 连续型随机变量的概率密度 注意 连续型随机变量密度函数的性质与
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连续型随机变量及其概率密度 - 第节 连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 、常见连续...
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连续型随机变量及其概率密度 1 连续型随机变量及其概率密度函数 2 常见的连续型随机变量 连续型随机变量及其概率密度函数定义:设 X 是一随机变量,若存在一个非负 ...
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2章 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 第1页 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 一、定义 如果对于随机变量X的分布函数,存在非负 可积函数f (x) ,使...
第三节 连续型随机变量及其概率密度.ppt
2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数 2.3.2 常见的连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型...
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