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沈阳市2014年高二质量监测数学试题及答案(文科)


2014 年沈阳市高中二年级教学质量监测



学(文科)

命题:沈阳市第 4 中学 孙玉才 沈阳市第 2 中学 许世洲 沈阳市第 9 中学 付一博 沈阳市第 38 中学 王 磊 审题:沈阳市教育研究院 王恩宾 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 到 4 页. 满分 150 分,考试 时间 120 分钟.

注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题 卡指定区域. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置 书写作答,在本试题卷上作答无效. 3. 考试结束后,考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 A. an ? n B. an ? 2n C. an ? n ? 1
a b B.若 a>b ,则 > c c

( D. an ? 2n ? 1 (

) )

2.已知 a,b,c ? R ,则下列说法正确的是 A.若 a>b ,则 a ? c>b ? c C.若 ac<bc ,则 a<b A.5 B.6

D.若 a>b ,则 ac >bc
2

2

3. 若抛物线 y2=4x 上的点 A 到其焦点的距离是 6, 则点 A 的横坐标是 C.7 D.8 4. 若等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn, 且 S3=6, a1=4, 则公差 d 等于

( (

) )

高二数学(文科)试卷

第 1 页(共 4 页)

A.1

B.

5 3

C.-2

D.3

5.若一个动点 M ? x, y ? 到两个定点 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? 的距离之差的绝对值等于 8,则动 点 M 的轨迹方程为 A.
x
2

( B.
x
2

)

9
x
2

?

y

2

16
y
2

?1

16
x
2

?

y

2

9
y
2

?1

C.

16

?

9

?1

D.

9

?

16
2

?1
2 2

6. 若△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ?c ? b ? b a2 A.
π 6

, 则∠C=(
3π 4

)

B.

5π 6

C.

π 4

D.

7. 下列说法中, 正确的是 A.当 x>0 且 x≠1 时, lg x ? 1 ≥2
lg x

( B.当 x>0 时, x ? 1 ≥2
x

)

C.当 x≥2 时,x+
4

1 x

的最小值为 2

D.当 0<x≤2 时,x-

1 x

无最大值 ( )

8. 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则切线 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

9. 若原点 O ? 0, 0 ? 和点 A ?1,1? 在直线 x+y=a 的两侧, 则实数 a 的取值范围是 A. a<0或a>2 B. 0<a<2
2

(

)

C. a ? 0或a ? 2

D. 0≤a≤2

10.如果一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物 体 ( ) B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 ( D.抛物线 ( ) ) 在 3 秒 末 的 瞬 时 速 度 是

A.7 米/秒

11. 若θ是任意实数, 则方程 x2+4y2 cos ? =1 所表示的曲线一定不是 A.圆 B.双曲线 C.直线

12. 若 2x, 2x+1, 3x+3 是钝角三角形的三边, 则实数 x 的取值范围是 A. 2<x<4 高二数学(文科)试卷 B. x>2 第 2 页(共 4 页)

4 C. x> ? 或x< ? 2 5

D. x>4

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.顶点在原点,且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是 14.将下列说法中,正确说法序号写在后面的横线上 ①至少有一个整数 x,能使 5x-1 是整数; ②对于 ?x ? R, x ? 4 x ? 4≥0 ; ③ a ? b 是 a ? b 的充要条件; ④若命题 p : y ? sin x 为周期函数; q : y ? sin x 为偶函数,则 p ? q 为真命题. 15.在等差数列 { an } 中,当 ar ? as ( r ? s ) 时, { an } 必定是常数数列 . 然而在等比数列
{ an } 中,对某些正整数 r、s ( r ? s ) ,当 ar ? as 时, { an } 可以不是常数列,试写出
2

. .

非常数数列 { an } 的一个通项公式

.
? y的 最 小 值
2

? x ? y ? 3≥0 ? 2 1? 16 . 已 知 实 数 x , y 满 足 ? x ? 2 y ? 5≤0 , 则 z ? ? x ? ? y≥0 ?
是 .

三、解答题:(共 6 小题,满分 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 解关于 x 的一元二次不等式 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? 4 ? x ? 2 ? ? 15 ? 0 .
2

18.(本小题满分 12 分)辽宁广播电视塔位于沈阳市沈河区青年公园西侧,蜿蜒的南运河 带状公园内,占地 8000 平方米.全塔分为塔座、塔身、塔楼和桅杆四部分.某数学活 动小组在青年公园内的 A 处测得塔顶 B 处的仰角为 45°. 在水平地面上,沿着 A 点 与塔底中心 C 处连成的直线行走 129 米后到达 D 处(假设可以到达),此时测得塔顶 B 处的仰角为 60°. (1)请你根据题意,画出一个 ABCD 四点间的简单关系图形; 高二数学(文科)试卷 第 3 页(共 4 页)

(2)根据测量结果,计算辽宁广播电视塔的高度(精确到 1 米).

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ?1 ? ? k ? 1? Sn ? 2 , 又 a1 ? 2 ,
a2 ? 1 .

(1)求实数 k 的值; (2)求证:数列 ?an ? 是等比数列.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 上

2 x

的定义域为 (0, ??) . 设点 P 是函数图象

的任意一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、N. (1)求证: PM PN 是定值; (2)判断并说明 PM ? PN 有最大值还是最小值,并求出此最大值或最小值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ax ? 9 x ? 6( a ? 2) x ? 2 , a ? R . (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 3? 上的最大值和最小值.

3

2

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆的方程为 E : 经

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a>b>0 ? ,斜率为 1 的直线不

过原点 O ,而且与椭圆相交于 A, B 两点, M 为线段 AB 的中点. (1)问:直线 OM 与 AB 能否垂直?若能,求 a, b 之间满足的关系式;若不能,说 高二数学(文科)试卷 第 4 页(共 4 页)

明理由; (2)已知 M 为 ON 的中点,且 N 点在椭圆上.若 ?OAN ? 系式.
π 2

,求 a, b 之间满足的关

高二数学(文科)试卷

第 5 页(共 4 页)

2014 年沈阳市高中二年级教学质量监测



学(文科)参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. A 2. A 3. A 4.C 5.C 6. C 7. B 8. A 9. B 10.C 11.D 12.B 二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? ?4 x 或 x ? 4 y
2
2

14. ①②④ 15. an ? ? ? a ? , a ? 0
n
2

16. 2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (本小题满分 10 分)解答:∵ 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? 4 ? x ? 2 ? ? 15<0 , ∴ 2 x ? 1 ? 4 x ? 4 x ? 4 ? 15<0 ,
2 2

?

? ?

?

∴ ?2 x ? 16 x ? 3 ? 0 ,∴ 2 x ? 16x ? 3 > 0 . ……………………………………… 5 分
2 2

∵ x1,2 ?

?16 ? 16 ? 4 ? 2 ? 3 2? 2

2

? ?4 ?
58 2

58 2



∴不等式的解集为 ? x | x> ? 4 ?

? ? ? ?

, 或x< ? 4 ?

? 58 ?
2 ? ?

? . ……………………… 10 分

18. (本小题满分 12 分) 解答: (1)如图所示,为 ABCD 关系图形;………… 4 分 (2)因为 ?BAC ? 45?, ?BDC ? 60? ,所以 ?ABD ? 15? . 在△ABD 中, ∵ AD ? 129 米, ∴
129 sin15? ? AB sin120? AD sin ABD ? AB sin ADB

,…………… 6 分


129 ? 4 6? 2 3 2 129 3 2 ? 6 2

∴ AB ?

129 sin15?

? sin120? ?

?

?

?

? ,…………………… 9 分

高二数学(文科)试卷

第 6 页(共 4 页)

∴ BC ? AB sin 45? ? 129 ? 19. (本小题满分 12 分)

2 2

?

6 ?3 2 2

? ? 129 ?

3?3 2

? ? 305 (米).

………… 12 分

∴ a1 ? a2 ? ? k ? 1? a1 ? 2 . ………………………………………………………………3 分 1 又∵ a1 ? 2 , a2 ? 1 ,∴ 2 ? 1 ? 2 ? k ? 1? ? 2,∴ k ? ? . ………………………… 6 分 2 1 (2)证明:由(1)知 Sn ?1 ? Sn ? 2 ① 2 1 当 n≥2 时, Sn ? Sn ?1 ? 2 ② 2 1 ①-② 得 an ?1 ? an (n≥2) . ………………………………………………………… 9 分 2 又∵ a2 ?
1 2 a1 ,且 an ? 0 (n ? N *) ,? 1 2
an ?1 an ? 1 2 ( n ? N *) ,

解答: (1)∵ Sn ?1 ? ? k ? 1? Sn ? 2 ,∴ S2 ? ? k ? 1? S1 ? 2 ,

∴数列 ?an ? 是公比为 20.(本小题满分 12 分)

的等比数列. …………………………………………… 12 分

解答: (1)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有 y0 ? x0 ?
x0 ? y0 2 1 x0

2 x0

, x0>0 ,…… 2 分

由点到直线的距离公式可知 PM ?

?

, PN ? x0 ,………………… 4 分

故有 PM PN ? 1 ,即 PM PN 为定值,这个值为 1. …………………………… 6 分 (2) PM ? PN 有最小值,且最小值为 2. ……………………………………… 7 分 ∵由(1)知 PM ? 0, PN ? 0, PM PN ? 1 ,…………………………………… 8 分 ∴ PM ? PN ≥2
PM PN ? 2 ,………………………………………………… 10 分

当且仅当 PM ? PN ? 1 , P 点在 P 1,1 ? 2 时, PM ? PN 有最小值 2. … 12 分 21. (本小题满分 12 分) 解答: (1)∵函数 f ( x ) ? 2 ax ? 9 x ? 6( a ? 2) x ? 2 , ∴ f ?( x ) ? 6 ax ? 18 x ? 6 a ? 12 . ………………………………………………… 2 分 ∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ f ?(1) ? 0 , 高二数学(文科)试卷 第 7 页(共 4 页)
2 3 2

?

?

5 . ………………………………… 4 分 2 5 5 经检验,当 a ? 时, f ( x ) 取得极小值,故 a ? . …………………………… 6 分 2 2

∴ f ?(1) ? 6a ? 18 ? 6a ? 12 ? 0 ,∴实数 a ?

(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? 4 x ? 9 x ? 2 .
3 2

2 ?3? ∵ f ?( x ) ? 12 x ? 18 x ? 6 2 x ? 3 ,∴ f ' ? ? ? 0 . …………………………… 8 分 ?2?

?

?

? 3? ?3 ? ∵在区间 ?0, ? 上, f ?( x )<0 ;在区间 ? , 3? 上, f ?( x )>0 , ? 2? ?2 ? ? 3? ?3 ? ∴在区间 ?0, ? 上,函数 f ( x ) 单调递减;在区间 ? , 3? 上,函数 f ( x ) 单调递增.10 分 ? 2? ?2 ?
∴ f ? x ?最小值 ? f ? x ?极小值
3

19 ?3? ?3? ?3? ? f ? ? ? 4 ? ? ? 9 ? ? ? 2 ? ? . ……………… 11 分 4 ?2? ?2? ?2?
2

3

2

∵ f (0) ? 2, f (3) ? 4 ? 3 ? 9 ? 3 ? 2 ? 29 ,∴ f ? x ?最大值 ? 29 . …………… 12 分 22. (本小题满分 12 分) 解答: (1)∵斜率为 1 的直线不经过原点 O ,而且与椭圆相交于 A, B 两点, ∴可以设直线 AB 的方程为 y ? x ? m, m ? 0 .

? x2 y2 ?1 2 ? ? 2 2 2 2 2 ∵ ? a 2 b2 ,∴ b x ? a ? x ? m ? ? a b ? 0 , ?y ? x ? m ?
∴ a ?b
2

?

2

?x

2

? 2ma x ? m a ? a b ? 0 .
2 2 2 2 2

① ……………………………… 1 分

2 ∵直线 AB 与椭圆相交于 A, B 两点,∴ ? ? 2ma 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 4 ? 4 ?m a ? m a ? m a b ? a b ? a b ?

?

?

2

?4 a ?b

?

2

2

?? m a

2 2

?a b

2 2

?

?

?

??
2 2

? 4? ?a b ? a b ? m a b ? ? ? 4a b
4 2 2 4 2 2 2

2 2

?a

2

?b ?m
2 2

?>0 .

② …………………… 2 分

且 x A ? xB ? ?

2ma
2

2 2

a ?b

, x A xB ?

m a ?a b a ?b
2 2

2 2

.

③ ……………………………… 3 分

高二数学(文科)试卷

第 8 页(共 4 页)

∵ M 为线段 AB 的中点,∴ xM ?
ma
2 2 2

x A ? xB 2 b
2 2

??

ma
2

2 2

a ?b

,
2 2

∴ y M ? xM ? m ? ?

a ?b

?m?m

a ?b

2

,∴ M ? ?

?

ma
2

? a ?b

,

? ? . ……… 4 分 a ?b ?
mb
2 2 2

假设直线 OM 与 AB 能垂直. ∵直线 AB 的斜率为 1,∴直线 OM 的斜率为-1, ∴
mb
2 2 2

a ?b

? ???
2 2

?

? ? ,∴ a ? b .……………………………………………… 5 分 ? a ?b ?
ma
2 2 2

∵在椭圆方程

x a

?

y b

2 2

? 1 ? a>b>0 ? 中, a>b ,

∴假设不正确,在椭圆中直线 OM 与 AB 不能垂直. …………………………… 6 分 (2)∵M 为 ON 的中点,M 为 AB 的中点,∴四边形 OANB 为平行四边形. π π ∵ ?OAN ? ,∴四边形 OANB 为矩形,∴ ?AOB ? ,……………………… 8 分 2 2 ∴ OA ? OB ? 0 ,∴ x A xB ? y A yB ? 0 ,∴ x A xB ? ? x A ? m ?? xB ? m ? ? 0 , ∴ 2 x A xB ? m ? x A ? x B ? ? m ? 0 ,
2

??? ???

∴2

m a ?a b a ?b
2 2

2 2

2 2

? m??

?

? 2 2 2 2 2 2 ? ? m ? 0 ,整理得 m ? a ? b ? ? 2a b .……… 10 分 ? a ?b ?
2ma
2 2 2

∵ N 点在椭圆上,∴
2 2 2

b

? ?2ma ? ?a ? b ?
2 2 2 2
2 2
2 2

2 2

? 2mb ? ? ?a ? b ?
a
2 2
2 2

2 2

2 2

?a b ,
2 2

∴ 4m ? a ? b . 此时 a ? b ? m ? 3m >0 ,满足 ?>0 ,
2 2 2 消去 m 得 a ? b

?

?

2

2 ? 8a b ,即 a 4 ? b4 ? 6a2 b ? 0 . ………………………… 12 分

高二数学(文科)试卷

第 9 页(共 4 页)


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